১৪০ দিনে ৫১তম বিসিএস প্রস্তুতি

2x + 2/x = 4
বা, 2 (x + 1/x) = 4
বা, x + (1/x) = 2
এখন,
x² + (1/x)²
= (x + 1/x)² - 2x(1/x)
= (2)² - 2
= 4 - 2
= 2

x² + y² = 4
x + y = 2
আমরা জানি,
(x + y)² = x² + y² + 2xy
বা, 2² = 4 + 2xy
∴ xy = 0
প্রদত্ত রাশি,
x³ + y³ = (x + y)³ - 3xy(x + y)
= 2³ - 3 × 0 × 2
= 8 - 0
= 8

প্রথম রাশিঃ
4(x² + ax)²,
= 2×2 x² (x + a)²
দ্বিতীয় রাশিঃ
6(x³ - a²x)
= 2×3 x(x + a)(x - a)
তৃতীয় রাশিঃ
14x³(x³ - a³)
= 2 × 7 × x³(x - a)(x² + ax + a²)
∴ ল.সা.গু. = 84x³(x + a)²(x³ - a³) 

(4m + 2n)³ + 3(4m + 2n)² (m - 2n) + 3(4m + 2n)(m - 2n)² + (m - 2n)³
= {(4m + 2n) + (m - 2n)}³
= (4m + 2n + m - 2n)³
= (5m)³
= 125m³

মনে করি, সংখ্যাটি =x
প্রশ্নমতে, x এর 50/100 = 38
⇒ x =(38 × 100)/50 = 76
∴ সংখ্যাটি = 76

9x² - 9x - 4
= 9x² + 3x -12x - 4
= 3x (3x + 1) - 4(3x + 1)
= (3x + 1)(3x - 4)

ধরি, লব = X এবং হর = Y
প্রশ্নমতে,
(X + ১)/(Y + ১) = ৪
X - ৪Y = ৩.....(1)
এবং
(X - ১)/(Y - ১) = ৭
X - ৭Y = -৬......(2)
(1) ও (2) থেকে পাই,
X = ১৫
Y = ৩
∴লব = ১৫

যখন কোনো চলকের সাথে কোনো অক্ষর প্রতীক গুণক হিসেবে যুক্ত থাকে, তখন ঐ গুণককে রাশিটির আক্ষরিক সহগ বলে।
[গণিত বই ষষ্ঠ শ্রেণি ৮০ পৃষ্ঠা]

|2x - 5| <3
- 3 <2x - 5 < 3
- 3 + 5 <2x < 3 + 5
2 < 2x < 8
1 < x < 4
∴ নির্ণেয় সমাধান = 1 < x < 4 

x + y = 7 .......(1)
x - y = 3 ...........(2)
(1) + (2) করে
2x = 10
x = 5
x এর মান (1) বসিয়ে,
5 + y = 7
y = 2
∴ (x, y) = (5, 2) 

কেটে নেওয়া কাগজের ক্ষেত্রফল = 5x বর্গমিটার
মূল কাগজের ক্ষেত্রফল = 45 বর্গমিটার
প্রশ্নমতে,
5x < 45
⇒ x < 9
∴x এর সম্ভাব্য মান 5 <x <9

মনে করি, সংখ্যা দুটি x ও y
x + y = 60 ......(1)
x - y = 20 .......(2)
(1) + (2) করে পাই,
2x = 80
x = 40
x এর মান (1) এ বসিয়ে পাই,
y = 20
∴ নির্ণেয় সংখ্যা দুইটি 40 ও 20

9x² - 30xy + 25y²
= (3x)² - 2.3x.5y + (5y)²
= (3x - 5y)²

আমরা জানি,
ab = ((a + b)/2)² - ((a - b)/2)²
∴ (2x + 3y) (4x + 5y)
= ((2x + 3y + 4x + 5y)/2)² - ((2x + 3y - 4x - 5y)/2))²
= ((6x + 8y)/2)² - ((-2y - 2x)/2)²
= (3x + 4y)² - (x + y)²

মনে করি, বেঞ্চের সংখ্যা x টি
যেহেতু প্রতিবেঞ্চে 6 জন করে ছাত্রী বসালে 2 টি বেঞ্চ খালি থাকে
∴ মোট ছাত্রী সংখ্যা = 6(x - 2)
আবার, প্রতি বেঞ্চে 5 জন করে ছাত্রী বসালে 6 জন ছাত্রীকে দাঁড়িয়ে থাকতে হয়
∴ মোট ছাত্রী সংখ্যা = 5x + 6
প্রশ্নমতে,
6(x - 2) = 5x + 6
বা, 6x - 5x = 18
বা, x = 18
∴ বেঞ্চের সংখ্যা 18 টি। 

x² + y² + z², x² - y² + z², -x² + y² - z²
১ম দুটি রাশির বিয়োগফল
= 2y²  
১ম দুটি রাশির বিয়োগফল + তৃতীয় রাশি = 2y² + (-x² + y² - z² )
= - x² + 3y² - z²

মনে করি সংখ্যাটি x
প্রশ্নমতে,
5x < 2x + 15
বা, 5x - 2x < 2x + 15 - 2x 
বা, 3x < 15
বা, x < 5
যেহেতু সংখ্যাটি ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা
∴ সংখ্যাটির সম্ভাব্য মান 0 < x < 5

a³ - 3a²b + 3ab² - 2b³
= a³ - 3a²b + 3ab² - b³ - b³
= ( a - b)³ - b³
= (a - 2b){(a - b)² + b(a -b) + b²}
= (a - 2b)(a² - ab + b²)

আমরা জানি,
নিশ্চয়ক D = (b² - 4ac)
∴ x² - 2x - 2 এর নিশ্চয়ক D = (-2)² - 4.1.(-2) = 12
∴ D>0 
∴ x² - 2x - 2 এর মূলের প্রকৃতি হবে বাস্তব ও অসমান।

মনে করি, ত্রিভুজের উচ্চতা x মিটার
ভূমি = (2x + 6) মিটার
প্রশ্নমতে,
⇒ (1/2) × (2x + 6) × x = 810
⇒ x² + 3x = 810
⇒ x² + 3x - 810 = 0
⇒ x² + 30x -27x - 810 = 0
⇒ (x + 30)(x - 27) = 0
∴ x = 27 or x = -30 [ গ্রহণ যোগ্য নয়]
∴ ত্রিভুজের ভূমি (2 × 27 + 6) = 60 মিটার।

ভাগশেষ উপপাদ্য অনুসারে,
ƒ(1) = 6(1)² - 7.1 + 5
= 11 - 7
= 4
∴ নির্ণেয় ভাগশেষ = 4   

x⁴ + 2x² + 1 = 5x²
বা, x² + 2 + 1/x² = 5
বা, x² + 1/x² = 3
বা, (x + 1/x)² - 2.x.(1/x) = 3
বা, (x + 1/x) = √5

মনে করি সংখ্যাটি = x
∴ (x × 50/100) - 50 = 50
বা, x/2 = 100
বা, x = 200
∴ নির্ণেয় সংখ্যা 200 

x√3 + 3 = 4
বা, x√3 = 1
বা, x = 1/√3

মনে করি, সমান্তরাল বাহুদ্বয় x ও (x+1) মিটার
∴ ট্রাপিজিতামের ক্ষেত্রফল =(3/2)(x + x+ 1) বর্গ মিটার
প্রশমতে,
বা, (3/2)(2x+1) = 30
বা, 2x + 1 = 20
বা, 2x = 19
বা, x = 9.5
∴ ক্ষুদ্রতম বাহুটির দৈর্ঘ্য = 9.5 মিটার।