ব্যাংক নিয়োগ বিষয়ভিত্তিক প্রস্তুতি

Question: If ABC and PQR are similar triangles in which ∠A = 46° and ∠B = 82°, then ∠C is: 

Solution:
Since ΔABC and ΔPQR are similar triangles.
Then, ∠B = ∠Q = 82° [জ্যামিতির নিয়ম অনুযায়ী, দুটি ত্রিভুজ সদৃশ হলে তাদের অনুরূপ কোণগুলো সমান হয়।]

 আমরা জানি, কোনো ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি 180°। অর্থাৎ, ΔABC-এর ক্ষেত্রে, ∠A + ∠B + ∠C = 180°।

Thus, in ∆ABC, 
∠C= 180° - (∠A + ∠ B) 
or, ∠C= 180° - (46° + 82°) 
∴ ∠C = 52°

Question: A and B are centers of two circles that touch each other externally, as shown in the figure. What is the area of the circle whose diameter is AB?


Solution:
যেহেতু বৃত্ত দুটি পরস্পরকে বহিস্থভাবে স্পর্শ করে, তাই তাদের কেন্দ্রবিন্দুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব (AB) হবে তাদের ব্যাসার্ধের যোগফলের সমান।

এখন, নতুন বৃত্তের ব্যাস, AB = (4 + 3) সেমি = 7 সেমি।
সুতরাং, নতুন বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r = 7/2 সেমি।

∴নতুন বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²
 = π(7/2)²
= π(49/4)
= 49π/4 বর্গ সেমি।

সুতরাং, নতুন বৃত্তের ক্ষেত্রফল হবে 49π/4 বর্গ সেমি।

Question: The slope of the line 3x + y = 5 is not the same as the slope of which one of the following lines?

Solution: 
প্রথমে, প্রদত্ত রেখাটির ঢাল নির্ণয় করতে হবে। রেখাটির সমীকরণকে y =mx + c তে রূপান্তর করতে হবে। এখানে 'm' হলো ঢাল (Slope)।

 3x + y = 5 
⇒ y = - 3x + 5

∴ এই রেখাটির ঢাল (m) হলো - 3

এবার, প্রদত্ত বিকল্পগুলোর প্রত্যেকটির ঢাল নির্ণয় করি:
ক) 3x + y = 2
⇒ y = - 3x + 2
∴ ঢাল -3

খ) x + (y/3) = 4
⇒ y/3 = - x + 4
⇒ y = - 3x + 12
∴ ঢাল - 3.

গ) y = - 3x + 1
∴ ঢাল - 3.

ঘ) x + 3y = 6
⇒ 3y = - x + 6
⇒ y = - 1/3x + 2
∴ ঢাল - 1/3.

∴ অপশন (ঘ) এর রেখার ঢাল মূল রেখার ঢাল থেকে ভিন্ন।

Question: Which set of three sides cannot form a triangle?

Solution:
আমরা জানি,
ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর সমষ্টি তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর হতে হবে।

এখানে, আমরা প্রত্যেকটি ত্রিভুজের ক্ষুদ্রতম দুইটি বাহুর যোগফলকে তৃতীয় (বৃহত্তম) বাহুর সাথে তুলনা করে পাই:

ক) 7 + 10 = 17 > 12; ∴ ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব।
খ) 6 + 9 = 15 < 16; ∴ ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব নয়।
গ) 5 + 12 = 17 > 13; ∴ ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব।
ঘ) 8 + 15 = 23 > 20; ∴ ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব।

Question: The slope of a line perpendicular to one with slope (- 3/4) is:

Solution:
আমরা জানি, 
দুটি সরলরেখা পরস্পর লম্ব হলে তাদের ঢালদ্বয়ের গুণফল - 1 হয়।
অর্থাৎ, যদি কোনো সরলরেখার ঢাল (m) হয়, তাহলে তার উপর লম্ব রেখার ঢাল হবে - 1/m.

এখানে, মূল রেখার ঢাল = - 3/4 । 
তাই লম্ব রেখার ঢাল হবে = -1/(- 3/4) = 4/3

অতএব, লম্ব রেখার ঢাল = 4/3.

Question: Find an equation for the line with x-intercept = 5, y-intercept = - 2.

Solution:
দেওয়া আছে, 
রেখাটি x-অক্ষকে ছেদ করে (x₁, y₁) = (5, 0) বিন্দুতে 
এবং y-অক্ষকে ছেদ করে (x₂, y₂) = (0, - 2) বিন্দুতে।

আমরা জানি, 
ঢাল m = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁)
= (- 2 - 0)/(0 - 5) 
= - 2/- 5 
= 2/5.

এখানে, 
m = 2/5
c = y এর ছেদক = - 2 

∴সরলরেখার ঢালের সমীকরণ হতে পাই,
 y = mx + c
⇒ y = (2/5)x + (- 2)
⇒ 5y = 2x - 10
⇒ 2x - 5y - 10 = 0.

∴ নির্ণেয় রেখাটির সমীকরণ হলো 2x - 5y - 10 = 0

Question: ΔABC is a right-angled isosceles triangle, and ∠B is the right angle in the triangle. If AC measures 10√2, then which one of the following would equal the lengths of AB and BC, respectively?

Solution:
যেহেতু ABC একটি সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ এবং ∠B হলো সমকোণ, তাই সমকোণের সাথে সংযুক্ত বাহু দুটি অর্থাৎ AB এবং BC এর দৈর্ঘ্য সমান হবে।

 পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে,
AB² + BC² = AC²
⇒ BC² + BC² = (10√2)² [এখানে, AB = BC এবং AC = 10√2]
⇒ 2BC² = 10² × 2
⇒ BC² = 10² 
⇒ BC = 10

সুতরাং, AB এবং BC এর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 10 এবং 10।

Question: Find the midpoint of the line segment joining the points P₁ = (- 5, - 2) and P₂ = (1, 6).

Solution:
দেওয়া আছে, P₁ = (- 5, - 2) এবং P₂ = (1, 6)

আমরা জানি, দুটি বিন্দুর (x₁, y₁) এবং (x₂, y₂) সংযোগকারী রেখাংশের মধ্যবিন্দু নির্ণয়ের সূত্র হলো: 
মধ্যবিন্দু = {(x₁ + x₂)/2 , (y₁+y₂)/2}

∴ মধ্যবিন্দু = {(- 5 + 1)/2 , (- 2 + 6)/2}
= ( - 4/2 , 4/2 )
= (- 2, 2)

সুতরাং, নির্ণেয় মধ্যবিন্দুটি হলো (- 2, 2)।

Question: If p is the circumference of the circle Q and the area of the circle is 25π, what is the value of p?

Solution:
বৃত্তের ক্ষেত্রফল (A) = πr²

প্রশ্নানুসারে, বৃত্তের ক্ষেত্রফল 25π।
∴ πr² = 25π
⇒ r²= 25
⇒ r = √25
⇒ r = 5

সুতরাং, বৃত্তের ব্যাসার্ধ (r) হলো 5।
এখন, বৃত্তের পরিধি (p) = 2πr
∴ p = 2π(5)
⇒ p = 10π

সুতরাং p-এর মান 10π

Question: A cube has a total surface area of 294 square meters. What is the length of its diagonal?

Solution:
আমরা জানি, একটি ঘনকের মোট পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = 6a²
প্রশ্নমতে, 6a² = 294
⇒ a² = 294/6
⇒ a² = 49
⇒ a = √49
⇒ a = 7 মিটার।

আমরা জানি, 
একটি ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য = a√3
এখানে, a = 7
সুতরাং, কর্ণের দৈর্ঘ্য = 7√3 মিটার।

সুতরাং, ঘনকটির কর্ণের দৈর্ঘ্য হলো 7√3 মিটার।

Question: Find an equation of the vertical line containing the point (9, - 3).

Solution:
দেওয়া আছে, 
প্রদত্ত বিন্দুটি হলো (9, -3)।

উল্লম্ব রেখার একটি প্রধান বৈশিষ্ট্য হলো, এই রেখার উপর অবস্থিত প্রতিটি বিন্দুর x-স্থানাঙ্ক সর্বদা একই থাকে। যেহেতু রেখাটি (9, -3) বিন্দু দিয়ে যায়, তাই রেখাটির উপর অবস্থিত প্রতিটি বিন্দুর x-এর মান হবে 9।

সুতরাং, নির্ণেয় সমীকরণটি হবে x = 9.

Question: ABCD is a square and one of its sides AB is also a chord of the circle as shown in the figure. What is the area of the square?


Solution:
চিত্রানুসারে, O হলো বৃত্তের কেন্দ্র এবং OA ও OB হলো বৃত্তের ব্যাসার্ধ, যার দৈর্ঘ্য 3।
 AOB একটি সমকোণী ত্রিভুজ, যেখানে ∠AOB = 90° এবং অতিভুজ = AB

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে,
AB² = OA² + OB²
AB² = 3² + 3²
AB² = 9 + 9
AB² = 18

আমরা জানি, বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = বাহুর দৈর্ঘ্য^২ 
যেহেতু ABCD একটি বর্গ, তাই এর ক্ষেত্রফল হলো AB²
সুতরাং, বর্গটির ক্ষেত্রফল হলো 18

Question: The perimeter of a rectangular field is 110 meters. If the length of the field is 5 meters less than three times the width, what is the area of that field in square meters?

Solution:
ধরি, আয়তাকার ক্ষেত্রটির প্রস্থ = x মিটার
সুতরাং, ক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য = 3x - 5 মিটার

আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = 2(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
প্রশ্নমতে,
2((3x - 5) + x) = 110
⇒ 2(4x - 5) = 110
⇒ 4x - 5 = 55
⇒ 4x = 60
⇒ x = 15 মিটার

সুতরাং, প্রস্থ = 15 মিটার।
দৈর্ঘ্য = 3x - 5 = (3 × 15) - 5 
= 45 - 5 = 40 মিটার।

আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ
ক্ষেত্রফল = 40 × 15 = 600 বর্গ মিটার।

সুতরাং, ক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল হলো 600 বর্গ মিটার।

Question: If C is the midpoint of the points A(2, - 1) and B(8, 5), find the length of AC.

Solution:
দেওয়া আছে,
 A(2, - 1) এবং B(8, 5), 
এবং C হলো AB-এর মধ্যবিন্দু।

দূরত্বের সূত্র ব্যবহার করে AB-এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি,
AB = √(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)
= √(8 - 2)² + {5 - (-1)}²
= √(6² + 6²)
= √(36 + 36)
= √72
= √(36 × 2)
= 6√2

C হলো AB এর মধ্যবিন্দু, তাই AC = AB/2
 = 6√2/2
 = 3√2

Question: A square and a circle have the same perimeter. The side of the length of square is 44 cm, what is the area of the circle?

Solution:
Perimeter of the square = 4 × side length
= 4 × 44 cm
= 176 cm

As per the question, the square and circle have the same perimeter.
∴ Circumference of the circle = 176 cm
We know that, Circumference of the circle = 2πr
∴ 2πr = 176
⇒ r = 176 / (2π)
⇒ r = 88 / π
⇒ r = 88 / (22/7)
⇒ r = 88 × 7 / 22
⇒ r = 4 × 7
⇒ r = 28 cm

Area of the circle = πr²
= (22/7) × 28²
= (22/7) × (28 × 28)
= 22 × 4 × 28
= 2464 sq. cm

∴ The area of the circle is 2464 sq. cm.

Question: If sec θ = 5/4, then what is the value of sinθ?

Solution:
এখানে,
secθ = 5/4 = অতিভুজ/ভূমি
∴ অতিভুজ = 5, ভূমি = 4

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে, লম্ব নির্ণয় করি,
লম্ব = √(অতিভুজ² - ভূমি²)
= √(5² - 4²)
= √(25 - 16)
= √9
= 3

এখন,
sinθ = লম্ব/অতিভুজ 
= 3/5

সুতরাং, sinθ = 3/5।

Question: Find the maximum distance between two points on the perimeter of a rectangular garden whose length and breadth are 24 m and 7 m.

Solution:
একটি আয়তক্ষেত্রের পরিসীমার উপর অবস্থিত দুটি বিন্দুর মধ্যে সর্বাধিক দূরত্ব হলো এর কর্ণের দৈর্ঘ্য। কর্ণের দৈর্ঘ্য পিথাগোরাসের সূত্র ব্যবহার করে নির্ণয় করা যায়।

কর্ণের দৈর্ঘ্য = √(দৈর্ঘ্য^২ + প্রস্থ^২)
= √(24² + 7²)
= √(576 + 49)
= √625
= 25 মিটার

সুতরাং, দুটি বিন্দুর মধ্যে সর্বাধিক দূরত্ব হলো 25 মিটার।

Question: The volume of a right circular cylinder is 25π cubic units and its height is 4 units. What is the circumference of its base?

Solution:
আমরা জানি, একটি সিলিন্ডারের আয়তন = πr²h
যেখানে, r হলো ভূমির ব্যাসার্ধ এবং h হলো উচ্চতা।

প্রশ্নমতে,
πr² × 4 = 25π
⇒ 4r² = 25
⇒ r² = 25/4
⇒ r = √(25/4)
⇒ r = 5/2 = 2.5 একক

সিলিন্ডারের ভূমির পরিধি = 2πr
= 2π × 2.5
= 5π একক

∴ সিলিন্ডারটির ভূমির পরিধি হলো 5π একক।

Question: The area of a trapezium is 120 square cm. The length of one of the parallel sides is 10 cm, and the distance between the parallel sides is 15 cm. Find the length of the other parallel side.

Solution:
দেওয়া আছে,
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = 120 সেমি²
একটি সমান্তরাল বাহু, a = 10 সেমি
সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব, h = 15 সেমি

ধরি, অপর সমান্তরাল বাহু = b সেমি

আমরা জানি,
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = (1/2) × (a + b) × h

প্রশ্নমতে,
120 = (1/2) × (10 + b) × 15
⇒ 120 × 2 = (10 + b) × 15
⇒ 240 = (10 + b) × 15
⇒ (10 + b) = 240 / 15
⇒ 10 + b = 16
⇒ b = 16 - 10
⇒ b = 6 সেমি

সুতরাং, অপর সমান্তরাল বাহুটির দৈর্ঘ্য 6 সেমি।

Question: If the side length of a square is increased by 20%, by what percentage is the area of the square increased?

Solution:
ধরা যাক, বর্গক্ষেত্রের মূল বাহুর দৈর্ঘ্য = a একক
সুতরাং, মূল ক্ষেত্রফল = a² বর্গ একক

বাহুর দৈর্ঘ্য ২০% বৃদ্ধির পর নতুন বাহুর দৈর্ঘ্য = a + (a × 20/100)
= a + 0.2a
= 1.2a একক

নতুন ক্ষেত্রফল = (1.2a)²
= 1.44a² বর্গ একক

ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি = নতুন ক্ষেত্রফল - মূল ক্ষেত্রফল
= 1.44a² - a²
= 0.44a² বর্গ একক

শতকরা বৃদ্ধির হার = (ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি/মূল ক্ষেত্রফল) × 100%
= (0.44a²/a²) × 100%
= 44%

সুতরাং, বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল 44% বৃদ্ধি পাবে।

Question: In the figure, lines m and n are parallel. If y - z = 60 then what is the value of x?


Solution:
যেহেতু একটি সরলরেখার উপর উৎপন্ন কোণগুলোর সমষ্টি 180°,
 তাই, z + y = 180........(1)

আবার,
দেওয়া আছে, y - z = 60..........(2)

 সমীকরণ দুটি যোগ করে পাই,
 z + y + y - z = 180 + 60 
⇒  2y = 240
 ⇒ y = 120°

যেহেতু m এবং n রেখাদ্বয় সমান্তরাল, তাই বিপরীত বহিঃস্থ কোণ x এবং y পরস্পর সমান। সুতরাং, x এর মান 120°

Question: If

Solution:

Question: An observer 1.6 m tall stands 20 meters away from a tree. The angle of elevation from his eye to the top of the tree is 45°. What is the height of the tree?

Solution:

মনে করি, 
গাছটির উচ্চতা AB। পর্যবেক্ষকের চোখ C বিন্দুতে আছে এবং তার উচ্চতা CD = 1.6 m
পর্যবেক্ষক থেকে গাছটির দূরত্ব BD = 20 m
এখানে, A, C এবং E বিন্দু দ্বারা গঠিত ACE হলো একটি সমকোণী ত্রিভুজ, যার ∠C = 45°।

আমরা জানি,
tan θ = লম্ব/ভূমি
এখানে, লম্ব = AE এবং ভূমি = CE
∴ tan 45° = AE/20
∴ 1 = AE/20
∴ AE = 20 মিটার

গাছটির মোট উচ্চতা, AB = AE + EB
= 20 + 1.6
= 21.6 মিটার

সুতরাং, গাছটির উচ্চতা হলো 21.6 মিটার।

Question: From the figure, which of the following must be true?
(I) x + y = 90
(II) x is 35 units greater than y
(III) x is 35 units less than y


Solution:
চিত্রে কোণ x হলো ত্রিভুজটির একটি বহিঃস্থ কোণ। সুতরাং, এর মান বিপরীত অন্তঃস্থ কোণ দুটি, 35 এবং y-এর সমষ্টির সমান।

অর্থাৎ, x = y + 35

 এই সমীকরণ থেকে বোঝা যায় যে x এর মান y এর চেয়ে 35 একক বেশি। তাই, (II) বিবৃতিটি সত্য এবং (III) মিথ্যা।

এখন, যদি x একটি স্থূলকোণ (x > 90) হয়, তাহলে x + y এর মান 90 এর চেয়ে বেশি হবে। সুতরাং, x + y যে অবশ্যই 90 এর সমান হবে, এমন কোনো কথা নেই। তাই, (I) বিবৃতিটি অনিবার্যভাবে সত্য নয়।

অতএব, শুধুমাত্র (II) অবশ্যই সঠিক।