১০০ দিনে বিসিএস প্রস্তুতি [বিষয়ভিত্তিক]

a = 1, b = 2, c = 3, d = 4 হলে
abcd = 1 × 2 × 3 × 4 = 24
ab + cd = 1 × 2 + 3 × 4 = 14
abcd + 1 = 1 × 2 × 3 × 4 + 1 = 25, যা একটি পূর্নবর্গ সংখ্যা। 
abcd - 1 = 1 × 2 × 3 × 4 + 1 - 1 = 23

8 থেকে 17 তম সংখ্যায় পিছিয়ে যাই: 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0, -1, -2, -3, -4, -5, -6, -7, - 8
গড় হল = {8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 + 0 + (-1) + (-2) + (-3) + (-4) + (-5) + (- 6) + (-7) + (-8)} / 17 = 0/17 = 0

আমরা জানি সকল স্বাভাবিক সংখ্যাই (N) পূর্ণসংখ্যা (Z), আবার সকল পূর্ণসংখ্যাই (Z), মূলদ সংখ্যা (Q), আবার সকল মূলদ সংখ্যাই (Q) বাস্তব সংখ্যার (R) অন্তর্ভুক্ত।
যেহেতু এরা প্রত্যেকেই পরস্পরের উপসেট তাই উত্তর হবে N⊂Z⊂Q⊂R

সোর্স: নবম-দশম শ্রেণি, সাধারণ গণিত 

আমরা জানি,
ভগ্নাংশের ল.সা.গু = (লবগুলোর ল.সা.গু)/(হরগুলোর গ.সা.গু)।
এখানে, ২, ৩, ৫ লবগুলোর ল.সা.গু = ৩০ এবং ৫, ৪, ৭ হরগুলোর গ.সা.গু = ১
সুতরাং ২/৫, ৩/৪, ৫/৭ ভগ্নাংশ গুলোর ল.সা.গু = ৩০/১
= ৩০

দুইটি সহমৌলিক সংখ্যার গ. সা .গু সবসময় ১।

প্রথম x সংখ্যক বিজোড় স্বাভাবিক সংখ্যার যোগফল x²

|x - 1| < 5
বা, -5 < x-1 < 5
বা, -5 + 1 < x-1 + 1 < 5+1
∴ - 4 < x < 6
অর্থাৎ x = (-4, 6)

প্রশ্নে ভুল আছে, |x - 1| < 5 থাকলে উত্তর খ) {- 4, 6} ঠিক হতো।

দেওয়া আছে, সবুজ মার্বেল = 2, লাল মার্বেল = 2
মোট মার্বেল = 2 + 2 = 4

এলোমেলোভাবে বাছাই করা মার্বেলগুলির সম্ভাব্যতা যা উভয়ই সবুজ = ²C₂ / ⁴C₂ = 1/6

দেওয়া আছে,
cos θ =15/17
⇒ secθ = 17/15
⇒ sec²θ = 289/225
⇒ 1 + tan²θ = 289/225
⇒tan²θ = 289/225 - 1
⇒tan²θ = 64/225
⇒tanθ = 8/15
⇒ cot(90 - θ) = 8/15

ধরি, ২০টি কলমের ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা
∴ ২৫% লাভে বিক্রয়মূল্য = ১২৫ টাকা
অর্থ্যাৎ, ২০টি কলমের বিক্রয়মূল্য = ১২৫ টাকা।
∴ x সংখ্যক কলমের বিক্রয় মূল্য = ১২৫x/ ২০ টাকা

শর্তমতে, ১২৫x/২০ = ১০০
বা, x = (১০০ × ২০)/১২৫
= ১৬ টি কলম।

x = 7 - 4√3
⇒ x = 4 + 3 - 4√3
⇒ x = (2)² + (√3)² - 2 × 2√3
⇒ x = (2 - √3)² [ a² + b² - 2ab = (a + b)²]
⇒ √x = = 2 -√3
⇒ 1/√x = 1/(2 - √3)
⇒ 1/√x = [1/(2 - √3) × {(2 + √3)/(2 + √3)}]
⇒ 1/√x = (2 + √3)

∴ x + 1/√x = 2 - √3 + 2 + √3 = 4.

ধরি, সরলরেখার দৈর্ঘ্য ৩ একক।
তবে এর এক-তৃতীয়াংশের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ১ বর্গ একক।
সরলরেখার উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (৩ × ৩) = ৯ বর্গ একক
∴ সরলরেখার উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফল উক্ত সরলরেখার এক-তৃতীয়াংশের ওপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফলের (৯ / ১) = ৯ গুণ

মনে করি,
বৃত্তের ব্যসার্ধ = ১০০ একক
∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = π × (১০০)²
= ১০০০০π বর্গ একক

২১% বৃদ্ধিতে ক্ষেত্রফল 
= ১০০০০π × ১২১/১০০
= ১২১০০π
= π(১১০)²

∴ পরিবর্তিত ব্যাসার্ধ = ১১০ একক

∴ ব্যাসার্ধের শতকরা বৃদ্ধি
= ১১০ - ১০০
= ১০%

কোনো উপাত্তে যে সংখ্যা সর্বাধিক বার উপস্থাপিত হয়, সেই সংখ্যাই উপাত্তের প্রচুরক।
১, ৩, ১০, ৫, ১, ৮, ৭, ৯, ১, ৯, ৫, ৭ উপাত্তগুলোর মধ্যে ১ সর্বাধিক ৩ বার আছে।
সুতরাং, প্রদত্ত উপাত্তগুলোর প্রচুরক = ১।

ধরি, ছাত্রসংখ্যা = ক
প্রশ্নমতে, ক^২ = ৬৫৬১
বা, ক = √৬৫৬১ = ৮১

১ টাকায় ক্রয় করে = ৩ টি আম
১০০  ''     ''    ''   = ৩×১০০ = ৩০০টি আম
২টি আমের বিক্রয়মূল্য = ১ টাকা
৩০০টি   ″         ″      = {(‌১×৩০০)÷২} = ১৫০ টাকা
∴ লাভ = (১৫০ - ১০০)% = ৫০%

ধরি,
ভূমি = a, লম্ব = b এবং অতিঃ c = 17
∴ পরিসীমা = a + b + c = 40
বা, a + b = 40 - c = 40 - 17 = 23 cm
বা, (a + b)² = 23²
বা, (a² + b²) + 2ab = 529
বা, c² + 2ab = 529 (পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে a² + b² = c²)
বা, 2ab = 529 - c² = 529 - 289 = 240
বা, ab = 120
∴ Δ = 1/2 ab = 120/2 = 60 বর্গ সে. মি.

When at least 2 women are included.
The committee may consist of 3 women, 2 men : It can be done in ⁴C₃ × ⁶C₂ ways
or, 4 women, 1 man : It can be done in ⁴C₄ × ⁶C₁ ways
or, 2 women, 3 men : It can be done in ⁴C₂ × ⁶C₃ ways.
Total number of ways of forming the committees
= ⁴C₂ × ⁶C₃ + ⁴C₃ × ⁶C₂ + ⁴C₄ × ⁶C₁
= 6 x 20 + 4 x 15 + 1 x 6
= 120 + 60 + 6
= 186

চিত্রে, AB = AC
∴ ∠B = ∠C
বা, y = 2x
এখন, 2x + 8y = 180°
বা, 2x + 8.2x = 180°
বা, 2x + 16x = 180°
বা, 18x = 180°
∴ x = 10°

x⁴ + 1/x⁴
= (x2)2 + (1/x2)2
= (x2 + 1/x2)2 - 2.x2.1/x2
= {(x - 1/x)2 + 2.x.1/x}2 - 2
= (22 + 2)2 - 2
= 36 - 2 = 34

ধরি, f(x) = x⁴-5x³+7x²-a
যেহেতু (x-2), f(x) একটি উৎপাদক।
∴ x-2 = 0
⇒ x = 2 হলে f(x) এর মান শূন্য হবে।
এখন f(x) = x4-5x³+7x²-a
∴ f(2) = 24-5.2³+7.2²-a
= 4-a
শর্তমতে, f(2) = 0
বা, 4-a = 0
∴ a = 4.

রহিম ও করিমের টাইপ করতে সময়ের অনুপাত = ৫ঃ৮
সুতরাং তাদের কাজের গতিবেগ = ৮ঃ৫।
অর্থাৎ যার কাজ করতে কম সময় লাগে তার গতিবেগ বেশি।

মিশ্রনে দুধ ও পানির অনুপাত = ৭ঃ২
অনুপাতের সমষ্টি = ৯
∴ দুধ = (৪৫৯×৭)/৯ = ৩৫৭ লিটার এবং
পানি = (৪৫৯×২)/৯ = ১০২
∴ ৩৫৭ : (১০২ + a) = ৭ঃ৩ [a লিটার পানি যোগ করে]
বা, ৩৫৭/(১০২+a) = ৭/৩
বা, ৫১/(১০২ + a) = ১/৩
বা, a + ১০২ = ১৫৩
∴ a = ৫১

মনেকরি,
চিনির মূল্য ১০০ টাকা
১০% কমে চিনির মূল্য = ১০০-১০ = ৯০ টাকা
বর্তমান মূল্য ৯০ টাকায় পূর্বমূল্য = ১০০ টাকা
∴ বর্তমান মূল্য ১ টাকায় পূর্বমূল্য = ১০০/৯০ টাকা
∴ বর্তমান মূল্য ১০০ টাকায় পূর্বমূল্য =  (১০০ × ১০০)/৯০
= ১১১(১/৯) টাকা
∴ চিনির ব্যবহার বাড়াতে হবে = ১১১(১/৯) - ১০০ টাকা
= ১১(১/৯) টাকা

BOC ত্রিভুজে বহিঃস্থ ∠AOB = ∠OBC + ∠OCB
∠AOB + x = 180°
∠OBC + ∠OCB + x = 180°
y + y = 180° - x
y = 68/2
y = 34°

আমরা জানি, ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = 180°
এখানে একটি সমকোণী ত্রিভুজ = 90°
সুতরাং বাকি দুটি কোণের সমষ্টি = 2x + 3x = 90°
Or, 5x = 90°
Or, x = 18°

দৈর্ঘ্য = 5a,
প্রস্থ = 4a,
উচ্চতা = 3a

∴ কর্ণের দৈর্ঘ্য় = √{(5a)2 + (4a)2 + (3a)2} = 30√2
বা, √(25a2 + 16a2 + 9a2) = 30√2
বা, √50a2 = 30√2
বা, 5√2a = 30√2
∴ a = 6

∴ আয়তন = 5a × 4a × 3a
= 60a3
= 60(6)3
= 60 × 216
= 12,960 ঘনমিঃ

দুটি ছক্কা একযোগে নিক্ষেপ করলে, আমরা পাই , n (S) = (6 x 6) = 36

Then, E = {(1, 2), (1, 4), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 2), (3, 4), (3, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 2), (5, 4), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}
∴ n(E) = 27

∴ P(E) = n(E)/n(S) = 27/36 = 3/4.

মনে করি,
আসল ক  টাকা

প্রশ্নমতে,
x টাকা ৬ বছরে সুদে আসলে দ্বিগুণ অর্থাৎ 2ক  টাকা হয়েছে।

তাই,
৬ বছরে সুদ এসেছে (2ক  - ক) = ক টাকা

এখন, সুদে আসলে তিনগুণ হতে হলে আমাদের সুদ লাগবে ২ক টাকা

তাহলে,
ক টাকা সুদ আসে ৬ বছরে
সুতরাং, ২ক টাকা সুদ আসবে (৬ X ২) = ১২ বছরে।

১ম পদ = a,
সাধারণ অন্তর = r,
∴ ৫ম পদ = ar4 = 40 ..... (1)
ষষ্ঠ পদ = ar5 = 80 ...... (2)
(2) নং ÷ (1) নং করে পাই,
⇒ r = 2

এখন,
(1) নং থেকে পাই,
a.2⁴ = 40
বা, 16a = 40
∴ a = 2.5

পদ্ধতি-০১
২০% হ্রাসে, বর্তমান মূল্য = ৮০ টাকা
পূর্বমূল্য ১০০ টাকা হলে বর্তমান মূল্য ৮০ টাকা
পূর্বমূল্য ১ টাকা হলে বর্তমান মূল্য ৮০/১০০ টাকা
পূর্বমূল্য ১২ টাকা হলে বর্তমান মূল্য (৮০ × ১২)/ ১০০ টাকা
                                          = ৯.৬ টাকা
৩ টি কলার বর্তমান মূল্য = (১২ - ৯.৬) = ২.৪ টাকা
∴ ১ টি কলার বর্তমান মূল্য = ২.৪ ÷ ৩ = ০.৮ টাকা

পদ্ধতি-০২
মূল্য ২০% কমায় কলার,
বর্তমান মূল্য ৮০ টাকা হলে পূর্ব মূল্য ১০০ টাকা
বর্তমান মূল্য ১ টাকা হলে পূর্ব মূল্য ১০০/৮০ টাকা
বর্তমান মূল্য ১২ টাকা হলে পূর্ব মূল্য (১০০×১২)/৮০ = ১৫ টাকা

 ∴ ৩ টি কলার পূর্ব মূল্য = (১৫-১২) = ৩ টাকা
তাই ১ টি কলার পূর্ব মূল্য = ৩/৩ টাকা = ১ টাকা।

এখন, একটি কলার বর্তমান মূল্য = ১ - (১ × ০.২০) = ০.৮ টাকা।

AD মধ্যমা তাই AD রেখা ∠BAC কে সমদ্বিখন্ডিত করে।
ত্রিভুজটি সমবাহু হওয়ায় ∠BAC = 60° তাই ∠BAD এর মান 30°.

স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি = {n(n+1) / 2}²

এখানে, (√3)^(x+1) = (3√3)^(2x-1)
বা, 3^{1/2(x+1)} = 3^{{(1+1/2)(2x-1)}}
বা, (x+1)/2 = 3/2 × (2x-1)
বা, x+1 = 3 × (2x-1)
বা, x+1 = 6x-3
বা, 5x = 4
বা, x = 4/5
উৎসঃ সাধারণ গণিত, নবম-দশম শ্রেণি।

৩৩(১/৩)% বৃদ্ধিতে, x এর পরিমাণ = (১০০+১০০/৩) = ৪০০/৩
y এর পরিমাণ কমাতে হবে = (৪০০/৩ - ১০০)
= (৪০০-৩০০)/৩
=১০০/৩
৪০০/৩ এ কমাতে হয় = ১০০/৩
∴১০০ তে কমাতে হয় (১০০X১০০)/৪০০ = ২৫
∴২৫% কমাতে হবে।

x²-5x+6 > 0
⇒ x²-2x-3x+6 > 0
⇒ x(x-2) - 3(x-2) > 0
⇒ (x-2)(x-3) > 0
x > 0 হবে যদি (x-2) ও (x-3) উভয়ই ধনাত্মক বা উভই ঋনাত্মক হয়। তাই সমাধান হবে (-∞,2) ∪ (3,+∞)।