শিক্ষক নিবন্ধন (NTRCA) প্রস্তুতি [১৯তম]

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার সুইমিংপুলের দৈর্ঘ্য ৬০ মিটার এবং প্রস্থ ৪০ মিটার হলে, সুইমিংপুলের পরিসীমা কত?

সমাধান:
পরিসীমা = ২ (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
= ২ (৬০ + ৪০)
= ২০০ মিটার 

প্রশ্ন: cosθ = 1/√2 হলে θ এর মান কত?

সমাধান:
cosθ = 1/√2
⇒ cosθ = cos45°
∴ θ = 45°

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের দুই বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 13 মিটার ও 14 মিটার এবং ক্ষেত্রফল 91 বর্গমিটার। বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ কত ডিগ্রি?

প্রশ্ন: sin³30° + 4cot²45°- sec²60° এর মান কত?

সমাধান:
sin³30° + 4cot²45°- sec²60° 
= (sin30°)³ + 4(cot45°)² - (sec60°)²
= (1/2)³ + 4 ⋅ (1)² - (2)²
= (1/8) + 4 - 4
= 1/8

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ যথাক্রমে ৩০ মিটার ও ২০ মিটার। বাগানটির বাহিরে চারদিকে ৪ মিটার চওড়া একটি রাস্তা আছে। রাস্তাটির ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার?

প্রশ্ন: উন্নতি কোণ কত হলে খুঁটির দৈর্ঘ্য ও ছায়ার দৈর্ঘ্য সমান হবে?

সমাধান:

প্রশ্ন: একটি আয়তকার ঘনবস্তুর সম্পূর্ণ পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল 1504 বর্গ সে.মি.। যদি ঘনবস্তুটির দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতার অনুপাত 5 : 4 : 3 হয়, তবে এর উচ্চতা কত?

সমাধান:
ধরি,
আয়তকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য, a = 5x সে.মি.
ঘনবস্তুর প্রস্থ, b = 4x সে.মি.
এবং উচ্চতা, c = 3x সে.মি.

আমরা জানি,
আয়তকার ঘনবস্তুর সম্পূর্ণ পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = 2 (ab + bc + ca)
⇒ 1504 = 2(5x ⋅ 4x + 4x ⋅ 3x + 3x ⋅ 5x)
⇒ 2(20x² + 12x² + 15x²) = 1504 
⇒ 47x² =1504/2
⇒ 47x² = 752
⇒ x² = 16
∴ x = 4

অতএব, উচ্চতা = 3 × 4 = 12 সে.মি.

প্রশ্ন:  এর মান কত?

সমাধান:

প্রশ্ন: 24 সে.মি. উচ্চতা বিশিষ্ট একটি কোণকের ভূমির ব্যাস 14 সে.মি. হলে, ঘনকের তীর্যক উচ্চতার দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:

প্রশ্ন: যদি sinθ = 21/29 হয় তবে cosθ এর মান কত?

সমাধান;
দেওয়া আছে, sinθ = 21/29

এখন,
sin²θ + cos²θ = 1
⇒ cos²θ = 1 - sin²θ
⇒ cos²θ = 1 - (21/29)²
⇒ cos²θ = 1 - (441/841)
⇒ cos²θ = (841 - 441)/841
⇒ cos²θ = 400/841
⇒ cosθ = ± √(400/841)
∴ cosθ = ±(20/29)

প্রশ্ন: tanA + cotA = 4 হলে, tan²A + cot²A এর মান কত?

সমাধান:
tanA + cotA = 4
⇒ (tanA + cotA)² = 4²
⇒ tan²A + cot²A + 2tanAcotA = 16
⇒ tan²A + cot²A = 16 - 2 ⋅ 1 [যেহেতু tanA ⋅ cotA = 1]
∴  tan²A + cot²A = 14

প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহু দুটির অন্তর ৪ সে.মি. এবং তাদের লম্ব দুরত্ব 24 সে.মি.। যদি ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল লম্ব দূরত্বের 13 গুণ হয়, তবে সমান্তরাল বাহু দুটির দৈর্ঘ্য কত?

প্রশ্ন: নিচের কোনটি ভুল?

সমাধান:
sin (90° - θ) = cosθ
cos (90° - θ) = sinθ
tan (90° - θ) = cotθ
cosec (90° - θ) = secθ
sec (90° - θ) = cosecθ
cot (90° - θ) = tanθ

প্রশ্ন: 

সমাধান:

প্রশ্ন: একটি গাড়ির চাকা প্রতি মিনিটে ১২০ বার ঘুরে। তিন সেকেন্ডে চাকাটি কত ডিগ্রি ঘুরে?

সমাধান:
চাকাটি ৬০ সেকেন্ডে ঘুরে = ১২০ বার
∴ চাকাটি ১ সেকেন্ডে ঘুরে = ১২০/৬০ = ২ বার
∴ চাকাটি ৩ সেকেন্ডে ঘুরে = ৩ × ২ = ৬ বার

এখন,
১ বার ঘুরলে চাকাটি উৎপন্ন করে = ৩৬০°
∴ ৬ বার ঘুরলে চাকাটি উৎপন্ন করে = ৩৬০° × ৬
= ২১৬০°

প্রশ্ন: 0° < A < 90° হলে {sinA/(1 + cosA)} + {sinA/(1 - cosA)} = কত?

সমাধান:
{sinA/(1 + cosA)} + {sinA/(1 - cosA)}
= {sinA(1 - cosA) + sinA(1 + cosA)}/{1 + cosA)(1 - cosA)}
= (sinA - sinA ⋅ cosA + sinA + sinA ⋅ cosA)/(1 - cos²A)
= 2 sinA/sin²A
= 2 cosecA

প্রশ্ন: 20 মিটার লম্বা একটি মই দেয়ালের সাথে খাড়াভাবে আছে। মইটির গোড়া দেয়াল থেকে কত দূর সরালে উপরের প্রান্ত 4 মিটার নিচে নামবে?

সমাধান:

প্রশ্ন: 12 মিটার উঁচু একটি গাছ h উচ্চতায় এমনভাবে ভেঙ্গে গেল যে, ভাঙ্গা অংশটি সম্পুর্ণ আলাদা না হয়ে মাটির সাথে 30° কোণে মিলিত হল। গাছটির ভাঙ্গা অংশের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:

মনে করি, AD = 12 মিটার একটি গাছ AC = h উচ্চতায় ভেঙ্গে ভূমির সাথে ∠ABC = 30° কোণ উৎপন্ন করে।
ধরি, ভাঙ্গা অংশের দৈর্ঘ্য, CD = BC = (12 - h) মিটার

প্রশ্ন: যদি tanA + sinA = m এবং tanA - sinA = n হয়, তবে 4√mn = কত?