স্পেশাল বিসিএস (স্বাস্থ্য) - লং কোর্স

প্রশ্ন: ১০০৮ সংখ্যাটির মোট কতটি ভাজক আছে? 

সমাধান: 
১০০৮ = ২ × ২ × ২ × ২ × ৩ × ৩ × ৭ 
= ২^৪ × ৩^২ × ৭^১ 
এখানে, 
২ এর সূচক ৪, ৩ এর সূচক ২ এবং ৭ এর সূচক হলো ১ । 

এখন, 
প্রত্যেক সূচকের মানের সাথে ১ যোগ করে তাদের গুণ করলে যে গুণফল পাওয়া যাবে তাই হবে নির্ণেয় ভাজক সংখ্যা। 
∴ নির্ণেয় ভাজক সংখ্যা = (৪ + ১) (২ + ১) (১ + ১) 
= ৫ × ৩ × ২ 
= ৩০ 

∴ নির্ণেয় ভাজক সংখ্যা = ৩০ ।

প্রশ্ন: x + 2y = 4 এবং xy = 2 হয়, তবে x = কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
xy = 2 
বা, y = 2/x 

এখন, 
x + 2y = 4 
বা, x + 2 × 2/x = 4 
বা, x + 4/x = 4 
বা, x² + 4 = 4x 
বা, x² - 4x + 4 = 0 
বা, (x)² - 2. x. 2 + (2)² = 0 
বা, (x - 2)² = 0 
বা, x - 2 = 0 
বা, x = 2 
∴ x = 2 

প্রশ্ন: একটি বেলনের বক্রতলের ক্ষেত্রফল 100 বর্গ সে.মি. এবং আয়তন 150 ঘন সে.মি.। বেলনের ভূমির ব্যাসার্ধ কত? 

সমাধান: 
মনে করি, 
বেলনের ব্যাসার্ধ r ও উচ্চতা h 
∴ বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 2πrh = 100 ......... (1) 
এবং আয়তন = πr²h = 150 ............ (2) 

(2) নং ÷ (1) নং করে পাই, 
πr²h/2πrh = 150/100 
বা, r/2 = 150/100 
বা, 100r = 300 
বা, r = 300/100 
∴ r = 3 

∴ বেলনের ব্যাসার্ধ = 3 সে.মি.।

প্রশ্ন: ৪৯৫ টাকাকে ২ : ৪ : ৫ অনুপাতে ভাগ করলে, বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম অংশের পার্থক্য কত টাকা হবে? 

সমাধান: 
অনুপাতসমূহের যোগফল = ২ + ৪ + ৫ 
= ১১ 

∴ বৃহত্তম অংশ = (৫/১১) × ৪৯৫ টাকা = ২২৫ টাকা 
এবং 
ক্ষুদ্রতম অংশ = (২/১১) × ৪৯৫ টাকা = ৯০ টাকা 

∴ বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম অংশের পার্থক্য = (২২৫ - ৯০) টাকা 
= ১৩৫ টাকা ।

প্রশ্ন: 9x² + 16y² এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ রাশি হবে?

সমাধান: 
মনে করি, 
a যোগ করতে হবে 
9x² + 16y² + a 
= (3x)² + (4y)² + 2.3x.4y 
= (3x)² + (4y)² + 24xy 
∴ a = 24xy 

∴ 24xy যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ রাশি হবে।

প্রশ্ন: Ιx - 2Ι ≤ 5 হলে, x -এর সর্বনিম্ন মান কত? 

সমাধান: 
Ιx - 2Ι ≤ 5 
বা, - 5 ≤ x - 2 ≤ 5 
বা, - 5 + 2 ≤ x - 2 + 2 ≤ 5 + 2 
বা, - 3 ≤ x ≤ 7 

∴ x -এর সর্বনিম্ন মান = - 3.

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থ অপেক্ষা ২৩ মিটার বড়। আয়তক্ষেত্রটির পরিসীমা ২০৬ মিটার হলে ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান: 
মনে করি, 
আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য = x মিটার 
∴ আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ = (x - ২৩) মিটার 
∴ আয়তক্ষেত্রটির পরিসীমা = ২ {x + (x - ২৩)} মিটার 
= ২ (২x - ২৩) মিটার 
= (৪x - ৪৬) মিটার 

প্রশ্নমতে, 
৪x - ৪৬ = ২০৬ 
বা, ৪x = ২০৬ + ৪৬ 
বা, ৪x = ২৫২ 
বা, x = ২৫২/৪ 
∴ x = ৬৩ 
অর্থাৎ, আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য = ৬৩ মিটার 
∴ আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ = (৬৩ - ২৩) মিটার 
= ৪০ মিটার 

∴ আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল = (দৈর্ঘ্য × প্রস্থ) বর্গমিটার 
= (৬৩ × ৪০) বর্গমিটার 
= ২৫২০ বর্গমিটার।

প্রশ্ন: সুদের হার ৭% থেকে কমে ৫% হলে এক ব্যক্তির আয় ৫ বছরে ৭০ টাকা কমে যায়, তার মূলধন কত টাকা? 

সমাধান: 
১০০ টাকায় ১ বছরে আয় কমে = ৭% - ৫% = ২% 
∴ ১০০ টাকায় ৫ বছরে আয় কমে = (৫ × ২) টাকা = ১০ টাকা 

এখন, 
১০ টাকা আয় কমে যখন মূলধন = ১০০ টাকা 
∴ ১ টাকা আয় কমে যখন মূলধন = ১০০/১০ টাকা 
∴ ৭০ টাকা আয় কমে যখন মূলধন = (১০০ × ৭০)/১০ টাকা 
= ৭০০ টাকা 

∴ তার মূলধন = ৭০০ টাকা।

প্রশ্ন: 1 + 2 + 4 +................. ধারার প্রথম 6টি পদের সমষ্টি কত? 

সমাধান: 
ধারাটির- 
১ম পদ, a = 1
সাধারণ অনুপাত, r = 2/1 = 2 
এখানে, r এর মান 1 থেকে বড় তাই
সমষ্টি, S_n = a.(r^{n - 1})/r - 1
= 1. (2^{6 - 1})/2 - 1
= (64 - 1)/1 
= 63 

∴ 6টি পদের সমষ্টি = 63 ।

প্রশ্ন: একটি ক্রমিক সমানুপাতের ১ম ও ৩য় রাশি যথাক্রমে ৩ ও ১২ হলে মধ্য সমানুপাতিক কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
ক্রমিক সমানুপাতের ১ম রাশি = ৩ 
ক্রমিক সমানুপাতের ৩য় রাশি = ১২ 
ক্রমিক সমানুপাতের দ্বিতীয় রাশিটিকে প্রথম ও তৃতীয় রাশির মধ্য সমানুপাতিক বলে। 
∴ (দ্বিতীয় রাশি)^২ = প্রথম রাশি × তৃতীয় রাশি 
বা, (দ্বিতীয় রাশি)^২ = ৩ × ১২ 
বা, (দ্বিতীয় রাশি)^২ = ৩৬ 
বা, দ্বিতীয় রাশি = √(৩৬) 
∴ দ্বিতীয় রাশি = ৬ 

∴ মধ্য সমানুপাতিক = ৬।

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার বর্গের সমষ্টি ও অন্তরফল যথাক্রমে 61 ও 11 হলে, সংখ্যা দুইটি কত? 

সমাধান: 
ধরি, 
সংখ্যা দুইটি x এবং y 

∴ x² + y² = 61..........(¡)
   x² - y² = 11..........(¡¡)
---------------------------------------
(+) করে, 2x² = 72 
বা, x² = 72/2
বা, x² = 36
বা, (x)² = (6)²
∴ x = 6 

(¡) নং হতে পাই, 
y² = 61 - x²
বা, y² = 61 - (6)²
বা, y² = 61 - 36
বা, y² = 25
বা, (y)² = (5)²
∴ y = 5

∴ (x, y) = (6, 5).

প্রশ্ন: সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল কোনটি? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র হলো - (ভূমি × উচ্চতা)। 

অন্যদিকে, 
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = বাহু^২ । 
আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ । 
রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল। 

প্রশ্ন: দুই অঙ্কবিশিষ্ট কোনো সংখ্যার দশকের অঙ্কের সাথে ৩ যোগ করলে এবং এককের অঙ্ক থেকে ২ বিয়োগ করলে প্রাপ্ত সংখ্যাটি মূল সংখ্যার তিন গুণ হয়। সংখ্যাটি কত? 

সমাধান: 
ধরি, 
দুই অঙ্কবিশিষ্ট সংখ্যার এককের অঙ্ক = x এবং 
দুই অঙ্কবিশিষ্ট সংখ্যার দশকের অঙ্ক = y 
∴ সংখ্যাটি = x + ১০y 

আবার,
নতুন সংখ্যাটির এককের অঙ্ক = x - ২ 
নতুন সংখ্যাটির দশকের অঙ্ক = y + ৩ 
∴ নতুন সংখ্যাটি = x - ২ + ১০ (y + ৩) 
= x - ২ + ১০y + ৩০ 
= x + ১০y + ২৮ 

প্রশ্নমতে, 
৩ (x + ১০y) = x + ১০y + ২৮ 
বা, ৩x + ৩০y = x + ১০y + ২৮ 
বা, ৩x - x +৩০y - ১০y = ২৮ 
বা, ২x + ২০y = ২৮ 
বা, ২ (x + ১০y) = ২৮ 
বা, (x + ১০y) = ২৮/২ 
∴ (x + ১০y) = ১৪ 

∴ সংখ্যাটি = ১৪ ।

প্রশ্ন: ১২০ মিটার লম্বা একটি ট্রেন ৩৩০ মিটার লম্বা একটি সেতু অতিক্রম করবে। ট্রেনটির গতিবেগ ঘণ্টায় ৩০ কি.মি হলে, সেতুটি অতিক্রম করতে ট্রেনটির কত সময় লাগবে? 

সমাধান: 
সেতুসহ ট্রেনের মোট দৈর্ঘ্য = (৩৩০ + ১২০) মিটার 
= ৪৫০ মিটার 
ট্রেনটিকে সেতু অতিক্রম করতে সেতুর দৈর্ঘ্য ও এর নিজের দৈর্ঘ্য অতিক্রম করতে হবে। 

আমরা জানি,
১ কি.মি = ১০০০ মিটার 
∴ ৩০ কি.মি = ৩০,০০০ মিটার 

৩০,০০০ মিটার যায় = ৩৬০০ সেকেন্ডে 
∴ ১ মিটার যায় = ৩৬০০/৩০,০০০ সেকেন্ডে 
∴ ৪৫০ মিটার যায় = (৩৬০০ × ৪৫০)/৩০,০০০ সেকেন্ডে 
= ৫৪ সেকেন্ডে 

∴ সেতুটি অতিক্রম করতে ট্রেনটির সময় লাগবে = ৫৪ সেকেন্ড।

প্রশ্ন: 'LEADER' শব্দটির অক্ষরগুলোকে কত উপায়ে সাজানো যায়? 

সমাধান: 
'LEADER' শব্দটির 6 টি অক্ষরের মধ্যে 'E' আছে 2 টি। 
∴ নির্ণেয় সাজানোর উপায় = 6!/2! 
= (6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1)/(2 × 1) 
= 360 

∴ 360 উপায়ে সাজানো যায়।

প্রশ্ন: ছেলের বর্তমান বয়স মায়ের বয়সের অর্ধেক। ১০ বছর পূর্বে মায়ের বয়স ছেলের বয়সের তিনগুণ ছিল। ছেলের বর্তমান বয়স কত? 

সমাধান: 
ধরি, 
ছেলের বর্তমান বয়স = ক বছর 
∴ মায়ের বর্তমান বয়স = ২ক বছর 

প্রশ্নমতে, 
২ক - ১০ = ৩(ক - ১০) 
বা, ২ক - ১০ = ৩ক - ৩০ 
∴ ক = ২০

∴ ছেলের বর্তমান বয়স = ২০ বছর। 

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার ল.সা.গু. ৩৬ ও গ.সা.গু ৬। একটি সংখ্যা ১২ হলে, অপর সংখ্যাটি কত? 

সমাধান: 
একটি সংখ্যা × অপর সংখ্যা = ল.সা.গু × গ.সা.গু 
বা, ১২ × অপর সংখ্যা = ৩৬ × ৬ 
বা, অপর সংখ্যা = (৩৬ × ৬)/১২ 

∴ অপর সংখ্যা = ১৮ ।

প্রশ্ন: 2x² - 5x - 7 এর উৎপাদক কোনটি? 

সমাধান: 
2x² - 5x - 7 
= 2x² - 7x + 2x - 7 
= x(2x - 7) + (2x - 7) 
= (2x - 7)(x + 1) 

∴ 2x² - 5x - 7 এর উৎপাদক (x + 1) এবং (2x - 7). 

প্রশ্ন: ২৫৭° কোণকে কী কোণ বলে? 

সমাধান: 
- যে কোণের পরিমাণ ১৮০° থেকে বা দুই সমকোণের চেয়ে বড় কিন্তু ৩৬০° থেকে ছোট তাকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলে। 
- তাই ২৫৭° কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলে।

প্রশ্ন: কোনো পরীক্ষায় শতকরা ৮৫ জন ইংরেজিতে পাস করেছে। ইংরেজিতে ফেলের মোট সংখ্যা ৭৫ জন হলে, পরীক্ষার্থীর সংখ্যা কত? 

সমাধান: 
মোট পরীক্ষার্থী ১০০ জন হলে, 
ফেল করে = (১০০ - ৮৫) জন 
= ১৫ জন 

১৫ জন ইংরেজিতে ফেল করলে পরীক্ষার্থী = ১০০ জন 
∴ ১ জন ইংরেজিতে ফেল করলে পরীক্ষার্থী = ১০০/১৫ জন 
∴ ৭৫ জন ইংরেজিতে ফেল করলে পরীক্ষার্থী = (১০০ × ৭৫)/১৫ জন 
= ৫০০ জন 

∴ পরীক্ষার্থীর সংখ্যা = ৫০০ জন।

প্রশ্ন: ৩০টি আম ও ৩৬টি লিচু সর্বোচ্চ কতজন বালকের মধ্যে সমান ভাগে ভাগ করা যেতে পারে? 

সমাধান: 
নির্ণেয় বালকের সংখ্যা হবে ৩০ ও ৩৬ এর গ. সা. গু 
∴ ৩০ ও ৩৬ এর গ. সা. গু. = ৬ 

∴ নির্ণেয় বালকের সংখ্যা = ৬ জন।

প্রশ্ন: একটি 50 মিটার লম্বা মই একটি খাড়া দেয়ালের সাথে হেলান দেওয়া আছে। মইয়ের একপ্রান্ত মাটি হতে 40 মিটার উঁচুতে দেয়ালকে স্পর্শ করে। মই এর অপরপ্রান্ত হতে দেয়ালের দূরত্ব কত মিটার? 

সমাধান: 
মনে করি, 
দেয়ালের পাদদেশ হতে মইয়ের পাদদেশের দূরত্ব = x মিটার 
দেয়াল মাটির সাথে সমকোণ উৎপন্ন করে। 

∴ পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে, 
(মইয়ের উচ্চতা)² = (দেয়ালের উচ্চতা)² + (x)²
বা, (50)² = (40)² + (x)²
বা, 2500 = 1600 + (x)²
বা, (x)² = 2500 - 1600
বা, (x)² = 900
বা, (x)² = (30)²
∴ x = 30 

∴ দেয়ালের পাদদেশ হতে মইয়ের পাদদেশের দূরত্ব = 30 মিটার।

প্রশ্ন: একটি কলম ও একটি বইয়ের মূল্য একত্রে ৯৫ টাকা। কলমটির মূল্য ১৫ টাকা বেশি ও বইটির মূল্য ১৪ টাকা কম হলে কলমটির মূল্য বইটির মূল্যের দ্বিগুণ হতো। বইটির মূল্য কত? 

সমাধান: 
মনে করি, 
কলমের মূল্য = x টাকা এবং 
বইয়ের মূল্য = (৯৫ - x) টাকা 

প্রশ্নমতে, 
x + ১৫ = ২ {(৯৫ - x) - ১৪} 
বা, x + ১৫ = ১৯০ - ২x -২৮ 
বা, x + ২x = ১৬২ - ১৫ 
বা, ৩x = ১৪৭ 
বা, x = ১৪৭/৩ 
∴ x = ৪৯ 

∴ বইটির মূল্য = (৯৫ - ৪৯) টাকা 
= ৪৬ টাকা।

প্রশ্ন: একজন দোকানদার ৩৬০০ টাকা করে দুটি চেয়ার বিক্রয় করেছে। একটি চেয়ার ২০% লাভে এবং অন্যটি ২০% লোকসানে বিক্রয় করেছে। সব মিলিয়ে কত টাকা লোকসান হয়েছে? 

সমাধান: 
১ম চেয়ারের বিক্রয় মূল্য = ১২০ টাকা 
∴ ১ম চেয়ারের ক্রয় মূল্য = (৩৬০০ × ১০০)/১২০ টাকা 
= ৩০০০ টাকা 

আবার, 
২য় চেয়ারের বিক্রয় মূল্য = ৮০ টাকা 
∴ ২য় চেয়ারের ক্রয় মূল্য = (৩৬০০ × ১০০)/৮০ টাকা 
= ৪৫০০ টাকা 

∴ মোট বিক্রয় মূল্য = (৩৬০০ + ৩৬০০) টাকা 
= ৭২০০ টাকা 
এবং মোট ক্রয় মূল্য = (৩০০০ + ৪৫০০) টাকা 
= ৭৫০০ টাকা 

∴ মোট লোকসান = (৭৫০০ - ৭২০০) টাকা 
= ৩০০ টাকা 

∴ সব মিলিয়ে লোকসান হয়েছে = ৩০০ টাকা।

প্রশ্ন: নিচের ভগ্নাংশগুলোর মধ্যে কোনটি ক্ষুদ্রতম? 

সমাধান: 
৫/৬ = ০.৮৩৩ (বৃহত্তম), 
৩/৪ = ০.৭৫০ (বৃহত্তম), 
৯/১৩ = ০.৬৯২ (ক্ষুদ্রতম) এবং 
৭/৯ = ০.৭৭৭ (বৃহত্তম) । 

∴ ভগ্নাংশগুলোর মধ্যে ৯/১৩ ভগ্নাংশটি ক্ষুদ্রতম।

প্রশ্ন: সমকোণী ত্রিভুজের একটি কোণ 90° হলে, অপর দুটি কোণের সমষ্টির অর্ধেক কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = 180° 
বা, 90° + 2 কোণ = 180° 
বা, 2 কোণ = 180° - 90° 
বা, 2 কোণ = 90° 
বা, কোণ = 90°/2 
∴ কোণ = 45°

প্রশ্ন: log_2√5400 এর মান কত? 

সমাধান: 
ধরি, 
log_2√5400 = x 
বা, (2√5)^x = 400 
বা, (2√5)^x = {(2√5)²}² 
বা, (2√5)^x = (2√5)⁴
∴ x = 4 

প্রশ্ন: বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের একটি কোণ ৯০° হলে উহার বিপরীত কোণের পরিমাণ কত হবে? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত দুই কোণের সমষ্টি = ১৮০° 
একটি কোণ ৯০° হলে, 
অপর কোনটি হবে = (১৮০° - ৯০°) = ৯০° 

∴ বিপরীত কোণের পরিমাণ = ৯০° ।

প্রশ্ন: কোনো সংখ্যার ১/২ অংশের সাথে ৬ যোগ করলে সংখ্যাটির ২/৩ অংশ হবে। সংখ্যাটি কত? 

সমাধান: 
ধরি, 
সংখ্যাটি = x 

প্রশ্নমতে, 
(x/২) + ৬ = ২x/৩ 
বা, (২x/৩) - (x/২) = ৬ 
বা, (৪x - ৩x)/৬ = ৬ 
বা, x/৬ = ৬ 
∴ x = ৩৬ 

∴ সংখ্যাটি = ৩৬। 

প্রশ্ন: একটি থলিতে 6টি নীল বল, 8টি সাদা বল এবং 10টি কালো বল আছে। দৈবভাবে একটি বল তুললে সেটি সাদা না হওয়ার সম্ভাবনা কত? 

সমাধান: 
বলটি সাদা হওয়ার সম্ভাবনা = 8/(6 + 8 + 10) 
= 8/24 
= 1/3 

∴ বলটি সাদা না হওয়ার সম্ভাবনা = {1 - (1/3)} 
= (3 - 1)/3 
= 2/3  . 

প্রশ্ন: (2x - 6, 5) = (4, 2y - 5) হলে, (x, y)- এর মান কোনটি? 

সমাধান: 
2x - 6 = 4 
বা, 2x = 4 + 6 
বা, 2x = 10 
বা, x = 10/2 
∴ x = 5 

আবার, 
2y - 5 = 5 
বা, 2y = 5 + 5 
বা, 2y = 10 
বা, y = 10/2 
∴ y = 5 

∴ নির্ণেয় মান, (x, y) = (5, 5) ।

প্রশ্ন: একটি রম্বসের কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য ৪ সে.মি. এবং ৬ সে.মি.। রম্বসটির ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল 
= (১/২) × ৪ × ৬ বর্গ সে.মি. 
= ১২ বর্গ সে.মি. 

∴ রম্বসটির ক্ষেত্রফল = ১২ বর্গ সে.মি।

প্রশ্ন: এক ব্যক্তি গাড়িযোগে ঘণ্টায় ৬০ কিলোমিটার বেগে কিছুদূর অতিক্রম করে ঘণ্টায় ৪০ কিলোমিটার বেগে অবশিষ্ট পথ অতিক্রম করলো। সে মোট ৫ ঘণ্টায় মোট ২৪০ কিলোমিটার পথ অতিক্রম করে। সে ৬০ কিলোমিটার/ঘণ্টা বেগে কত কিলোমিটার গিয়েছিল? 

সমাধান: 
ধরি, 
ঘণ্টায় ৬০ কি.মি বেগে যায় = x কি.মি 
∴ ঘণ্টায় ৪০ কি.মি বেগে যায় = (২৪০ - x) কি.মি 

প্রশ্নমতে, 
(x/৬০) + (২৪০ - x)/৪০ = ৫ 
বা, {২x + ৩(২৪০ - x)}/১২০ = ৫ 
বা, (২x + ৭২০ - ৩x)/১২০ = ৫ 
বা, (৭২০ - x)/১২০ = ৫ 
বা, ৭২০ - x = ৬০০ 
বা, - x = ৬০০ - ৭২০ 
বা, - x = -১২০ 
∴ x = ১২০ 

∴ সে ৬০ কিলোমিটার/ঘণ্টা বেগে ১২০ কিলোমিটার গিয়েছিল।

প্রশ্ন: 4^x+1 = 32 হলে, x এর মান কত? 

সমাধান: 
4^x+1 = 32 
বা, (2²)^x+1 = 2⁵
বা, 2^2x+2 = 2⁵
বা, 2x + 2 = 5 
বা, 2x = 5 - 2 
বা, 2x = 3 
∴ x = 3/2 

প্রশ্ন: একটি শ্রেণীর প্রতি বেঞ্চে 4 জন করে ছাত্র বসলে 3 খানা বেঞ্চ খালি থাকে। কিন্তু প্রতি বেঞ্চে 3 জন করে বসলে 6 জন ছাত্রের দাঁড়িয়ে থাকতে হয়। ঐ শ্রেণীর ছাত্র সংখ্যা কত? 

সমাধান: 
ধরি, 
ঐ শ্রেণীর ছাত্র সংখ্যা = x জন 
১ম ক্ষেত্রে, 
4 জন বসে 1 টি বেঞ্চে 
∴ x জন বসে x/4 টি বেঞ্চে 
∴ ১ম ক্ষেত্রে, মোট বেঞ্চ সংখ্যা = (x/4) + 3 টি 

২য় ক্ষেত্রে, 
3 জন বসে 1 টি বেঞ্চে 
∴ (x - 6) জন বসে (x - 6)/3 টি বেঞ্চে 

তাহলে, 
(x/4) + 3 = (x - 6)/3 
বা, (x + 12)/4 = (x - 6)/3 
বা, 4x - 24 = 3x + 36 
বা, 4x - 3x = 36 + 24 
∴ x = 60 

∴ ঐ শ্রেণীর ছাত্র সংখ্যা = 60 জন।

প্রশ্ন: x² + 7x + P যদি x -5 দ্বারা বিভাজ্য হয় তবে P এর মান কত হবে? 

সমাধান: 
x² + 7x + P যদি x -5 দ্বারা বিভাজ্য হয় তবে f(5) = 0 হবে 
∴ x² + 7x + P = 0 
বা, (5)² + 7.5 + P = 0 
বা, 25 + 35 + P = 0 
বা, 60 + P = 0 
∴ P = - 60 

∴ P এর মান = -60.0  ।

প্রশ্ন: কোনো শ্রেণীতে ২০ জন ছাত্রের বয়সের গড় ১০ বছর। শিক্ষকসহ তাদের বয়সের গড় ১২ বছর হলে, শিক্ষকের বয়স কত? 

সমাধান: 
২০ জন ছাত্রের মোট বয়স = (২০ × ১০) বছর 
= ২০০ বছর 

আবার, 
শিক্ষকসহ ২০ জন ছাত্রের মোট বয়স = (২১ × ১২) বছর 
= ২৫২ বছর 

∴ শিক্ষকের বয়স = (২৫২ - ২০০) বছর 
= ৫২ বছর।

প্রশ্ন: (a/b)^{x - 1} = (b/a)^{x - 3} হয়, তবে x -এর মান কত হবে?

সমাধান: 
(a/b)^{x - 1} = (b/a)^{x - 3} 
বা, (a/b)^{x - 1} = (a/b) ^{- (x - 3)} 
বা, x - 1 = - (x - 3) 
বা, x - 1 = - x + 3 
বা, x + x = 3 + 1 
বা, 2x = 4 
বা, x = 4/2 
∴ x = 2