Math Master

প্রশ্ন: a² + 1 - √5a = 0 হলে {a - (1/a)}² এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, a² + 1 - √5a = 0
a² + 1 = √5a
⇒ (a² + 1)/a = √5a/a
⇒ ((a²/a) - (1/a) = √5
∴ a + (1/a) = √5

এখন, {a - (1/a)}²
= {a + (1/a)}² - 4.a.(1/a)
= (√5)² - 4
= 5 - 4
= 1

প্রশ্ন: |x + 7| ≤ 8 হলে, x এর সর্বনিম্ন মান কত?

সমাধান:
|x + 7| ≤ 8
⇒ - 8 ≤ x + 7 ≤ 8
⇒ - 8 - 7 ≤ x + 7 - 7 ≤ 8 - 7 [ উভয়পক্ষে (- 7) যোগ করে ]
⇒ - 15 ≤ x ≤ 1

∴ x এর সর্বনিম্ন মান = - 15

প্রশ্ন: যদি a + a^-1 = 6 হয়, তবে a³ + a^-3 এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, a + a^-1 = 6
⇒ a + (1/a) = 6

∴ a³ + a^-3
= a³ + (1/a)³
= {a + (1/a)}³ - 3.a.(1/a){a + (1/a)}
= (6)³ - (3 × 6)
= 216 - 18
= 198

প্রশ্ন: যদি x + 7y = 27 এবং x = 2y হয়, তাহলে x = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + 7y = 27 ..................... (1)
এবং x = 2y .......................(2)

এখন, x এর মান (1) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
2y + 7y = 26
⇒ 9y = 27
⇒ y = 27/9
⇒ y = 3

y এর মান (2) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
x = (2 × 3) = 6

প্রশ্ন: 2^2x+1 = 128 হলে x এর মান কত?

সমাধান:
2^2x+1 = 128
বা,  2^2x+1 = 2⁷
বা,  2x + 1 = 7
বা,  2x = 7 - 1
বা,  2x = 6
বা,  x = 6/2
বা,  x = 3

প্রশ্ন: যদি A = {4, 7, 9} এবং B = {9, 10, 11} হয় তাহলে A ∩ B এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
A = {4, 7, 9}
B = {9, 10, 11}

আমরা জানি,
A ∩ B
= {4, 7, 9} ∩ {9, 10, 11}
= {9}

প্রশ্ন: TRIANGLE শব্দটির অক্ষরগুলোকে কতরকম ভাবে সাজানো যাবে যেখানে স্বরবর্ণগুলো একত্রে থাকবে?

সমাধান:
TRIANGLE শব্দটিতে মোট অক্ষর = 8 টি 
স্বরবর্ণ = A, E, I অর্থাৎ 3 টি 

স্বরবর্ণ গুলোকে নিজেদের মধ্যে সাজানো যায় = 3! উপায়ে 

∴ স্বরবর্ণ গুলোকে একত্রে একটি অক্ষর ধরে TRIANGLE শব্দটির মোট বিন্যাস সংখ্যা,
= 6! × 3!
= 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 3 × 2
= 4320

প্রশ্ন: ৫২টি তাসের একটি প্যাকেট থেকে নিরপেক্ষভাবে একটি তাস নির্বাচন করা হলো, তাসটি রাজা বা রাণী বা টেক্কা না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
মোট তাস সংখ্যা = ৫২ টি,
রাজা = ৪ টি,
রানী = ৪ টি,
টেক্কা = ৪ টি

∴ তাসটি রাজা বা রানী বা টেক্কা হওয়ার সম্ভাবনা = (৪ + ৪ + ৪)/৫২
= ১২/৫২
= ৩/১৩

∴ তাসটি রাজা বা রাণী বা টেক্কা না হওয়ার সম্ভাবনা = ১ - (৩/১৩)
= (১৩ - ৩)/১৩
= ১০/১৩

প্রশ্ন: a + b = √7 এবং a - b = √3 হলে, 8ab(a² + b²) = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + b = √7 এবং a - b = √3

এখন,
8ab(a² + b²)
= 4ab × 2(a² + b²)
= {(a + b)² - (a - b)²}{(a + b)² + (a - b)²}
= {(√7)² - (√3)²}{(√7)² +(√3)²}
= (7 - 3)(7 + 3)
= 4 × 10
= 40

প্রশ্ন: x² + 2xy - 2y - 1 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ কোনটি?

সমাধান:
x² + 2xy - 2y - 1
= x² + 2xy + x - x - 2y - 1
= x(x + 2y + 1) - 1(x + 2y + 1)
= (x + 2y + 1)(x - 1)
= (x - 1)(x + 2y +1)

প্রশ্ন: যদি x - y = 2 এবং xy = 8 হয়, তবে x³ - y³ + 8(x + y)² এর মান কত?

সমাধান:
 x³ - y³ + 8(x + y)²
= (x - y)³ + 3xy(x - y) + 8{(x - y)² + 4xy}
= (2)³ + (3 × 8 × 2) + 8{2² + (4 × 8)} [মান বসিয়ে]
= 8 + 48 + 8 × (4 + 32)
= 56 + (8 × 36)
= 56 + 288
= 344

প্রশ্ন: 1 + (1/2) + (1/4) +...... ধারাটির প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি 31/16 হলে n এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
প্রথম পদ, a = 1
সাধারণ অনুপাত, r = (1/2)/1 = 1/2 যা 1 থেকে ছোট

ধরি,
n-তম পদের সমষ্টি = 31/16
আমরা জানি,
গুণোত্তর ধারার n-সংখ্যক পদের সমষ্টি = a{(1 - rⁿ)/(1 - r)} [ r < 1]

প্রশ্নমতে,
a{(1 - rⁿ)/(1 - r)} = 31/16
⇒ 1 × {1 - (1/2)ⁿ}/{1 - (1/2)} = 31/16
⇒ {1 - (1/2)ⁿ}/{(2 - 1)/2} = 31/16
⇒ {1 - (1/2)ⁿ}/(1/2) = 31/16
⇒ {1 - (1/2)ⁿ} = (31/16) × (1/2)
⇒ {1 - (1/2)ⁿ} = 31/32
⇒ (1/2)ⁿ = 1 - (31/32)
⇒ (1/2)ⁿ = (32 - 31)/32
⇒ (1/2)ⁿ = 1/32
⇒ (1/2)ⁿ = (1/2)⁵
⇒ n = 5

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা অপর একটি সংখ্যার ২/৫ গুণ। সংখ্যা দুইটির সমষ্টি ১১২ হলে, সংখ্যা দুইটির পার্থক্য কত?

সমাধান:
ধরি,
একটি সংখ্যা = ক
অপর সংখ্যাটি = ২ক/৫

প্রশ্নমতে,
ক + (২ক/৫) = ১১২
বা, (৫ক + ২ক)/৫ = ১১২
বা, ৭ক = ১১২ × ৫
বা, ক = (১১২ × ৫)/৭
বা, ক = ৮০

∴ একটি সংখ্যা = ৮০
ও অপর সংখ্যাটি = (২ × ৮০)/৫ = ৩২

∴ সংখ্যা দুইটির পার্থক্য = ৮০ - ৩২ = ৪৮

প্রশ্ন: A = {x ∈ N : 2 ≤ x < 6} এবং B = {x ∈ N : x জোড় সংখ্যা এবং x ≤ 8} হলে, (A ∩ B) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
A = {x ∈ N : 2 ≤ x < 6}
= {2, 3, 4, 5}

এবং B = { x ∈ N : x জোড় সংখ্যা এবং x ≤ 8}
= {2, 4, 6, 8}

∴ (A ∩ B) = {2, 3, 4, 5} ∩ {2, 4, 6, 8} = {2, 4}

∴ নির্ণেয় সেট = {2, 4}

প্রশ্ন: একটি সেমিনারে প্রত্যেকে প্রত্যেকের সাথে একবার করে করমর্দন করায় মোট 435 টি করমর্দন হলো। সেমিনারে মোট কতজন লোক ছিল?

সমাধান:
আমরা জানি করমর্দন দুইজনের মধ্যে সংঘটিত হয়।

ধরি,
সভায় লোকের সংখ্যা n জন

প্রশ্নমতে,
ⁿC₂ = 435
⇒ n!/{2!(n - 2)!} = 435
⇒ {n(n - 1)(n - 2)!}/{2!(n - 2)!} = 435
⇒ n(n - 1)/2 = 435
⇒ n² - n = 870
⇒ n² - n - 870 = 0
⇒ n² - 30n + 29n - 870 = 0
⇒ n(n - 30) + 29(n - 30) = 0
⇒ (n - 30)(n + 29) = 0
হয়, n - 30 = 0 অথবা n + 29 = 0
∴ n = 30 অথবা n = - 29

n এর ঋণাত্মক মান গ্রহণযোগ্য নয়। কারণ লোকসংখ্যা ঋণাত্মক হতে পারে না।
∴ n = 30

অতএব, সভায় মোট লোক ছিলো 30 জন।

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার যোগফল ১৮ এবং তাদের অন্তর ৪ হলে সংখ্যা দুইটি কত?

সমাধান:
ধরি,
একটি সংখ্যা = ক
অপর সংখ্যা = খ

প্রশ্নমতে,
ক + খ = ১৮ ............... (১)
এবং 
ক - খ = ৪ ....................(২) 

(১) ও (২) নং সমীকরণ দুইটি যোগ করে পাই,
২ক = ২২
বা, ক = ২২/২
বা, ক = ১১

ক এর মান (২) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
১১ - খ = ৪
বা, খ = ১১ - ৪ = ৭

∴ সংখ্যা দুইটি হলো ১১ এবং ৭

প্রশ্ন: ৩০ জন লোকের মধ্যে ১৬ জন ফুটবল খেলে এবং ১৪ জন ক্রিকেট খেলে। ৬ জন কোনো খেলা খেলে না। কতজন লোক উভয় খেলা খেলে?

সমাধান:
অন্তত একটি খেলা খেলে = n(F ∪ C)
= (৩০ - ৬) জন
= ২৪ জন 

দেওয়া আছে,
ফুটবল খেলে, n(F) = ১৬ জন 
ক্রিকেট খেলে, n(C) = ১৪ জন 
উভয় খেলা খেলে, n(F ∩ C) = ?

আমরা জানি,
n(F ∪ C) = n(F) + n(C) - n(F ∩ C)
বা, n(F ∩ C) = n(F) + n(C) - n(F ∪ C)
= ১৬ + ১৪ - ২৪
= ৩০ - ২৪
= ৬

প্রশ্ন: ২, ৭, ৫, ৪, ৯, ১১, ১, ৪, ৩, ৬, ৮ উপাত্তগুলোর প্রচুরক কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
উপাত্তের মধ্যে যে সংখ্যাটি সবচেয়ে বেশি বার থাকে, তাকে প্রচুরক বলা হয়।

২, ৭, ৫, ৪, ১২, ১১, ১, ৪, ৩, ৬, ৮ সংখ্যাগুলোর মধ্যে ৪ সংখ্যাটি একাধিকবার রয়েছে।

অতএব,
প্রদত্ত উপাত্তগুলোর মধ্যে প্রচুরক হলো ৪।