৯ম - ১৩তম গ্রেড পরীক্ষার প্রস্তুতি

প্রশ্ন: (256)^0.16 × (256)^0.09 =?

সমাধান:
(256)^0.16 × (256)^0.09
= (256)^{0.16 + 0.09}
= (256)^0.25
= (256)^1/4
= (4⁴)^1/4
= 4

প্রশ্ন: যদি log_xy = 100 এবং log₃x = 10 হয়, তাহলে y এর মান-

সমাধান:
log₃x = 10
∴ x = 3¹⁰

log_xy = 100
⇒ y = x¹⁰⁰ = (3¹⁰)¹⁰⁰
∴ y = 3¹⁰⁰⁰

প্রশ্ন: নিচের কোনটি বাস্তব সংখ্যার সেট বুঝায়?

সমাধান:
বাস্তব সংখ্যা: সকল মূলদ সংখ্যা এবং অমূলদ সংখ্যাকে বাস্তব সংখ্যা বলা হয়। যেমন: -1, -2, -3,.....1, 2, 3, .....1/2, 2/3, 3/4,.......√2, √3, √5,......., 1.23, 1.333,...... ইত্যাদি।
বাস্তব সংখ্যার সেট R = {x : - ∞ < x < ∞}

{x : - Z < x < + Z} এই সেট দ্বারা শুধুমাত্র পূর্ণ সংখ্যার সেট বুঝায়।

প্রশ্ন: একটি তাসের প্যাকেট হতে দৈবভাবে একটি তাস নেওয়া হল। তাসটি লাল অথবা রাজা হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
মনে করি,
তাসটি লাল হবার সম্ভাবনা = P(R) = 26/52
তাসটি রাজা হবার সম্ভাবনা P(K) = 4/52
তাসটি লাল এবং রাজা হবার সম্ভাবনা P(R ∩ K) = 2/52

∴ তাসটি লাল অথবা রাজা হবার সম্ভাবনা P(R ∪ K) = P(R) + P(K) - P(R ∩ K)
= 26/52 + 4/52 - 2/52
= (26 + 4 - 2)/52
= 28/52
= 7/13

প্রশ্ন: যদি log₄x = 5 হয়, তাহলে x এর মান নির্ণয় করুন।

সমাধান:
log₄x = 5
⇒ x = 4⁵ 
⇒ x = 1024

প্রশ্ন: {x : x স্বাভাবিক সংখ্যা এবং x² - 9 = 0} সেটটির তালিকা পদ্ধতিতে প্রকাশিত রূপ-

সমাধান:
x² - 9 = 0
⇒ x² = 9
⇒ x = √9
∴ x = ±3
কিন্তু x স্বাভাবিক সংখ্যা তাই ঋণাত্মক মান গ্রহণযোগ্য নয়।
∴ x = 3

প্রশ্ন: যদি f(x) = x + 5 এবং g(x) = x - 5 হয়, তাহলে f(g(x))=?

সমাধান:
g(x) = x - 5

f(x) = x + 5
⇒ f(g(x)) = g(x) + 5
= x - 5 + 5
= x

প্রশ্ন: যদি 7^{(x - y)} = 343 এবং 7^{(x + y)} = 16807 হয়, তাহলে x এর মান কত?

সমাধান:
7^{(x - y)} = 343 = 7³ 
⇒ x - y = 3 ........................(1) 

7^{(x + y)} = 16807 = 7⁵ 
⇒ x + y = 5 .......................(2) 

(1) +  (2) হতে পাই,
2x = 3 + 5 = 8 
⇒ x = 8/2 = 4 

প্রশ্ন: 2log₂x - log₂(x - 2) = 3 সমীকরণের সমাধান নিচের কোনটি?

সমাধান:
2log₂x - log₂(x - 2) = 3
⇒ log₂x² - log₂(x - 2) = 3
⇒ log₂{x²/(x - 2)} = 3
⇒ {x²/(x - 2)}= 2³ = 8
⇒ x² = 8(x - 2)
⇒ x² - 8x + 16 = 0
⇒ (x - 4)² = 0
⇒ x = 4

প্রশ্ন: একজন লোকের কুমিল্লা হতে ঢাকায় বাসে যাওয়ার সম্ভাবনা ৫/৭ এবং ঢাকা থেকে রাজশাহী ট্রেনে যাওয়ার সম্ভবনা ৫/৮। লোকটি ঢাকায় বাসে না যাওয়ার এবং রাজশাহী ট্রেনে যাওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
কুমিল্লা হতে ঢাকায় বাসে যাওয়ার সম্ভাবনা ৫/৭
কুমিল্লা হতে ঢাকায় বাসে না যাওয়ার সম্ভাবনা ১ - (৫/৭) = ২/৭

ঢাকা থেকে রাজশাহী ট্রেনে যাওয়ার সম্ভবনা ৫/৮

∴ ঢাকায় বাসে না যাওয়ার এবং রাজশাহী ট্রেনে যাওয়ার সম্ভাবনা (২/৭) × (৫/৮)
= ১০/৫৬
= ৫/২৮

প্রশ্ন: 1000⁷/10¹⁴ = ?

সমাধান:
1000⁷/10¹⁴
= (10³)⁷/10¹⁴
= 10²¹/10¹⁴
= 10^{21 - 14}
= 10⁷

প্রশ্ন: log₃2187 = কত?

সমাধান:
 log₃2187
= log₃3⁷ 
= 7 × log₃3
= 7 × 1
= 7

প্রশ্ন: A = {1, 2, 3}, B = {2, 3, 4}, C = {2, 3, 5}, D = {1, 3, 5, 7} হলে (A ∪ B) ∩ (C ∪ D) নিচের কোনটির সমান হবে?

সমাধান:
A = {1, 2, 3}, B = {2, 3, 4}, C = {2, 3, 5}, D = {1, 3, 5, 7}

A ∪ B = {1, 2, 3} ∪ {2, 3, 4}
= {1, 2, 3, 4}

C ∪ D = {2, 3, 5} ∪ {1, 3, 5, 7}
= {1, 2, 3, 5, 7}

∴ (A ∪ B) ∩ (C ∪ D)
= {1, 2, 3, 4} ∩ {1, 2, 3, 5, 7}
= {1, 2, 3}
= A.

প্রশ্ন: দুই অংক বিশিষ্ট একটি সংখ্যা তোলা হলে সেটি ৯ এর গুণিতক হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
সংখ্যা পদ্ধতিতে দুই অংকের সংখ্যা আছে (১০ থেকে ৯৯ পর্যন্ত) ৯০টি।

৯ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা: ১৮, ২৭, ৩৬, ৪৫, ৫৪, ৬৩, ৭২, ৮১, ৯০, ৯৯ মোট ১০টি

∴ সম্ভাবনা = ১০/৯০ = ১/৯

প্রশ্ন: যদি 9^x - 9^{x - 1} = 648 হয়, তাহলে x^x এর মান কত?

সমাধান:
9^x - 9^{x - 1} = 648
⇒ 9^{x - 1}(9 - 1) = 648
⇒ 9^{x - 1} = (648/8) = 81
⇒ 9^{x - 1} = 9²
⇒ x - 1 = 2
⇒ x = 2 + 1 = 3

∴ x^x = 3³ = 27

প্রশ্ন: p = log₆18 - log₆3 হলে p এর মান কত?

সমাধান:
p = log₆18 - log₆3
⇒ p = log₆(18/3)
⇒ p = log₆6
∴ p = 1

প্রশ্ন: যদি A × B = {(1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c)} তাহলে সেট A নিচের কোনটি?

সমাধান:
A × B = {(x, y) : x, A সেটের উপাদান এবং y, B সেটের উপাদান}
∴ 1, 2 ∈ A
A = {1, 2}

প্রশ্ন: একটি মুদ্রা ৩ বার নিক্ষেপ করা হলে শুধুমাত্র একটি হেড আসার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
তিন বার নিক্ষেপ করা হলে নমুনা ক্ষেত্র হবে = {HHH, HHT, HTH, THH, TTH, THT, HTT, TTT}
মোট নমুনাক্ষেত্র = ৮টি

শুধুমাত্র একটি হেড আসে এমন ঘটনা ৩টি

∴ কমপক্ষে একটি হেড আসার সম্ভাবনা = ৩/৮

প্রশ্ন: যদি 2^x × 8^(1/4) = 2^(1/4) হয়, তাহলে x এর মান কত?

সমাধান:
2^x × 8(1/4) = 2(1/4)
⇒ 2^x × (2³)^(1/4) = 2^(1/4)
⇒ 2^x × 2^(3/4) = 2^(1/4)
⇒ 2^{{x + (3/4)}} = 2^(1/4)
∴ x + 3/4 = 1/4
⇒ x = 1/4 - 3/4
⇒ x = (1 - 3)/4 = - 2/4 = - 1/2

প্রশ্ন: log₂x + log₂(x + 6) = 4 হলে x এর মান কত?

সমাধান:
log₂x + log₂(x + 6) = 4
⇒ log₂{x(x + 6)} = 4
⇒ x(x + 6) = 2⁴
⇒ x(x + 6) = 16
⇒ x² + 6x - 16 = 0
⇒ x² + 8x - 2x - 16 = 0
⇒ x(x + 8) - 2(x + 8) = 0
⇒ (x + 8)(x - 2) = 0
∴ x = 2 or - 8

প্রশ্ন: A = {21, 22, 23, 24} হলে এর প্রকৃত উপসেট কয়টি?

সমাধান:
A সেটের উপাদান = 4 টি
A এর প্রকৃত উপসেট = 2⁴ = 16 টি
প্রকৃত উপসেট = 16 - 1 = 15 টি

প্রশ্ন: f(x) = 3x + 2 হলে, f^-1(x) কী হবে?

সমাধান:
ধরি,
f(x) = 3x + 2 = y
⇒ 3x = y - 2
∴ x = (y - 2)/3

যেহেতু,
f(x) = y
∴ f^{- 1}(y) = x
⇒ f^{- 1}(y) = (y - 2)/3
∴ f^{- 1}(x) = (x - 2)/3

প্রশ্ন: a^b = 121 যেখানে a এবং b দুটি পূর্ণসংখ্য। (a - 1)^{b + 1} এর মান নিচের কোনটি হতে পারে?

সমাধান:
121 = 11² , 
তাহলে a = 11 এবং b = 2 বিবেচনা করা যেতে পারে।

∴ (a - 1)^{b + 1}
= (11 - 1)^{2 + 1}
= 10³