প্রাইমারি শিক্ষক নিয়োগ প্রস্তুতি [লং কোর্স]

প্রশ্ন: 3 × 2ⁿ - 4 × 2^{n - 2} = ?

সমাধান:
3 × 2ⁿ - 4 × 2^{n - 2}
= 3 × 2ⁿ - 2² × 2^{n - 2}
= 3 × 2ⁿ - 2^{2 + n - 2}
= 3 × 2ⁿ - 2ⁿ
= 2ⁿ(3 - 1)
= 2ⁿ × 2 
= 2^{n + 1}

প্রশ্ন: 5 + 9 + 13 + 17 + ........ ধারাটির 17 টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
সমান্তর ধারাটির প্রথম পদ, a = 5
সাধারণ অন্তর, d = 9 - 5 = 4

আমরা জানি,
সমান্তর ধারার n  সমষ্টি = (n/2){2a + (n - 1)d}
প্রদত্ত ধারাটির 17 টি পদের সমষ্টি = (17/2){(2 × 5) + (17 - 1)4}
= (17/2){10 + (16 × 4)}
= (17/2)(10 + 64)
= (17/2) × 74 
= 629

প্রশ্ন: log_x (1/8) = - 3 হলে x এর মান কত?

সমাধান:
log_x (1/8) = - 3
⇒ x^{- 3} = 1/8
⇒ x^{- 3} = 1/2³
⇒ x^{- 3} = 2^{- 3}
⇒ x = 2

প্রশ্ন: 128 + 64 + 32 +...........  ধারাটির কোন পদ 1/2 ? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ, a = 128
সাধারণ অনুপাত, r = 64/128 = 1/2
n-তম পদ = 1/2

আমরা জানি,
n-তম পদ = ar^{n - 1} 

প্রশ্নমতে,
ar^{n - 1} = 1/2
⇒ 128 × (1/2)^{n - 1} = 1/2
⇒ (1/2)^{n - 1} = 1/(2 × 128)
⇒ (1/2)^{n - 1} = 1/256
⇒ (1/2)^{n - 1} = (1/2)⁸
⇒ n - 1 = 8
⇒ n = 8 + 1 
⇒ n = 9

প্রশ্ন: 5 + 8 + 11 + 14 + .................. ধারাটির 8 তম পদ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ধারাটির প্রথম পদ, a = 5
সাধারণ অন্তর, d = 8 - 5 = 3

আমরা জানি,
n-তম পদ = a + (n - 1)d
∴ 8-তম পদ = 5 + (8 - 1)3
= 5 + (7 × 3)
= 5 + 21
= 26

প্রশ্ন: log₁₂ √12 = x হলে x এর মান কত?

সমাধান:
log₁₂ √12 = x
⇒ 12^x = √12
⇒ 12^x = (12)^1/2
⇒ x = 1/2

প্রশ্ন: 1 + 2 + 4 + ................. ধারাটির 11 টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
গুণোত্তর ধারাটির প্রথম পদ, a = 1
সাধারণ অনুপাত, r = 2/1 = 2 
 পদসংখ্যা, n = 11

আমরা জানি, গুণোত্তর ধারার n সংখ্যক পদের সমষ্টি,
a × (rⁿ - 1)/(r - 1) [যেখানে, r > 1]

∴ 11 টি পদের সমষ্টি = 1 × (2¹¹ - 1)/(2 - 1) 
= 2¹¹ - 1
= 2048 - 1
= 2047

প্রশ্ন: x এর মান কত হলে 2^{x - 6} = 1/64 হবে?

সমাধান:
2^{x - 6} = 1/64
⇒ 2^{x - 6} = 1/2⁶
⇒ 2^{x - 6} = 2^{- 6}
⇒ x - 6 = - 6
⇒ x = - 6 + 6 
⇒ x = 0

প্রশ্ন: 29 + 25 + 21 +................ - 19 = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমান্তর ধারাটির প্রথম পদ, a = 29
সাধারণ অন্তর, d = 25 - 29 = - 4
n-তম পদ = - 19

আমরা জানি,
n-তম পদ = a + (n - 1)d

প্রশ্নমতে,
a + (n - 1)d = - 19
⇒ 29 + (n - 1)(- 4) = - 19
⇒ 29 - 4n + 4 = - 19
⇒ 33 - 4n = - 19
⇒ 4n = 33 + 19
⇒ 4n = 52
⇒ n = 52/4
⇒ n = 13

এখন, n-সংখ্যক পদের সমষ্টি = (n/2){2a + (n - 1)d}
= (13/2){(2 × 29) + (13 - 1)(- 4)}
= (13/2){58 + 12 × (- 4)}
= (13/2)(58 - 48)
= (13/2) × 10
= 65

প্রশ্ন: {(a²b^-1)/(a^-2b)}² এর মান কত?

সমাধান:
{(a²b^-1)/(a^-2b)}²
= {(a²/b)/(b/a²)}²
= {(a²/b) × (a²/b)}²
= (a⁴/b²)²
= a⁸/b⁴

প্রশ্ন: log_√2 16 এর মান কত?

সমাধান:
log_√2 16
= log_√2 2⁴
= log_√2 {(√2)²}⁴
= log_√2 (√2)⁸
= 8 log_√2 √2
= 8 × 1 [ log_a a = 1]
= 8

প্রশ্ন: 2a + 1, 10, 20, .......... গুণোত্তর ধারাটিতে a এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ধারাটির প্রথম পদ = 2a + 1
দ্বিতীয় পদ = 10 
তৃতীয় পদ = 20

আমরা জানি,
সাধারণ অনুপাত = দ্বিতীয় পদ/প্রথম পদ = তৃতীয় পদ/দ্বিতীয় পদ 

প্রশ্নমতে,
10/(2a + 1) = 20/10
⇒ 10/(2a + 1) = 2
⇒ 10 = 2(2a + 1)
⇒ 10 = 4a + 2
⇒ 4a = 10 - 2
⇒ 4a = 8
⇒ a = 8/4
⇒ a = 2

প্রশ্ন: 3^3y = 729 হলে 2^y এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
3^3y = 729
⇒ 3^3y = 3⁶
⇒ 3y = 6
⇒ y = 6/3 
⇒ y = 2

∴ 2^y = 2² = 4

প্রশ্ন: 13 + 20 + 27 + 34 +..................+ 104 ধারাটির পদ সংখ্যা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ধারাটির প্রথম পদ, a = 13
সাধারণ অন্তর, d = 20 - 13 = 7
ধরি,
পদসংখ্যা = n
এবং n-তম পদ = 104

আমরা জানি,
n-তম পদ = a + (n - 1)d 

সুতরাং,
a + (n - 1)d  = 104
⇒ 13 + (n - 1)7 = 104
⇒ 13 + 7n - 7 = 104
⇒ 7n + 6 = 104
⇒ 7n = 104 - 6
⇒ 7n = 98
⇒ n = 98/7
⇒ n = 14

অর্থাৎ ধারাটির পদসংখ্যা = 14 

প্রশ্ন: 1 + 2 + 2² + 2³ + ....................... + 2⁸ = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ, a = 1
সাধারণ অনুপাত, r = 2/1 = 2
পদসংখ্যা, n = 9

n-সংখ্যক পদের সমষ্টি = a(rⁿ - 1)/(r - 1)
= 1 × (2⁹ - 1)/(2 - 1)
= 2⁹ - 1
= 512 - 1
= 511

প্রশ্ন: 4^x = 8 হলে x এর মান কত?

সমাধান:
4^x = 8
⇒ (2²)^x = 2³
⇒ 2^2x = 2³
⇒ 2x = 3
⇒ x = 3/2