ডেইলি কুইজ [১৪০ দিনের রুটিনের অংশ]

প্রশ্ন: 6 + 18 + 54 + …............ গুণোত্তর ধারাটির কত তম পদ 4374 হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ধারাটির ১ম পদ, a = 6
সাধারণ অনুপাত, r = 18/6 = 3

ধরি,
n তম পদ = 4374
⇒ ar^{n - 1} = 4374
⇒ 6 × 3^{n - 1} = 4374
⇒ 3^{n - 1} = 729
⇒ 3^{n - 1} = 3⁶
⇒ n - 1 = 6
⇒ n = 6 + 1
⇒ n = 7

∴ ধারাটির 7 তম পদ 4374 হবে।

প্রশ্ন: (5/6)⁴(5/6)^{- 7} = (5/6)^{2x - 1} হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
(5/6)⁴(5/6)^{- 7} = (5/6)^{2x - 1}
⇒ (5/6)^{4 - 7} = (5/6)^{2x - 1}
⇒ (5/6)^{- 3} = (5/6)^{2x - 1}
⇒ - 3 = 2x - 1
⇒ 2x = - 3 + 1
⇒ x = - 2/2
∴ x = - 1

প্রশ্ন: একটি সমান্তর অনুক্রমে ৪র্থ পদটি 35 এবং প্রথম 4টি পদের যোগফল 110 হলে, প্রথম পদটি কত?

সমাধান:
ধরি,
ধারাটির প্রথম পদ = a
সাধারন অন্তর = d
∴ a + (4 - 1)d = 35
⇒ a + 3d = 35 .......... (1)

এবং (4/2){2a + (4 - 1)d} = 110
⇒ 2{2a + 3d} = 110
⇒ 2a + 3d = 55 ........... (2)

(2) নং - (1) নং হতে পাই,
2a + 3d - a - 3d = 55 - 35
⇒ a = 20

প্রশ্ন: p = log₄72 - log₄18 হলে p এর মান কত?

সমাধান:
p = log₄72 - log₄18
⇒ p = log₄(72/18)
⇒ p = log₄4
∴ p = 1

প্রশ্ন: 1 + 2 + 3 +.............. + 20 = কত?

সমাধান:
এখানে,
প্রথম পদ, a = 1
পদসংখ্যা, n = 20
সাধারণ অন্তর, d = (2 - 1) = 1

∴ সমষ্টি = (n/2){2a + (n - 1)d}
= (20/2){2 · 1 + (20 - 1) · 1}
= 10(2 + 19)
= 10 × 21
= 210

প্রশ্ন: 81^{n - (1/2)} = 729 হলে, n এর মান কত?

সমাধান:
^{81n - (1/3)} = 729
⇒ (9²)^{n - (1/2)} = 9³
⇒ 9^{2n - 1} = 9³
⇒ 2n - 1 = 3
⇒ 2n = 3 + 1
⇒ 2n = 4
⇒ n = 4/2
∴ n = 2

প্রশ্ন: 7 + 11 + 15 + ......... ধারাটির কোন পদ 115 হবে?

সমাধান:
ধারাটির, ১ম পদ, a = 7
সাধারণ অন্তর, d = 11 - 7 = 4

ধরি, r তম পদ = 115

তাহলে,
a + (r - 1)d = 115
⇒ 7 + (r - 1)4 = 115
⇒ 7 + 4r - 4 = 115
⇒ 4r + 3 = 115
⇒ 4r = 115 - 3
⇒ 4r = 112
∴ r = 28

অতএব, ধারাটির 28 তম পদ 115 হবে।

প্রশ্ন: (2²)^{x + 3} = 64 হলে x = কত?

সমাধান:
(2²)^{x + 3} = 64
⇒ 2^{2(x + 3)} = 2⁶
⇒ 2x + 6 = 6
⇒ 2x = 6 - 6
⇒ 2x = 0
∴ x = 0

প্রশ্ন: 3 + 3√2 + 6 + 6√2 + .......... ধারাটির কোন পদ 192 হবে?

সমাধান:
ধারাটি গুণোত্তর ধারা।
কারণ এদের সাধারণ অনুপাত r = ২য় পদ/১ম পদ = 3√2/3 = √2
১ম পদ a = 3
∴ n তম পদ = ar^{n - 1}

শর্তমতে,
ar^{n - 1} = 192
⇒ 3 × (√2)^{n - 1} = 192
⇒ (√2)^{n - 1} = 64
⇒ (2^1/2)^{n - 1} = 2⁶
⇒ 2^{(n - 1)/2} = 2⁶
⇒ (n - 1)/2 = 6
⇒ n - 1 = 12
∴ n = 13

প্রশ্ন: log_a√216 = 3/2 হয়, তবে a এর মান কত?

সমাধান:
log_a√216 = 3/2
⇒ a^(3/2) = √216
⇒ (a^3/2)² = (√216)²
⇒ a³ = 216
⇒ a³ = 6³
∴ a = 6

প্রশ্ন: 1² + 2² + 3² + ..... + 17² = কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি = {n(n + 1)(2n + 1)}/6
= {17(17 + 1)(2 · 17 + 1)}/6
= (17 · 18 · 35)/6
= 10710/6
= 1785

প্রশ্ন: 3 + (3/2) + (3/4) + (3/8) + ...... ধারাটির অসীম পদের সমষ্টি কত?

সমাধান: ধারাটির ১ম পদ, a = 3
সাধারণ অনুপাত, r = (3/2)/3 = 1/2

∴ ধারাটির অসীমতক সমষ্টি, S∞ = a/(1 - r)
= 3/{1 - (1/2)}
= 3/{(2 - 1)/2}
= 3/(1/2)
= 3 × 2
= 6

অতএব, ধারাটির অসীম পদের সমষ্টি হবে 6.

প্রশ্ন: x√(0.36) = 9 হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
x√(0.36) = 9
⇒ x√(36/100) = 9
⇒ x × (6/10) = 9
⇒ x = 9 × (10/6)
⇒ x = 15

প্রশ্ন: 2 + 6 + 10 + ..................+ 70 ধারাটির পদসংখ্যা কয়টি?

সমাধান:
এখানে ধারাটির,
১ম পদ = 2
শেষ পদ = 70
সাধারণ অন্তর = 6 - 2 = 4

সুতরাং, পদসংখ্যা = {(শেষ পদ - ১ম পদ)/সাধারণ অন্তর} + 1
= {(70 - 2)/4} + 1
= (68/4) + 1
= (17 + 1)
= 18

প্রশ্ন: (6^{a - 1}) × (36^{a + 2}) = 216 হলে, a এর মান কত?

সমাধান:
(6^{x - 1}) × (36^{x + 2}) = 216
⇒ (6^{x - 1}) × (6^{2x + 4}) = 216
⇒ 6^{a - 1 + 2a + 4} = 6³
⇒ 6^{3a + 3} = 6³
⇒ 3a + 3 = 3
⇒ 3a = 3 - 3
⇒ 3a = 0
⇒ a = 0

প্রশ্ন: 0.24 + 0.0024 + 0.000024 + .......... ধারাটির অসীমতক সমষ্টি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ধারাটির প্রথম পদ, a = 0.24
সাধারণত অনুপাত, r = 0.0024/0.24
= 1/100 < 1

সুতরাং, অসীমতক সমষ্টি = a/(1 - r)
= 0.24/{1 - (1/100)}
= 0.24/(99/100)
= 24/99
= 8/33

প্রশ্ন: 8² + 8² + 8² + 8² + 8² + 8² + 8² + 8² = ?

সমাধান:
8² + 8² + 8² + 8² + 8² + 8² + 8² + 8²
= 8² (1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1)
= 8² × 8
= 8^{2 + 1}
= 8³
= 512