নতুনদের বিসিএস প্রস্তুতি - ২০০ দিনে পুরো সিলেবাস

প্রশ্ন: রেখা'র ক্ষেত্রে নিচের কোনটি সঠিক?

সমাধান:
ইউক্লিড প্রদত্ত কয়েকটি বর্ণনা নিম্নরূপ:
১. যার কোনো অংশ নাই, তাই বিন্দু।
২. রেখার প্রান্ত বিন্দু নাই ।
৩. যার কেবল দৈর্ঘ্য আছে, কিন্তু প্রস্থ ও উচ্চতা নাই, তাই রেখা।
৪. যে রেখার উপরিস্থিত বিন্দুগুলো একই বরাবরে থাকে, তাই সরলরেখা।
৫. যার কেবল দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ আছে, তাই তল।
৬. তলের প্রান্ত হলো রেখা।
৭. যে তলের সরলরেখাগুলো তার ওপর সমভাবে থাকে, তাই সমতল।

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণ যথাক্রমে 40°, 60°, এবং 80°। এই ত্রিভুজটি কী ধরনের হবে?

সমাধান:
- যে ত্রিভুজের তিনটি কোণই এক সমকোণের চেয়ে ছোট অর্থাৎ 90° চেয়ে ছোট তাকে সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ বলে।
- প্রদত্ত ত্রিভুজের তিনটি কোণই 90°-এর কম, তাই এটি একটি সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ।

- সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজের যে কোন দুইটি কোণের সমষ্টি সবসময়ই ৯০° এর চেয়ে বেশি।
- সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজের বাহুগুলো সমানও হতে পারে, আবার অসমানও হতে পারে।
- সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র, অন্তকেন্দ্র, পরিকেন্দ্র ও লম্বকেন্দ্র সবই ত্রিভুজের অভ্যন্তরে অবস্থিত।

প্রশ্ন: বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের একটি কোণ ৩৫° হলে উহার বিপরীত কোণের পরিমাণ কত হবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণদ্বয়ের সমষ্টি = ১৮০°
একটি কোণ ৩৫° হলে,

∴ অপর কোণটি হবে = (১৮০ - ৩৫)°
= ১৪৫°

প্রশ্ন: একটি কোণ, তার পূরক কোণ অপেক্ষা ২৪° বেশি হলে, কোণটির মান কত হবে?

সমাধান:
মনে করি,
একটি কোণ = ক°
∴ কোণটির পূরক কোণ হবে = (৯০ - ক)°

শর্তমতে,
ক - (৯০ - ক) = ২৪
⇒ ক - ৯০ + ক = ২৪
⇒ ২ক = ২৪ + ৯০
⇒ ২ক = ১১৪
⇒ ক = ১১৪/২
∴ ক = ৫৭

∴ কোণটির মান ৫৭°

প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের অন্তর 6 মিটার এবং তাদের মধ্যে লম্ব দূরত্ব 8 মিটার। ট্রাপিজিয়াম ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 112 বর্গ মিটার হলে, বৃহত্তম বাহুটির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি, ক্ষুদ্রতম বাহু = x মিটার
∴ বৃহত্তম বাহু = (x + 6) মিটার

∴ ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = (1/2) × (সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের সমষ্টি) × উচ্চতা
= (1/2) × 8 × (x + x + 6) বর্গ মিটার

প্রশ্নমতে,
(1/2) × 8 × (x + x + 6) = 112
⇒ 8 × (x + x + 6) = 224
⇒ 2x + 6 = 28
⇒ 2x = 22
∴ x = 11

∴ বৃহত্তম বাহুটির দৈর্ঘ্য = (11 + 6) = 17 মিটার

প্রশ্ন: দুই বা ততোধিক বিন্দু একই সরলরেখায় অবস্থান করলে ঐ বিন্দুগুলোকে কী বলে?

সমাধান:
- দুই বা ততোধিক বিন্দু একই সরলরেখায় অবস্থান করলে ঐ বিন্দুগুলোকে সমরেখ বিন্দু বলে।
- ইংরেজিতে একে Collinear Points বলা হয়।
- উদাহরণ: যদি A, B, C তিনটি বিন্দু একই সরলরেখার উপর থাকে, তাহলে A, B, C সমরেখ বিন্দু।

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজাকৃতি মাঠের তিন দিকের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 30 মিটার, 25 মিটার, 21 মিটার হলে মাঠটির অর্ধপরিসীমা কত?

সমাধান:
ত্রিভুজের পরিসীমা 2s হলে,

আমরা জানি,
2s = a + b + c
⇒ 2s = (30 + 25 + 21)
⇒ 2s = 76
∴ s = 38

∴ মাঠটির অর্ধপরিসীমা 38 মিটার

প্রশ্ন: ΔABC এর BC বাহুকে D পর্যন্ত বর্ধিত করা হয়েছে। CE, ∠ACD এর সমদ্বিখণ্ডক। AB ।। CE এবং ∠ECD = 65° হলে ∠ACB এর মান কত?

সমাধান:
 
যেহেতু CE, ∠ACD কে সমদ্বিখণ্ডিত, তাই ∠ECD = ∠ECA = 65°
∴ একান্তর ∠ECA = একান্তর ∠BAC = 65°
আবার, ∠ECD = অনুরূপ ∠ABC = 65° [যেহেতু AB ।। CE ]

∴ ∠ABC + ∠BAC + ∠ACB = 180°
⇒ 65° + 65° + ∠ACB = 180°
⇒ ∠ACB = 180° - 130°
∴ ∠ACB = 50°

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ও একটি রম্বসের ক্ষেত্রফলের সমান। বর্গক্ষেত্রের একবাহুর দৈর্ঘ্য 12 সে.মি. এবং রম্বসের একটি কর্ণ 16 সে.মি. হলে রম্বসটির অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
মনেকরি
রম্বসটির অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য = x সে.মি.

বর্গক্ষেত্রের একবাহুর দৈর্ঘ্য 12 সে.মি.
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = 144 বর্গ সে.মি.
রম্বসের ক্ষেত্রফল= 144 বর্গ সে.মি.
রম্বসের একটি কর্ণ = 16 সে.মি.

আমরা জানি,
রম্বসের ক্ষেত্রফল = (1/2) × (কর্ণদ্বয়ের গুণফল)
⇒ 144 = (1/2)(x × 16)
⇒ 8x = 144
∴ x = 18

∴ রম্বসটির অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য 18 সে.মি.

প্রশ্ন: রেখাংশের প্রান্তবিন্দুর সংখ্যা কয়টি?

সমাধান:
রেখাংশ:
- একটি রেখার উপর দুইটি ভিন্ন বিন্দু হলে ঐ বিন্দু দুইটিসহ তাদের অন্তর্বর্তী সকল বিন্দুর সেটকে বিন্দু দুইটির সংযোজক রেখাংশ বলে।
- ভিন্ন বিন্দু দুইটিকে রেখাংশের প্রান্তবিন্দু বলে।
- আবার প্রান্ত বিন্দুদ্বয়ের মধ্যবর্তী সকল বিন্দু ঐ রেখাংশের উপর অবস্থিত।
অর্থাৎ, রেখাংশ হলো রেখার একটি সসীম অংশ, তাই রেখাংশের দুইটি প্রান্তবিন্দু থাকে।

অন্যদিকে,
- রেখা হল অসীম দূরত্ব পর্যন্ত বিস্তৃত সরল পথ।
- এর কোনো শুরু বা শেষ নেই, অর্থাৎ কোনো প্রান্তবিন্দু নেই।

- রশ্মির একটি প্রান্ত বিন্দু আছে।

প্রশ্ন: প্রদত্ত চিত্রের আলোকে 'X' এর মান কত?


সমাধান:
এখানে,
∠AOC + ∠AOD = 180°
⇒ 110° + ∠AOD = 180°
⇒ ∠AOD = 180° - 110°
∴ X = 70°

প্রশ্ন: ΔABC-এ, ∠A = 40°, ∠C = 80° এবং BC || DE হলে, ∠BDE = ?


সমাধান:
BC || DE এবং AC ছেদক।
∴ ∠AED = ∠C = 80°

বহিস্থ কোণ অন্তঃস্থের বিপরীত কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান।
∴ ∠BDE = ∠A + ∠AED
⇒ ∠BDE = 80° + 40°
∴ ∠BDE = 120°

প্রশ্ন: 40 মিটার পরিসীমা বিশিষ্ট একটি বর্গক্ষেত্র বৃত্তে অন্তর্লিখিত হয়েছে। বৃত্তটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:


ABCD বর্গের পরিসীমা = 40 মিটার
ABCD বর্গের বাহু = পরিসীমা/4 = (40/4)
= 10 মিটার

যেহেতু বর্গটি অন্তর্লিখিত, তাই বর্গক্ষেত্রের কর্ণই হবে বৃত্তটির ব্যাস।।
∴ বৃত্তের ব্যাস = বর্গটির কর্ণ = বাহু × √2
= 10√2 মিটার

∴ বৃত্তের ব্যাসার্ধ = (10√2)/2 = 5√2 মিটার

∴ বৃত্তটির ক্ষেত্রফল = πr²
= π(5√2)² বর্গ মিটার
= (π × 25 × 2) বর্গ মিটার
= 50π বর্গ মিটার

প্রশ্ন: কয়েকটি সমান্তরাল সরলরেখার সর্বোচ্চ কয়টি বিন্দুতে মিলিত হয়?

সমাধান:
 

সমান্তরাল রেখা সবসময় পরস্পর থেকে একটি নির্দিষ্ট দূরত্বে অবস্থান করে। তাই তারা পরস্পর পরস্পরকে কখনো ছেদ করে না।
অর্থাৎ, নির্দিষ্ট কোনো বিন্দু নেই যেখানে সমান্তরাল রেখাসমূহ পরস্পরকে ছেদ করে।

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের পার্থক্য ৬ ডিগ্রি। সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের মধ্যে ক্ষুদ্রতম কোণের মান কত?

সমাধান:
ধরি, ক্ষুদ্রতম কোণ = "ক"
সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের মধ্যে বৃহত্তম কোণ = (ক + ৬)
সমকোণী ত্রিভুজের একটি কোণ ৯০°

প্রশ্নমতে,
ক + ক + ৬ + ৯০° = ১৮০°
⇒ ২ক + ৯৬° = ১৮০°
⇒ ২ক = ১৮০° - ৯৬°
⇒ ২ক = ৮৪°
∴ ক = ৪২°

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল 616 বর্গ সে.মি হলে, বৃত্তটির ব্যাসার্ধ কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r
এবং বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²

প্রশ্নমতে,
πr² = 616
⇒ r² = 616/π
⇒ r² = 616/(22/7)
⇒ r² = (616 × 7)/22
⇒ r² = 4312/22
⇒ r² = 196
⇒ r = √(196)
∴ r = 14

∴ বৃত্তটির ব্যাসার্ধ 14 সে.মি.

প্রশ্ন: প্রদত্ত চিত্রে AB ও CD পরস্পর সমান্তরাল হলে, x এর মান কত?


সমাধান:


এখানে,
∠AOF + ∠BOF = ∠AOB
⇒ ∠AOF + 50° = 180°
⇒ ∠AOF = 180° - 50°
∴ ∠AOF = 130°

আবার,
∠AOF = ∠CPO [অনুরূপ কোণ]
∴ ∠x = 130°

[অনুরূপ কোণ: যদি দুটি সমান্তরাল রেখাকে একটি তির্যক রেখা ছেদ করে, তখন যে কোণগুলো একই পাশে এবং একই অবস্থানে গঠিত হয়, তাদের অনুরূপ কোণ বলে।]

প্রশ্ন: একটি সামান্তরিকের ভূমি উচ্চতার 5/6 অংশ এবং উচ্চতা 18 মিটার হলে সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সামান্তরিকের উচ্চতা = 18 মিটার
সামান্তরিকের ভূমি = 18 এর 5/6
= (18 × 5)/6
= 90/6
= 15 মিটার

আমরা জানি,
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = ভূমি × উচ্চতা
= 15 × 18
= 270 বর্গমিটার

প্রশ্ন: দুটি বিন্দুকে সংযোগকারী সংক্ষিপ্ততম পথ কী নামে পরিচিত?

সমাধান:
- দুটি বিন্দুর মধ্যে সরলরেখার কোনো নির্দিষ্ট অংশই রেখাংশ।
- এটি দুই প্রান্তে সীমিত থাকে এবং এটি বিন্দু দুটি সংযোগকারী সবচেয়ে সংক্ষিপ্ত পথ।

রেখাংশ:
- একটি রেখার উপর দুইটি ভিন্ন বিন্দু হলে ঐ বিন্দু দুইটিসহ তাদের অন্তর্বর্তী সকল বিন্দুর সেটকে বিন্দু দুইটির সংযোজক রেখাংশ বলে।
- ভিন্ন বিন্দু দুইটিকে রেখাংশের প্রান্তবিন্দু বলে। আবার প্রান্তবিন্দুদ্বয়ের মধ্যবর্তী সকল বিন্দু ঐ রেখাংশের উপর অবস্থিত।
- অর্থাৎ, রেখাংশ হলো রেখার একটি সসীম অংশ। তাই রেখাংশের দুইটি প্রান্তবিন্দু থাকে।

• রেখা সম্পর্কিত কিছু গুরুত্বপূর্ণ তত্ত্ব:
- রেখার কোনো প্রান্তবিন্দুর নেই।
- রশ্মির একটি প্রান্তবিন্দু আছে।

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান দুটি বাহুর দৈর্ঘ্য 10 সে.মি. করে এবং ভূমি 12 সে.মি.। ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য a = 10 সে.মি.
ভূমির দৈর্ঘ্য b = 12 সে.মি.

∴ ক্ষেত্রফল = (b/4) × √(4a² - b²)
= (12/4) × √{4 × (10)² - (12)²}
= 3 × √(400 - 144)
= 3 × √256
= 3 × 16
= 48 বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন: বৃত্তের কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী সকল জ্যা একে অপরের-

সমাধান:
বৃত্তের জ্যা ও ব্যাস সম্পর্কিত উপপাদ্য ও অনুসিদ্ধান্ত:
- বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাস ভিন্ন কোনো জ্যা-এর মধ্যবিন্দুর সংযোজক রেখাংশ ঐ জ্যা-এর ওপর লম্ব।
- বৃত্তের যেকোনো জ্যা-এর লম্ব-দ্বিখন্ডক কেন্দ্রগামী।
- যেকোনো সরলরেখা একটি বৃত্তকে দুইয়ের অধিক বিন্দুতে ছেদ করতে পারে না।
- বৃত্তের কেন্দ্র থেকে ব্যাস ভিন্ন কোনো জ্যা-এর ওপর অঙ্কিত লম্ব ঐ জ্যাকে সমদ্বিখন্ডিত করে।
- বৃত্তের সমান সমান জ্যা কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী।
- বৃত্তের কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী সকল জ্যা পরস্পর সমান।
- বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা।

প্রশ্ন: 180° < ∠A < 360° হলে, ∠A কোন ধরনের কোণ?

সমাধান:


১৮০° অপেক্ষা বড় এবং ৩৬০° অপেক্ষা ছোট কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলে।
অতএব, ∠A একটি প্রবৃদ্ধ কোণ।

উল্লেখ্য-
- এক সমকোণ থেকে ছোট কোণকে সূক্ষ্মকোণ বলে।
- এক সমকোণ থেকে বড় কিন্তু দুই সমকোণ থেকে ছোট কোণকে স্থূলকোণ বলে।
- দুই সমকোণ থেকে বড় কিন্তু চার সমকোণ থেকে ছোট কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলে।
- যে কোণের পরিমাপ ৩৬০০ (চার সমকোণ) এর সমান, তাকে পূর্ণকোণ (Complete Angle) বলে।
- সমতলস্থ দুইটি সরলরেখা যদি পরস্পরকে কোথাও ছেদ না করে, তবে তাদেরকে পরস্পর সমান্তরাল রেখা বলে।
- সমান্তরাল রেখার মধ্যবর্তী দূরত্ব সব সময় সমান থাকে।

প্রশ্ন: একটি চতুর্ভুজ আঁকার জন্য নিচের কোন উপাত্তগুলো প্রয়োজন?

সমাধান:
চতুর্ভুজের চারটি বাহু দেওয়া থাকলেই একটি নির্দিষ্ট চতুর্ভুজ আঁকা যায় না। নির্দিষ্ট চতুর্ভুজ আঁকার জন্য পাঁচটি স্বতন্ত্র উপাত্ত প্রয়োজন হয়।

নিম্নে বর্ণিত পাঁচটি উপাত্ত জানা থাকলে, নির্দিষ্ট চতুর্ভুজ আঁকা যায়।
১. চারটি বাহু ও একটি কোণ
২. চারটি বাহু ও একটি কর্ণ
৩. তিনটি বাহু ও দুইটি কর্ণ
৪. তিনটি বাহু ও এদের অন্তর্ভুক্ত দুইটি কোণ
৫. দুইটি বাহু ও তিনটি কোণ

উৎস: গণিত, নবম-দশম শ্রেণি

প্রশ্ন: y = mx + c সমীকরণে, m কী নির্দেশ করে?

সমাধান:
- সরলরেখার সমীকরণ y = mx + c -এ, m নির্দেশ করে রেখার ঢাল।
- যা নির্ধারণ করে রেখাটি কতটা খাড়া বা তির্যক হবে।
- ঢাল m হলো Δy/Δx অর্থাৎ, x অক্ষের প্রতি একক পরিবর্তনের জন্য y অক্ষের পরিবর্তন।
- ঢাল যদি ধনাত্মক হয়, তবে রেখাটি উপরের দিকে উঠবে, আর ঋণাত্মক হলে নিচের দিকে নামবে।

প্রশ্ন: কোন ত্রিভুজের তিনটি বাহুকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ তিনটির সমষ্টি কত?

সমাধান:
 

ত্রিভুজের যেকোন বাহুকে বর্ধিত করলে বহিঃস্থ যে কোণ উৎপন্ন হয় তা বিপরীত অন্তঃস্থ দুই কোণের সমষ্টির সমান।
∠CBD = ∠A + ∠C
∠BAF = ∠B + ∠C
∠ACE = ∠A + ∠B

বহিঃস্থ কোণ তিনটির সমষ্টি = ∠CBD + ∠BAF + ∠ACE 
= ∠A + ∠C + ∠B + ∠C + ∠A + ∠B
= ২(∠A + ∠B + ∠C)
= ২ × ১৮০° [ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি ১৮০°]
= ৩৬০° 

প্রশ্ন: চতুর্ভুজের চারটি কোণ যথাক্রমে x, 3x, 4x, 4x হলে, বৃহত্তম কোণের মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
চতুর্ভুজের চার কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ বা 360°

শর্তমতে,
x + 3x + 4x + 4x = 360°
⇒ 12x = 360°
⇒ x = 360°/12
∴ x = 30°

∴ বৃহত্তম কোণের মান = 4 × 30°
= 120°

প্রশ্ন: যদি দুটি রেখা সমকোণে মিলিত হয়, তবে তারা কী নামে পরিচিত?

সমাধান:
 

- দুটি রেখা যদি সমকোণে (৯০° কোণে) মিলিত হয়, তবে তারা লম্ব রেখা নামে পরিচিত।
- লম্ব রেখা একে অপরকে নির্ভুলভাবে ৯০° কোণে ছেদ করে।
- লম্ব রেখাকে '⊥ 'প্রতীক দ্বারা প্রকাশ করা হয়। যেমন: রেখা L₁ রেখা L₂-এর ওপর লম্ব হলে লেখা হয় L₁ ⊥ L₂

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য 60 ফুট ও প্রস্থ 45 ফুট। বাগানের ভিতরে চতুর্দিকে 3 ফুট চওড়া একটি রাস্তা আছে।রাস্তাটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য = 60 ফুট
আয়তাকার বাগানের প্রস্থ = 45 ফুট

∴ বাগানের ক্ষেত্রফল = 60 × 45
= 2700 বর্গফুট

রাস্তা বাদে বাগানের দৈর্ঘ্য = 60 - (3 × 2)
= 60 - 6
= 54 ফুট

রাস্তা বাদে বাগানের প্রস্থ = 45 - (3 × 2)
= 45 - 6
= 39 ফুট

∴ রাস্তা বাদে বাগানের ক্ষেত্রফল = (54 × 39) বর্গফুট
= 2106 বর্গফুট

∴ রাস্তার ক্ষেত্রফল = (2700 - 2106) বর্গফুট
= 594 বর্গফুট

প্রশ্ন: নিচের চিত্রে y এর মান কত?


সমাধান:
এখানে,
3x + 2x = 180°
⇒ 5x = 180°
⇒ x = 36°
∴ 2x = 72°

আবার, 2x এবং y + 30 পরস্পর বিপ্রতীপ কোণ।
আমরা জানি, বিপ্রতীপ কোণদ্বয় পরস্পর সমান।
∴ y + 30° = 72°
⇒ y = 72° - 30°
∴ y =  42°

প্রশ্ন: নিচের প্রতিটি গুচ্ছে তিনটি করে সরলরেখার দৈর্ঘ্য দেয়া আছে। কোন গুচ্ছের সরলরেখাগুলোকে দিয়ে ত্রিভুজ অংকন সম্ভব নয়?

সমাধান:
আমরা জানি,
ত্রিভুজের যেকোন দুই বাহুর যোগফল তার তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর।

এখানে,
৩ + ৮ = ১১ > ৮
৭ + ৬ = ১৩ > ১১
১৩ + ৮ = ২১ > ২০

কিন্তু, ১১ + ১৩ = ২৪ < ২৫

∴ ১১, ১৩, ২৫ দৈর্ঘ্যের সরলরেখাগুলো দ্বারা ত্রিভুজ অংকন সম্ভব নয়।

প্রশ্ন: O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের A বিন্দুতে বৃত্তের স্পর্শক AB এবং ∠AOB = 45° হলে ∠ABO = কত?

সমাধান:
 

O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের A বিন্দুতে বৃত্তের স্পর্শক AB, OA রেখা AB এর উপর লম্ব।
এবং ∠AOB = 45°
বৃত্তের স্পর্শবিন্দুতে স্পর্শক সর্বদা ঐ বিন্দুগামী ব্যাসার্ধের উপর লম্ব হয়,
অর্থাৎ ∠OAB = 90°

এখন △ AOB এ
∠AOB + ∠ABO + ∠OAB = 180°
⇒ 45° + ∠ABO + 90° = 180°
⇒ ∠ABO = 180° - 135°
∴ ∠ABO = 45°

প্রশ্ন: নিচের কোন চতুর্ভুজটির এক জোড়া সমান্তরাল বাহু রয়েছে?

সমাধান:
আয়ত (Rectangle): এর দুই জোড়া বিপরীত বাহু সমান্তরাল (এবং সমান)।
রম্বস (Rhombus): এর দুই জোড়া বিপরীত বাহু সমান্তরাল (এবং চারটি বাহুই সমান)।
সামান্তরিক (Parallelogram): এর দুই জোড়া বিপরীত বাহু সমান্তরাল।
ট্রাপিজিয়াম হলো সেই চতুর্ভুজ, যার ঠিক এক জোড়া সমান্তরাল বাহু বিদ্যমান।

• ট্রাপিজিয়াম: 
যে চতুর্ভুজের দুটি বাহু পরস্পর সমান্তরাল কিন্তু অসমান অর্থাৎ সমান নয় তাকে ট্রাপিজিয়াম বলে।

ট্রাপিজিয়ামের বৈশিষ্ট্য:
- ট্রাপিজিয়ামের দুইটি বাহু সমান্তরাল,
- সমান্তরাল বাহু দুইটি কখনও সমান হতে পারে না,
- সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের একটিকে ভূমি বলে,
- সমান্তরাল বাহু দুটি ব্যতীত অপর দুটি বাহুকে তীর্যক বাহু বলে,
- তীর্যক বাহু দুইটি সমান হলে উহা একটি সমদ্বিবাহু ট্রাপিজিয়াম।

∴ ট্রাপিজিয়ামের এক জোড়া সমান্তরাল বাহু রয়েছে।

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের বাহুগুলির দৈর্ঘ্য 7 একক, 8 একক, এবং 9 একক হলে, এর ক্ষেত্রফল কী হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ত্রিভুজের বাহুগুলি a = 7, b = 8, c = 9

অর্ধপরিসীমা, s = (a + b + c)/2
= (7 + 8 + 9)/2
= 24/2
= 12

এখন,
ক্ষেত্রফল = √{s(s - a)(s - b)(s - c)}
= √{12(12 - 7)(12 - 8)(12 - 9)}
= √{12 × 5 × 4 × 3}
= √{720}
= √{144 × 5}
= 12√5 বর্গ একক

প্রশ্ন: যদি দুটি বৃত্তের ব্যাস 16 সে.মি. এবং 24 সে.মি. হয়, তবে তাদের পরিধির অনুপাত কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ r একক হলে বৃত্তের পরিধি 2πr একক

∴ ১ম বৃত্তের পরিধি = 2π(16/2)
= 2π × 8
= 16π সে.মি.

∴ ২য় বৃত্তের পরিধি = 2π(24/2)
= 2π × 12
= 24π সে.মি.

∴ ১ম বৃত্তের পরিধি/২য় বৃত্তের পরিধি = 16π/24π
= 16/24
= 2/3

⇒ ১ম বৃত্তের পরিধি : ২য় বৃত্তের পরিধি = 2 : 3

প্রশ্ন: যদি বৃত্তের সমীকরণ x² + y² - 8x + 10y + 16 = 0 হয়, তবে বৃত্তের কেন্দ্র কী হবে?

সমাধান:
বৃত্তের সাধারণ সমীকরণ হলো x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0,
যেখানে (- g, - f) হলো কেন্দ্র এবং c হলো একটি ধ্রুবক।

প্রদত্ত সমীকরণ: x² + y² - 8x + 10y + 16 = 0

এখানে,
2g = - 8
∴ g = - 4

আবার, 2f = 10
∴ f = 5

∴ বৃত্তের কেন্দ্র = (- g, - f)
= (4, - 5)

প্রশ্ন: রম্বসের ক্ষেত্রে নিচের কোন বাক্যটি সত্য?

সমাধান:
রম্বস:
- যে চতুর্ভুজের চারটি বাহু সমান ও সমান্তরাল কিন্তু কর্ণ দুইটি অসমান তথা কোণগুলো সমকোণ নয় তাকে রম্বস বলে।
- রম্বসের বিপরীত বাহু সমান্তরাল।
- সামান্তরিকের সন্নিহিত বাহুদ্বয় সমান হলে তখন তা রম্বস হয়ে
- রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
- রম্বসের বিপরীত কোণগুলো পরস্পর সমান।
- রম্বসের কর্ণদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ 90°
- রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল।

প্রশ্ন: ত্রিভুজের যেকোন দুই বাহুর লম্বদ্বিখন্ডক যে বিন্দুতে ছেদ করে তাকে কি বলে?

সমাধান:
পরিকেন্দ্র:
- ত্রিভুজের যেকোন দুই বাহুর লম্বদ্বিখন্ডক যে বিন্দুতে ছেদ করে তাকে ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র বলে।

অন্তঃকেন্দ্র:
- ত্রিভুজের তিন কোণের সমদ্বিখণ্ডকগুলো যে বিন্দুতে ছেদ করে তাকে অন্তঃকেন্দ্র বলে।

ভরকেন্দ্র:
- ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয়ের ছেদবিন্দুকে ভরকেন্দ্র বলে।

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য 7 মিটার এবং একটি বাহুর দৈর্ঘ্য 2√6 মিটার। অপর বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি,
অপর বাহুর দৈর্ঘ্য a মিটার

পিথাগোরাসের সূত্র অনুযায়ী,
(2√6)² + a² = 7² 
⇒ 24 + a² = 49
⇒ a² = 49 - 24
⇒ a² = 25
∴ a = 5

∴ অপর বাহুর দৈর্ঘ্য 5 মিটার

প্রশ্ন: কোন তিনটি বাহু দ্বারা সমকোণী ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব? 

সমাধান:
পিথাগোরাসের উপপাদ্যমতে,
সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষুদ্রতম দুটি বাহুর বর্গের সমষ্টি বৃহত্তম বাহু (অতিভুজ)-এর বর্গের সমান হবে।
∴ ভূমি^২ + লম্ব^২ = অতিভুজ^২

অপশন ক:
√2, √3, 5
বৃহত্তম বাহু = 5² = 25
অপর দুই বাহু = (√2)² + (√3)² = 2 + 3 = 5
যেহেতু 25 ≠ 5, সমকোণী ত্রিভুজ নয়।

অপশন খ:
2, 3, 7
বৃহত্তম বাহু = 7² = 49
অপর দুই বাহু = 2² + 3² = 4 + 9 = 13 
যেহেতু 49 ≠ 13, সমকোণী ত্রিভুজ নয়।

অপশন গ:
√2, √3, √5
বৃহত্তম বাহু = (√5)² = 5
অপর দুই বাহু = (√2)² + (√3)² = 2 + 3 = 5
যেহেতু 5 = 5, সমকোণী ত্রিভুজ।

অপশন ঘ:
5, 8, 13
বৃহত্তম বাহু = 13² =169
অপর দুই বাহু = 5² + 8² = 25 + 64 = 89
যেহেতু 169 ≠ 89, সমকোণী ত্রিভুজ নয়।

সঠিক উত্তর: গ) √2, √3, √5

প্রশ্ন: ABCD রম্বসের কর্ণ AC = 8 সে.মি. এবং কর্ণ BD = 6 সে.মি. হলে, রম্বসের পরিসীমা কত?

সমাধান:
 
ধরি,
AC ও BD কর্ণদ্বয় পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করে।
আমরা জানি,
রম্বসে কর্ণদ্বয় পরস্পর সমকোণে সমদ্বিখন্ডিত করে।
∴ AOD সমকোণী ত্রিভুজ। যেখানে ∠AOD = 90°
AO = AC/2 = 8/2 = 4 সে.মি.
DO = BD/2 = 6/2 = 3 সে.মি.

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী,
AD² = AO² + DO²
⇒ AD = √(4² + 3²)
⇒ AD = √(16 + 9)
⇒ AD = √25
অতএব, AD = 5 সে.মি. 

∴ রম্বসের এক বাহুর দৈর্ঘ্য 5 সে.মি.
∴ রম্বসের পরিসীমা = 4 × বাহুর দৈর্ঘ্য = 4 × 5 = 20 সে.মি.

প্রশ্ন: O কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তের AB ও CD দুটি সমান জ্যা। OE এবং OF যথাক্রমে কেন্দ্র থেকে AB ও CD এর লম্ব দূরত্ব। OE = 10 সে.মি. হলে OF = কত? 

সমাধান:
 
দেওয়া আছে,
O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের AB ও CD দুটি জ্যা।

বৃত্তের সকল সমান জ্যা কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী।
যেহেতু AB = CD তাহলে কেন্দ্র থেকে দূরত্ব OE = OF হবে।
OE = 10 সে.মি. হলে OF = 10 সে.মি. হবে।

প্রশ্ন: ABC সমবাহু ত্রিভুজের একটি মধ্যমা AD এবং G ভরকেন্দ্র। AG = ১৪ সে. মি. হলে AD কত?

সমাধান:
 
আমরা জানি,
ভরকেন্দ্র ত্রিভুজের মধ্যমাকে ২ : ১ অনুপাতে বিভক্ত করে।

প্রশ্নমতে,
AG : GD = ২ : ১
⇒ ১৪/GD = ২/১
⇒ GD = ১৪/২
∴ GD = ৭

∴ AD = (AG + GD) সে. মি.
= (১৪ + ৭) সে. মি.
= ২১ সে. মি.

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ 6 সে.মি. এবং একটি বৃত্তচাপ কেন্দ্রে 60° কোণ উৎপন্ন করলে, বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r = 6 সে.মি.
বৃত্তচাপ দ্বারা কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণ, θ = 60°

আমরা জানি,
বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল = (πr²θ)/360°
= (π × 6² × 60°)/360°
= (π × 36 × 60°)/360°
= (π × 2160°)/360°
= 6π

∴ বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল = 6π বর্গসে.মি.

প্রশ্ন: কোন বৃত্তের বৃত্তস্থ কোণ ৬৫° হলে, কেন্দ্রস্থ কোণ হবে কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
কোন বৃত্তের কেন্দ্রস্থ কোণ তার বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ।

∴ বৃত্তের বৃত্তস্থ কোণ ৬৫° হলে, কেন্দ্রস্থ কোণ হবে = ৬৫° × ২
= ১৩০°

∴ কোন বৃত্তের বৃত্তস্থ কোণ ৬৫° হলে, কেন্দ্রস্থ কোণ হবে ১৩০°।

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা ২১০ মিটার। আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ দৈর্ঘ্যের ২/৫ গুণ। আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ কত মিটার?

সমাধান:
ধরি,
∴ আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = ক মিটার
আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = ২ক/৫ মিটার

প্রশ্নমতে,
২(ক + ২ক/৫) = ২১০
বা, ২{(৫ক + ২ক)/৫} = ২১০
বা, ২ × ৭ক/৫ = ২১০
বা, ১৪ক/৫ = ২১০
বা, ১৪ক = ৫ × ২১০
বা, ১৪ক = ১০৫০
বা, ক = ১০৫০/১৪
∴ ক = ৭৫

∴ আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = (২ × ৭৫)/৫ মিটার
= ১৫০/৫ মিটার
= ৩০ মিটার