সহকারী থানা শিক্ষা অফিসার (ATEO)

প্রশ্ন: (2p + 5q)² + 2(2p + 5q)(5q - 2p) + (5q - 2p)² = কত?

সমাধান:
ধরি,
2p + 5q = a 
এবং, 5q - 2p = b

∴ প্রদত্ত রাশি = a² + 2ab + b³
= (a + b)²
= (2p + 5q + 5q - 2p)² 
=(10q)²
=100q² 

প্রশ্ন: নিচের কোনটি 56x³ + 189y³ এর একটি উৎপাদক?

সমাধান:
56x³ +189y³
= 7(8x³ + 27y³)
=7{(2x)³+ (3y)³}
=7(2x + 3y) {(2x)² - 2x × 3y + (3y)²} 
= 7(2x + 3y)(4x² - 6xy + 9y²)

প্রশ্ন: 6q² - q - 15 এর একটি উৎপাদক (3q - 5) হলে, অপর উৎপাদকটি কত?

সমাধান:
6q² - q - 15
= 6q² + 9q - 10q - 15 
= 3q(2q + 3) - 5(2q + 3)
= (2q + 3)(3q - 5)

প্রশ্ন: a = - 3 এবং b = 2 হলে, 8a³ + 36a²b + 54ab² + 27b³ এর মান-

সমাধান:
দেওয়া আছে, a = - 3 এবং b = 2;

প্রদত্ত রাশি = 8a³ + 36a²b + 54ab² + 27b³
=(2a)³ + 3 · (2a)² · 3b + 3 · 2a · (3b)² + (3b)³
= (2a + 3b)³
= {2(- 3) + 3(2)}³
= (- 6 + 6)³
=(0)³
= 0

প্রশ্ন: 4a² - 12ab + 9b² - 4c² এর উৎপাদকগুলো হলো- 

সমাধান: 
4a² - 12ab + 9b² - 4c²
=(2a)² - 2 · 2a · 3b + (3b)² - (2c)²
=(2a - 3b)² - (2c)²
=(2a - 3b - 2c)(2a - 3b + 2c)

প্রশ্ন: |2x - 3| < 7 অসমতাটির সমাধান কোনটি?

সমাধান:
(2x - 3) অঋণাত্মক হলে, 
2x - 3 < 7 
⇒ 2x - 3 + 3 < 7 + 3
⇒ 2x < 10
⇒ x < 5

আবার, (2x - 3) ঋণাত্মক হলে, 
- (2x - 3) < 7 
⇒ (2x - 3) > - 7
⇒ 2x - 3 + 3 > - 7 + 3
⇒ 2x >- 4
⇒ x > - 2

∴ নির্ণেয় অসমতা  - 2 < x < 5

প্রশ্ন: x² - 3x + 1 = 0 হলে, x² + 1/x² এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে
x² - 3x + 1 = 0
x² + 1 = 3x
x²/x + 1/x = 3x/x
x + 1/x = 3

x² + 1/x² = (x + 1/x)² - 2.x.1/x
= 3² - 2
= 9 - 2
= 7

অসমতা (Inequalities): 
- অসমতা এক ধরনের গাণিতিক বাক্যের প্রকাশ যা সংখ্যা, পরিমাপ বা গাণিতিক বাক্যের ক্রমের সম্পর্ক নির্দেশ করে। 
- গাণিতিকভাবে অসমতাকে ‘<’ ‘>’ ‘≥’ ‘≤’ ইত্যাদি সম্পর্ক প্রতীক দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
- অসমতার সমাধান নির্দিষ্ট কোন সংখ্যা বা মানের জন্য স্থির না থেকে সমাধানের ব্যাপ্তি নির্দেশ করে। অর্থাৎ নির্দিষ্ট সেটে বা অঞ্চলে বিদ্যমান সকল মানের জন্য অসমতা সিদ্ধ হয়।
- বীজগণিতীয় চলরাশি একাধিক মাত্রা পরিগ্রহ করে বলে বীজগণিতীয় অসমতার ক্ষেত্রে ক্ষুদ্রতর বা বৃহত্তর চিহ্নের সাথে সমান চিহ্ন জুড়ে দিয়ে বৃহত্তর সমান বোঝাতে "≥" চিহ্ন এবং ক্ষুদ্রতর বা সমান বোঝাতে "≤" চিহ্ন ব্যবহৃত হয় এরূপ অসমতাকে অপ্রকৃত অসমতা এবং "<" বা ">" চিহ্ন যুক্ত অসমতাকে প্রকৃত অসমতা বলে।

প্রশ্ন: 2 < x < 8 হলে, পরমমান চিহ্নের সাহায্যে অসমতাটির প্রকাশ হবে?

সমাধান:
অসমতাটির উর্ধ্বসীমা ও নিম্নসীমার গড় = (2 + 8)/2 = 5

এখন,
2 < x < 8
⇒ 2 - 5 < x - 5 < 8 - 5 [উভয়পক্ষ থেকে 5 বিয়োগ করে]
⇒ - 3 < x - 5 < 3
⇒ |x - 5| < 3

∴ পরমমান চিহ্নের সাহায্যে অসমতাটির প্রকাশ: |x - 5| < 3

প্রশ্ন: a + b = 7 এবং ab = 10 হলে, (a - b)² এর মান কত?

সমাধান: 
আমরা জানি,
(a - b)² = (a + b)² - 4ab
= (7)² - 4 × 10  
= 49 - 40
= 9

প্রশ্ন: যদি x < y এবং p < q হয়, তবে কোনটি সঠিক?

সমাধান:
এখানে,
x < y .........(1)
p <q .........(2)
(1) নং ও (2) নং যোগ করে পাই,
⇒ x + p < y + q
⇒ p + x < q + y

∴ অপশনের কোনটিই সঠিক নয়। 

প্রশ্ন: 9x² + 24x + 15 এর সাথে ন্যূনতম কত যোগ করলে এটি একটি পূর্ণ বর্গ সংখ্যা হবে?

সমাধান:
9x² + 24x + 15
= 9x² + 2 · 3x · 4 + 15
= (3x)² + 2 · 3x · 4 + 4² - 1
= (3x + 4)² - 1

অর্থাৎ, 9x² + 24x + 15 এর সাথে ন্যূনতম 1 যোগ করলে এটি একটি পূর্ণ বর্গ সংখ্যা হবে।

প্রশ্ন: a³ + b³ = 35, a + b = 5 হলে, ab = কত?

সমাধান:
a³ + b³ = (a + b)³ - {3ab × (a + b)}
⇒ 35 = 5³ - (3ab × 5)
⇒ 35 = 125 - 15ab
⇒ 15ab = 125 - 35
⇒ ab = 90/15
∴ ab = 6

প্রশ্ন: x⁴ + x² + 1 এর একটি উৎপাদক (x² + x + 1) হলে অপর উৎপাদকটি কত হবে?

সমাধান:
x⁴ + x² + 1
= x⁴ + 2x² - x² + 1
= ( x⁴ + 2x² + 1 ) - x²
= {(x²)² + 2 · x² · 1 + 1²} - x²
= (x² + 1)² - x²
= (x² + 1 + x)(x² + 1 - x)
= (x² + x + 1)(x² - x + 1)

প্রশ্ন: a + (1/a) = 7 হলে, a³ + (1/a)³ এর মান কত?

সমাধান:
 a³ + (1/a)³
= (a)³ + (1/a)³
= {a + (1/a)}³ - 3 · a · (1/a) {a + (1/a)}
= (7)³ - 3 × 7 
= 343 - 21
= 322

প্রশ্ন: (x + 6)(x + 4) কে দুইটি রাশির বর্গের অন্তররূপে প্রকাশ করলে হবে- 

সমাধান: 
আমরা জানি, ab = {(a + b)/2}² - {(a - b)/2)²
∴(x + 6)(x + 4)
= {(x + 6 + x + 4)/2}² - {(x + 6 - x - 4)/2}²
= {(2x + 10)/2}²  - (2/2)²
= (x + 5)² - 1²

প্রশ্ন: (1/a) + (1/b) + (1/c) = 0 হলে, (a + b + c)² এর মান কত? 

সমাধান: 
দেয়া আছে,
(1/a) + (1/b) + (1/c) = 0
বা, (bc + ca + ab)/abc = 0
বা, bc + ca + ab = 0
বা, 2(bc + ca + ab) = 0 × 2 
বা, 2bc + 2ca + 2ab = 0
বা, a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca = a² + b² + c²
∴ (a + b + c)² = a² + b² + c²

প্রশ্ন: সমাধান করুন: x - 2 < - 4 

সমাধান:
এখানে,
x - 2 < - 4
বা, x - 2 + 2 < - 4 + 2 [উভয় পক্ষে 2 যোগ করে]
বা, x < - 2

∴ নির্ণেয় সমাধান: x < - 2 

প্রশ্ন: a + b + c = 0 হলে a³ + b³ + c³ এর মান কত?

সমাধান: 
দেয়া আছে,
a + b + c = 0

প্রদত্ত রাশি= a³ + b³ + c³
= (a + b + c)(a² + b² + c² - ab - bc - ca) + 3abc 
= 0 + 3abc
= 3abc 

প্রশ্ন: যদি x + (1/x) = √3 হয়, তবে √3(x⁶ + 1)/x³ = কত?

সমাধান:
√3(x⁶ + 1)/x³
= √3{x³ + (1/x³)}
= √3[{x + (1/x)}³ - 3 · x · (1/x) {x + (1/x)}]
= √3{(√3)³ - 3 . √3}
= √3(3√3 - 3√3)
= √3 × 0
= 0

প্রশ্ন: সমাধান করুন: |3 - x| > 7

সমাধান:
এখন, (3 - x) অঋণাত্মক হলে,
3 - x > 7
⇒ - x > 7 - 3
⇒  - x > 4
⇒ x < - 4   [ -1 দ্বারা গুণ করে ]

আবার, (3 - x)  ঋণাত্মক হলে,
- (3 - x ) > 7
⇒ 3 - x < - 7  [ -1 দ্বারা গুণ করে]
⇒ - x < - 7 - 3
⇒ - x < - 10
⇒ x > 10

∴ নির্ণেয় সমাধান: x < - 4 অথবা x > 10

প্রশ্ন: কোনো পরীক্ষায় বাংলা ১ম ও ২য় পত্রে দীপ্তি পেয়েছে যথাক্রমে 5x এবং 6x নম্বর এবং সোমা পেয়েছে 4x এবং 84 নম্বর। কোনো পত্রে কেউ 40 এর নিচে পায়নি। বাংলা বিষয়ে সোমা হয়েছে প্রথম এবং দীপ্তি হয়েছে দ্বিতীয়। x এর মান সম্ভাব্য অসমতার মাধ্যমে প্রকাশ করুন। 

সমাধান: 
দেয়া আছে,
দীপ্তি পেয়েছে মোট = 5x + 6x নম্বর 
সোমা পেয়েছে মোট = 4x + 84 নম্বর

প্রশ্নমতে,
5x + 6x < 4x + 84
⇒ 5x + 6x - 4x < 84
⇒ 7x < 84
⇒ x < 84/7
⇒ x < 12

কিন্তু,
4x ≥ 40 [প্রাপ্ত সর্বনিম্ন নম্বর 40]
⇒ x ≥10
⇒ 10 ≤x

∴x এর মান সম্ভাব্য 10 ≤x < 12

প্রশ্ন: a + b + c = 16 এবং a² + b² + c² = 84 হলে, ab + bc + ca এর মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
(a + b + c)² = (a² + b² + c²) + 2(ab + bc + ca)
⇒ (16)² = 84 + 2(ab + bc + ca)
⇒ 256 - 84 = 2 (ab + bc + ca)
⇒ ab + bc + ca = 172/2
∴ ab + bc + ca = 86

প্রশ্ন: a + 1/a = 2 হলে a⁴ + 1/a⁴ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে
 a + 1/a = 2

এখানে
a⁴  + 1/a⁴
= (a²)² + (1/a²)²
= (a² + 1/a²)² - 2.a².1/a²
= {(a + 1/a)² - 2.a.1/a}² - 2
= {(2)² - 2}² - 2
= (4 - 2)² - 2
= (2)² - 2
= 4 - 2
= 2

প্রশ্ন: - 3 < p < 7 অসমতাটিকে পরমমান চিহ্নের সাহায্যে প্রকাশ করলে হবে-

সমাধান:
-3 < p < 7
⇒ -3 - 2 < p - 2 < 7 - 2 
⇒ -5 < p - 2 < 5
⇒ |p - 2| < 5

∴ পরমমান চিহ্নের সাহায্যে অসমতাটির প্রকাশ: |p - 2| < 5

প্রশ্ন: a + b = √7 এবং a - b = √5 হলে, 16ab(a² + b²) = কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
a + b=√7
a - b=√5

প্রদত্ত রাশি,
16ab (a² + b²)
= 2[4ab × 2(a² + b²)]
= 2[{(a + b)² - (a - b)²}{(a + b)² + (a - b)²}]
= 2[{(√7)² - (√5)²}{(√7)² + (√5)²}]
= 2[(7 - 5)(7 + 5)]
= 2[2 × 12]
= 48

প্রশ্ন: নিচের কোনটি a³ + 3a + 36 এর একটি উৎপাদক- 

সমাধান:
মনে করি,
f(a)= a³ + 3a + 36
 f( - 3)= (-3)³ + 3 · (-3) + 36
= - 27 - 9 + 36
= 0
∴(a + 3), f(a) এর একটি উৎপাদক

প্রশ্ন: x² - 13x + 42 কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করলে হবে- 

সমাধান: 
 x² - 13x + 42
= x² - 7x - 6x + 42
= x(x - 7) - 6(x - 7)
= (x - 7)(x - 6)