ডেইলি কুইজ [১৪০ দিনের রুটিনের অংশ]

প্রশ্ন: a² + b² = 169, ab = 60 এবং a > b হলে, a - b = ?

সমাধান:
a² + b² = 169
⇒ (a - b)² + 2ab = 169
⇒ (a - b)² = 169 - 2 × 60
⇒ (a - b)² = 169 - 120
⇒ (a - b)² = 49
⇒ a - b = 7

প্রশ্ন: p² - 37p - 650 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ কোনটি?

সমাধান:
p² - 37p - 650
= p² - 50p + 13p - 650
= p(p - 50) + 13(p - 50)
= (p - 50)(p + 13)

প্রশ্ন: যদি x + 5y = 16 এবং y = x/3 হয়, তাহলে y = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + 5y = 16 ...... (1)
এবং
y = x/3
⇒ x = 3y ....... (2)

এখন,
x এর মান (1) নং এ বসাই,
3y + 5y = 16
বা, 8y = 16
∴ y = 2

প্রশ্ন: যদি x - 1 > - x + 7 হয়, তাহলে নিচের কোনটি সত্য?

সমাধান:
x - 1 > - x + 7
⇒ x + x > 7 + 1
⇒ 2x > 8
∴ x > 4

প্রশ্ন: 4x² - 9x - 6 এর একটি উৎপাদক x - 1, বাক্যটি-

সমাধান:
ধরি,
f(x) = 4x² - 9x - 6
∴ f(1) = 4(1)² - 9(1) - 6
= 4 - 9 - 6
= 4 - 15
= - 11

∴ x - 1, 4x² - 9x - 6 এর উৎপাদক হতে পারে না।
∴ বাক্যটি মিথ্যা।

প্রশ্ন: যদি (x + y, 3) = (5, x - y) হয়, তবে (x,  y) এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, (x + y, 3) = (5, x - y)
ক্রমজোড়ের শর্তমতে,
x + y = 5 ...............(১)
এবং x - y = 3 ............(২)

(১) + (২) হতে পাই,
x + y + x - y = 5 + 3 
⇒ 2x = 8 
∴ x = 4 

(২) নং হতে পাই,
4 - y = 3 
⇒ y = 4 - 3 = 1

∴ (x, y) = (4, 1)

প্রশ্ন: - 3x + 15 < - 12 হলে, নিচের কোনটি সঠিক?

সমাধান:
- 3x + 15 < - 12
⇒ 3x - 15 > 12
⇒ x - 5 > 4
⇒ x > 4 + 5
∴ x > 9

∴ সঠিক উত্তর: x ∈ (9, ∞)

প্রশ্ন: x - y = 2 এবং xy = 3 হলে x + y =?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
x - y = 2,
xy = 3

∴ x + y = √{(x - y)² + 4xy}
= √{(2)² + 4.3}
= √(4 + 12)
= √16
= 4

প্রশ্ন: 5x³ - 2x² + x + k এর একটি উৎপাদক x - 3 হলে, k এর মান কত?

সমাধান:
ধরি,
f(x) = 5x³ - 2x² + x + k
∴ f(3) = 5(3)³ - 2(3)² + 3 + k
= 5 × 27 - 2 × 9 + 3 + k
= 135 - 18 + 3 + k
= 120 + k

5x³ - 2x² + x + k এর একটি উৎপাদক x - 3 হলে, f(3) = 0 হবে,
⇒ 120 + k = 0
∴ k = - 120

প্রশ্ন: 2a + 3b = 36 এবং 2a + b = 16 সরলরেখা দুটি কোন বিন্দুতে ছেদ করে?

সমাধান:
 2a + 3b = 36 ...... (1)
2a + b = 16 ...... (2)

(1) নং - (2) নং ⇒ 2a + 3b - 2a - b = 36 - 16
⇒ 2b = 20
∴ b = 10

এখন, 2a + b = 16
⇒ 2a + 10 = 16
⇒ 2a = 6
∴ a = 3

∴ সরলরেখা দুটি (3, 10) বিন্দুতে ছেদ করে।

প্রশ্ন: যদি |x - 2| > 6 হয়, তাহলে-

সমাধান:
(x - 2) ধনাত্মক হলে,
x - 2 > 6
∴ x > 8

(x - 2) ঋণাত্মক হলে,
- (x - 2) > 6
⇒ x - 2 < - 6
∴ x < - 4

∴ সঠিক উত্তর: x ∈ (- ∞, - 4) ∪ (8, ∞)

প্রশ্ন: x² - 3x + 1 = 0 হলে, x² - 1/x² = ?

সমাধান:
x² - 3x + 1 = 0
⇒ x² + 1 = 3x
⇒ x + 1/x = 3 ............(1)

x - 1/x = √{(x + 1/x)² - 4.x.(1/x)}
= √{(3)² - 4}
= √(9 - 4)
= √5

x² - 1/x²
= (x + 1/x)(x - 1/x)
= 3√5

প্রশ্ন: x² + 6x - 27 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ কোনটি?

সমাধান:
x² + 6x - 27
= x² + 9x - 3x - 27
= x(x + 9) - 3(x + 9)
= (x + 9)(x - 3)

প্রশ্ন: 2x² - 4x + 5 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয়ের প্রকৃতি কোনটি?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
2x² - 4x + 5 = 0
নিশ্চায়ক= b² - 4ac
= ( - 4)² - 4 × 2 × 5
= 16 - 40
= - 24 < 0
যেহেতু, b² - 4ac < 0 হলে মূলদ্বয় অবাস্তব ও অসমান।

দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের প্রকৃতি:
1. যদি b² - 4ac = 0 হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে।
2. যদি b² - 4ac > 0 হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও অসমান হবে।
3. যদি b² - 4ac < 0 হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় অবাস্তব ও অসমান হবে।
4.  যদি b² - 4ac পূর্ণবর্গ সংখ্যা হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় মূলদ ও অসমান হবে।

প্রশ্ন:  x² - 5x + 6 < 0 হলে-

সমাধান:
x² - 5x + 6 < 0
বা, x² - 2x - 3x + 6 < 0
বা, x(x - 2) - 3(x - 6) < 0
∴ (x - 2)(x - 3) < 0

x² - 5x + 6 < 0 সত্য হবে যদি x - 2 < 0 এবং x - 3 > 0 হয়।
এখন, x - 2 < 0 এবং x - 3 > 0
অর্থাৎ,  x < 2 এবং x > 3
2 এর চেয়ে ছোট এবং 3 এর চেয়ে বড় x এর কোন মান নাই।
এক্ষেত্রে অসমতাটির কোন সমাধান পাওয়া যাবে না।

আবার,
x² - 5x + 6 < 0 সত্য হবে যদি x - 2 > 0 এবং x - 3 < 0 হয়।
এখন,  x - 2 > 0 এবং x - 3 < 0
অর্থাৎ x > 2 এবং x < 3
x এর মান 2 এর চেয়ে বড় এবং 3 এর চেয়ে ছোট।
সুতরাং অসমতাটির সমাধান পাওয়া যাবে.  

সুতরাং নির্ণেয় সমাধানঃ 2 < x < 3

প্রশ্ন: 1/x = √3 - √2 হলে, x³ + 1/x³ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
1/x = √3 - √2

x = 1/(√3 - √2) = (√3 + √2)/{(√3 - √2)(√3 + √2)}
= (√3 + √2)/{(√3)² - (√2)²}
= (√3 + √2)

x + 1/x = √3 + √2 + √3 - √2
= 2√3

x³ + 1/x³ = (x + 1/x)³ - 3.x.(1/x).(x + 1/x)
=(2√3)³ - 3 × 2√3
= 24√3 - 6√3
= 18√3

প্রশ্ন: নিচের কোনটি x³ - 7x + 6 এর উৎপাদক নয়?

সমাধান:
x³ - 7x + 6
= x³ - x² + x² - x - 6x + 6
= x²(x - 1) + x(x - 1) - 6(x - 1)
= (x - 1)(x² + x - 6)
= (x - 1)(x² + 3x - 2x - 6)
= (x - 1){x(x + 3) - 2(x + 3)}
= (x - 1)(x - 2)(x + 3)

বিকল্প:
f(x) = x³ - 7x + 6

f(4) = 4³ - 7 × 4 +  6
= 64 - 28 + 6
= 42

∴ x - 4, f(x) এর উৎপাদক নয়

প্রশ্ন: x - 5 = (x - 5)/x হলে, সমাধান সেট কত? 

সমাধান: 
x - 5 = (x - 5)/x
⇒ x(x - 5) = (x - 5) 
⇒ x(x - 5)- 1(x - 5) = 0
⇒ (x - 5)(x - 1) = 0

হয় 
x - 5 = 0
⇒ x = 5

অথবা 
x - 1 = 0
⇒ x = 1

সমাধান সেট = {1, 5}

প্রশ্ন: 4(2 - a) ≥ 2(5 - 3a) এর সমাধান সেট কোনটি?

সমাধান:
4(2 - a) ≥ 2(5 - 3a)
বা, 8 - 4a ≥ 10 - 6a
বা, 8 - 4a + 6a ≥ 10 - 6a + 6a
বা, 8 + 2a ≥ 10
বা, 8 + 2a - 8 ≥ 10 - 8
বা, 2a ≥ 2
বা, a ≥ 1

∴ সমাধান সেট = {a ∈ R: a ≥ 1}