ডেইলি কুইজ [২০০ দিন]

প্রশ্ন: একটি রেখার কতটি প্রান্তবিন্দু থাকে? 

সমাধান:
- রেখা অসীম এবং রেখার কোনো প্রান্ত বিন্দু নাই। 
- একটি রেখার যদি একদিকে একটি প্রান্ত বিন্দু থাকে এবং অন্যদিকে অসীম হয়, তবে তাকে রশ্মি বলে। 
- রেখাংশের প্রান্তবিন্দু দুইটি।

প্রশ্ন: ∠A এবং ∠B পরস্পর সম্পূরক কোণ। ∠A = 72° হলে, ∠B = কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
দুইটি কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ হলে, তাদের সম্পূরক কোণ বলে। 
∴ ∠A + ∠B = 180° 
বা, 72° + ∠B = 180°  [∴ ∠A = 72°] 
বা, ∠B = 180° - 72°
∴ ∠B = 108° 

প্রশ্ন: ৮ সে.মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের অন্তর্লিখিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:

দেওয়া আছে, বৃত্তের ব্যাসার্ধ = ৮ সে.মি.

আমরা জানি, বৃত্তের ব্যাস = ব্যাসার্ধ × ২
= ৮ × ২
= ১৬ সে.মি.

বৃত্তের অন্তর্লিখিত বর্গক্ষেত্রের কর্ণ = বৃত্তের ব্যাস = ১৬ সে.মি.

আমরা জানি, বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ১/২ × (কর্ণ)^২
∴ ক্ষেত্রফল = ১/২ × (১৬)^২
= ১/২ × ২৫৬
= ১২৮ বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন: কয়টি বিন্দুর মধ্য দিয়ে একটি এবং কেবল একটি সরলরেখা আঁকা যাবে? 

সমাধান: 
- জ্যামিতির মৌলিক নীতি অনুসারে, দুইটি বিন্দুর মধ্য দিয়ে একটি এবং কেবল একটি সরলরেখা আঁকা যায়। 
- যেসব বিন্দু একই সরলরেখায় অবস্থান করে, তাদেরকে সমরেখ বিন্দু বলা হয়। 
- একটি রেখাংশের দৈর্ঘ্যই তার প্রান্ত বিন্দুদ্বয়ের দূরত্ব। 
- প্রান্তবিন্দুদ্বয় ছাড়া রেখাংশের যেকোনো বিন্দুকে ঐ রেখাংশের অন্তঃস্থ বিন্দু বলা হয়।

প্রশ্ন: ৪২° কোণের পূরক কোণ কোনটি?

সমাধান:
আমরা জানি, দুইটি কোণের সমষ্টি এক সমকোণ (৯০°) হলে, তাদের পূরক কোণ বলে।

∴ পূরক কোণ = (৯০ - ৪২)°
= ৪৮°

প্রশ্ন: বৃত্তের কেন্দ্র ছেদকারী জ্যা’ কে কী বলা হয়? 

সমাধান: 
- বৃত্তের কেন্দ্র থেকে বৃত্তের কোনো বিন্দুর দূরত্বকে ঐ বৃত্তের ব্যাসার্ধ বলে। 
- বৃত্তের পরিধির যে কোন দুই বিন্দুর সংযোজক সরল রেখাকে জ্যা বলে। 
- বৃত্তের কোন জ্যা যদি কেন্দ্র দিয়ে যায় তবে তাকে ব্যাস (Diameter) বলে। 
- বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা। 
- বৃত্তের কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী যে বক্ররেখা আঁকা হয় তাকে বৃত্তচাপ বলে। 
- পূর্ণ বক্ররেখার দৈর্ঘ্যকে বলে বৃত্তের পরিধি।

প্রশ্ন: রশ্মির কতটি প্রান্ত বিন্দু থাকে?

সমাধান: 
রশ্মি (Ray): 
- একটি রেখার কোনো বিন্দু ও উহার এক পাশের অংশকে একত্রে রশ্মি বলা হয় এবং ঐ বিন্দুটিকে রশ্মিটির প্রান্ত বিন্দু বলা হয়।
- রশ্মির একটি মাত্র প্রান্ত বিন্দু থাকে।

রেখা (Line): 
- দুটি তল পরস্পরকে ছেদ করলে রেখা হয়।
- রেখার কোন প্রান্ত বিন্দু নেই। 

রেখাংশ: 
- রেখার যে কোন অংশকে রেখাংশ বলে।
- রেখাংশের প্রান্ত বিন্দু দুইটি।

প্রশ্ন: দুটি সমান্তরাল রেখাকে অপর একটি রেখা তির্যকভাবে ছেদ করলে ছেদক রেখার বিপরীতপাশে যে কোণ উৎপন্ন করে তাকে বলা হয়-

সমাধান:
• দুটি সমান্তরাল রেখাকে অপর একটি রেখা তির্যকভাবে ছেদ করলে ছেদক রেখার বিপরীতপাশে যে কোণ উৎপন্ন করে তাকে বলা হয় একান্তর কোণ।

এখানে AB, CD সমান্তরাল রেখাদ্বয়কে EF তির্যক রেখাটি ছেদ করেছে ফলে EF রেখার বিপরীত পাশে অবস্থিত ∠APQ, ∠PQD কোণদ্বয় একান্তর কোণ।
আবার, ∠BPQ, ∠CQP কোণদ্বয় একান্তর কোণ।

- দুটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ বা ১৮০° হলে একটিকে অপরটির সম্পূরক কোণ বলে।
- দুটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি এক সমকোণ বা ৯০° হলে একটিকে অপরটির পূরক কোণ বলে।
- দুটি কোণের একই শীর্ষবিন্দু এবং একটি সাধারণ বাহু থাকলে কোণ দুইটির একটিকে অপরটির সন্নিহিত কোণ করে।

প্রশ্ন: কোন ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুগুলো দিয়ে অঙ্কিত বৃত্তের কেন্দ্রকে কী বলে? 

সমাধান: 
পরিকেন্দ্র: 
- কোন ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু দিয়ে অঙ্কিত বৃত্তকে বলে পরিবৃত্ত এবং কেন্দ্রকে বলে পরিকেন্দ্র। 

লম্বকেন্দ্র: 
- শীর্ষ বিন্দু থেকে বিপরীত বাহুর উপর অঙ্কিত লম্বত্রয়ের মিলিত বিন্দু কে ঐ ত্রিভুজের লম্বকেন্দ্র বলে। 

ভরকেন্দ্র: 
- ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয় যে বিন্দুতে মিলিত হয় তাকে ঐ ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র বলে। 

অন্তকেন্দ্র: 
- ত্রিভুজের কোণত্রয়ের সমদ্বিখন্ডকের ছেদ বিন্দুকে ঐ ত্রিভুজের অন্তকেন্দ্র বলে।

প্রশ্ন: দুটি তল পরস্পরকে ছেদ করলে ছেদস্থলে কী উৎপন্ন হয়? 

সমাধান: 
রেখা (line): 
- দুটি তল পরস্পরকে ছেদ করলে ছেদস্থলে একটি রেখা উৎপন্ন হয়। 
- অথবা বিন্দুর সঞ্চারপথকে রেখা বলে। 
- সরলরেখাকে সংক্ষেপে রেখা বলে। 
- রেখার দৈর্ঘ্য আছে, কিন্তু প্রস্থ ও বেধ নাই। 
- রেখা প্রধানত দুই প্রকার। 
যথা- ক) সরলরেখা এবং খ) বক্ররেখা।

প্রশ্ন: O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের AB স্পর্শক এবং OA স্পর্শ বিন্দুগামী ব্যাসার্ধ। ∠P = 60° হলে ∠Q এর মান কত?


সমাধান:
আমরা জানি, স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ স্পর্শকের উপর লম্ব হয়।
OA স্পর্শ বিন্দুগামী ব্যাসার্ধ হলে ∠OAB = 90°
∴ ∠OAB + ∠OBA + ∠AOB = 180°
⇒ 90° + ∠Q + 60° = 180°
⇒ ∠Q + 150° = 180°
⇒ ∠Q = 180° - 150°
∴ ∠Q = 30°

প্রশ্ন: ৪২ সে.মি. ব্যাসার্ধের বৃত্তের পরিধি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r = ৪২ সে.মি.

আমরা জানি, বৃত্তের পরিধি = ২πr
∴ বৃত্তের পরিধি = ২πr
= ২ × (২২/৭) × ৪২
= ২ × ২২ × ৬
= ২৬৪ সে.মি.

∴ বৃত্তের পরিধি ২৬৪ সে.মি.।

প্রশ্ন: একটি বৃত্ত ও একটি সরলরেখার সর্বাধিক কয়টি ছেদবিন্দু থাকতে পারে?

সমাধান:

একটি বৃত্ত ও একটি সরলরেখার সর্বাধিক দুইটি ছেদবিন্দু থাকতে পারে।

প্রশ্ন: দুইটি বৃত্তের ব্যাসার্ধের অনুপাত 2 : 5 হলে, বৃত্ত দুটির ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
প্রথম বৃত্তের ব্যাসার্ধ : দ্বিতীয় বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 2 : 5

ধরি, প্রথম বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r₁ = 2x
দ্বিতীয় বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r₂ = 5x

আমরা জানি, বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²

প্রথম বৃত্তের ক্ষেত্রফল, A₁ = πr₁² = π(2x)² = 4πx²
দ্বিতীয় বৃত্তের ক্ষেত্রফল, A₂ = πr₂² = π(5x)² = 25πx²

∴ ক্ষেত্রফলের অনুপাত = A₁ : A₂
= 4πx² : 25πx²
= 4 : 25

∴ বৃত্ত দুটির ক্ষেত্রফলের অনুপাত 4 : 25

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের পরিধি ও ক্ষেত্রফল যথাক্রমে ১৩২ সে.মি. ও ১৩৮৬ বর্গসে.মি.। বৃত্তটির বৃহত্তম জ্যা-এর দৈর্ঘ্য কত সে.মি.?

সমাধান:
আমরা জানি,
বৃত্তের পরিধি = ২πr একক
এবং বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr² বর্গ একক

প্রশ্নমতে,
ক্ষেত্রফল/পরিধি = πr²/২πr
⇒ πr²/২πr = ১৩৮৬/১৩২
⇒ r/২ = ১৩৮৬/১৩২
⇒ r = (১৩৮৬ × ২)/১৩২
⇒ r = ২৭৭২/১৩২
⇒ r = ২১ সে.মি.

আমরা জানি, বৃত্তের বৃহত্তম জ্যা হলো ব্যাস।

∴ বৃত্তটির বৃহত্তম জ্যা (ব্যাস)-এর দৈর্ঘ্য = ২r
= (২ × ২১)
= ৪২ সে.মি.

প্রশ্ন: PQRS সামন্তরিকের SR ভূমিকে Z পর্যন্ত বাড়ানো হলো। ∠QPS = 105° হলে ∠QRZ = কত?
 
সমাধান:

আমরা জানি,
সামন্তরিকের বিপরীত কোণগুলো পরস্পর সমান।
∴ ∠QPS = ∠QRS = 105°
 
এখন,
∠QRS + ∠QRZ = 180° [যেহেতু, এক সরলকোণ = 180°]
⇒ 105° + ∠QRZ = 180°
⇒ ∠QRZ = 180° - 105°
∴ ∠QRZ = 75°

প্রশ্ন: দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে ছেদ বা স্পর্শ না করলে বৃত্ত দুইটির সর্বাধিক সংখ্যায় কয়টি সাধারণ স্পর্শক আঁকা সম্ভব?

সমাধান:


দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে ছেদ বা স্পর্শ না করলে বৃত্ত দুইটির সর্বাধিক সংখ্যায় সাধারণ স্পর্শক অংকন করা যায় ৪টি।

প্রশ্ন: একটি সাইকেলের চাকায় ১৫° পর পর স্পোক লাগানো থাকলে সম্পূর্ণ চাকাটিতে মোট কতটি স্পোক লাগানো আছে?

সমাধান:
আমরা জানি,
চাকার কেন্দ্রে মোট উৎপন্ন কোণ = ৩৬০°

∴ ১৫° পর পর স্পোক লাগানো থাকলে,

মোট স্পোকের সংখ্যা = ৩৬০°/১৫°
= ২৪ টি

∴ সম্পূর্ণ চাকাটিতে মোট ২৪টি স্পোক লাগানো আছে।

প্রশ্ন: O কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তে ∠BAC কোণের মান কত?


সমাধান:
দেওয়া আছে, কেন্দ্রস্থ কোণ ∠BOC = 104°
এবং বৃত্তস্থ কোণ ∠BAC

আমরা জানি,
বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক।
∴ ∠BAC = (1/2) × ∠BOC
= (1/2) × 104°
= 52°

প্রশ্ন: 96 মিটার পরিসীমা বিশিষ্ট একটি বর্গক্ষেত্র বৃত্তে অন্তর্লিখিত হয়েছে। বৃত্তটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:

ABCD বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = 96 মিটার
∴ ABCD বর্গক্ষেত্রের বাহু = 96/4 = 24 মিটার

বর্গক্ষেত্র বৃত্তে অন্তর্লিখিত হলে,
বর্গক্ষেত্রের কর্ণ = বৃত্তের ব্যাস

এখন, কর্ণ = ব্যাস = বাহু × √2
= 24√2 মিটার

∴ ব্যাসার্ধ = (24√2)/2
= 12√2 মিটার

বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²
= π(12√2)²
= π × 144 × 2
= 288π বর্গমিটার

প্রশ্ন: AB ও CD সমান্তরাল এবং PQ এদের ছেদক হলে, ∠AOE = কত ডিগ্রি?


সমাধান:
এখানে, ∠AOP এবং ∠AOE পরস্পর সরলরৈখিক যুগল কোণ তৈরি করে।
সুতরাং, এদের সমষ্টি ১ সরল কোণ হবে।

আমরা জানি,
১ সরল কোণ = 180°
⇒ ∠AOP + ∠AOE = 180°
⇒ ∠AOE = 180° - ∠AOP
= 180° - 123°
= 57°

প্রশ্ন: 13 সে.মি. ব্যাসার্ধের বৃত্তের কেন্দ্র হতে 5 সে.মি. দূরত্বে অবস্থিত জ্যা এর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:

ধরি, বৃত্তের কেন্দ্র O এবং জ্যা AB।
কেন্দ্র O থেকে জ্যা AB-এর উপর লম্ব OD অঙ্কন করা হলো।

দেওয়া আছে,
ব্যাসার্ধ, OA = 13 সে.মি.
কেন্দ্র থেকে জ্যার দূরত্ব, OD = 5 সে.মি.

আমরা জানি, কেন্দ্র থেকে জ্যার উপর অঙ্কিত লম্ব জ্যাকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
∴ AD = DB

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী, △OAD সমকোণী ত্রিভুজে,
OA² = OD² + AD²
⇒ 13² = 5² + AD²
⇒ 169 = 25 + AD²
⇒ AD² = 169 − 25
⇒ AD² = 144
⇒ AD = 12 সে.মি.

∴ জ্যা AB = AD × 2 = 12 × 2 = 24 সে.মি.

প্রশ্ন: একটি চাকা ২.৬৪ কিলোমিটার পথ যেতে ৩০০ বার ঘুরে। চাকাটির ব্যাসার্ধ কত?

সমাধান:
২.৬৪ কিলোমিটার = ২.৬৪ × ১০০০ = ২৬৪০ মিটার

চাকাটি ১ বার ঘুরলে অতিক্রম করে = ২৬৪০/৩০০ মিটার 
= ৮৮/১০ = ৪৪/৫ মিটার

∴ চাকাটির পরিধি = ৪৪/৫ মিটার

আমরা জানি, বৃত্তের পরিধি = ২πr
⇒ ২πr = ৪৪/৫
⇒ r = ৪৪/(৫ × ২π)
⇒ r = ৪৪/{৫ × ২ × (২২/৭)}
⇒ r = ৪৪ × ৭/(৫ × ২ × ২২)
⇒ r = ৩০৮/(২২০)
⇒ r = ৭/৫
∴ r = ১.৪ মিটার

∴ চাকাটির ব্যাসার্ধ ১.৪ মিটার।

প্রশ্ন: নিচের কোনটি প্রবৃদ্ধ কোণ?
সমাধান:
- এক সমকোণ থেকে ছোট কোণকে সূক্ষ্মকোণ বলে।
- এক সমকোণ থেকে বড় কিন্তু দুই সমকোণ থেকে ছোট কোণকে স্থূলকোণ বলে।
- দুই সমকোণ থেকে বড় কিন্তু চার সমকোণ থেকে ছোট কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলে।
- যে কোণের পরিমাপ ৩৬০° (চার সমকোণ) এর সমান, তাকে পূর্ণকোণ (Complete Angle) বলে।
- সমতলস্থ দুইটি সরলরেখা যদি পরস্পরকে কোথাও ছেদ না করে, তবে তাদেরকে পরস্পর সমান্তরাল রেখা বলে।
- সমান্তরাল রেখার মধ্যবর্তী দূরত্ব সব সময় সমান থাকে।

• ২৬০° কোণ প্রবৃদ্ধ কোণ।

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত ২ : ৫ : ৮ হলে ত্রিভুজের বৃহত্তম কোণের পরিমাণ কত ডিগ্রি?

সমাধান:
ধরি,
ত্রিভুজের তিনটি কোণের পরিমাণ ২ক, ৫ক এবং ৮ক

প্রশ্নমতে,
২ক + ৫ক + ৮ক = ১৮০°
বা, ১৫ক = ১৮০°
বা, ক = ১৮০°/১৫
বা, ক = ১২°

সুতরাং, ত্রিভুজটির বৃহত্তম কোণের পরিমাণ = (৮ × ১২°) = ৯৬°