১৪তম - ২০তম গ্রেড পরীক্ষার প্রস্তুতি

প্রশ্ন: রেখাংশের কয়টি প্রান্ত বিন্দু থাকে?

সমাধান:
রেখাংশ:
- রেখার যে কোন অংশকে রেখাংশ বলে।
- রেখাংশের প্রান্ত বিন্দু দুইটি।
রশ্মি (Ray):
- একটি রেখার কোনো বিন্দু ও উহার এক পাশের অংশকে একত্রে রশ্মি বলা হয় এবং ঐ বিন্দুটিকে রশ্মিটির প্রান্ত বিন্দু বলা হয়।
- রশ্মির একটি মাত্র প্রান্ত বিন্দু থাকে।

রেখা (Line):
- দুটি তল পরস্পরকে ছেদ করলে রেখা হয়।
- রেখার কোন প্রান্ত বিন্দু নেই।

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 50 সে. মি হলে, এর কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = a²
⇒ a² = 50
⇒ a = √50
⇒ a = 5√2

∴ বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য = √2 × a
= √2 × 5√2
= 5 × 2
= 10

∴ বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য = 10 সে. মি.।

প্রশ্ন: ABC সমবাহু ত্রিভুজের একটি মধ্যমা AD এবং G ভরকেন্দ্র। AG = ১৪ সে. মি. হলে AD কত?

সমাধান:

আমরা জানি,
ভরকেন্দ্র ত্রিভুজের মধ্যমাকে ২ : ১ অনুপাতে বিভক্ত করে।

প্রশ্নমতে,
AG : GD = ২ : ১
⇒ ১৪/GD = ২/১
⇒ GD = ১৪/২
∴ GD = ৭

∴ AD = (AG + GD) সে. মি.
= (১৪ + ৭) সে. মি.
= ২১ সে. মি.

প্রশ্ন: 4x - 8y - 9 = 0 সরলরেখার ঢাল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
4x - 8y - 9 = 0 ......... (১)

আমরা জানি,
সরলরেখার সমীকরণ, y = mx + c.......... (২)
যেখানে, m = ঢাল
এখন, (১) হতে পাই,
⇒ - 8y = - 4x + 9
⇒ y = (4/8)x - (9/8)
⇒ y = (1/2)x - (9/8)
(২) নং এর সাথে তুলনা করে পাই,
∴ m = 1/2

সুতরাং, সরলরেখার ঢাল হলো, 1/2

প্রশ্ন: ΔABC ত্রিভুজের ∠B এর পরিমাণ ৪৮° এবং AB = AC হয়, তাহলে ∠A এর মান কত?

সমাধান:

চিত্রে, ∠B = ৪৮° এবং AB = AC 
∴ ∠B = ∠C = ৪৮°
আমরা জানি,
ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি 180°

প্রশ্নমতে,
⇒ ∠A + ∠B + ∠C = 180°
⇒ ∠A + 48° + 48° = 180°
⇒ ∠A + 96° = 180°
⇒ ∠A = 180° - 96° = 84°
∴ ∠A = 84°

প্রশ্ন: একটি সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল ৩৯০ বর্গমিটার। ভূমি ৩০ মিটার হলে উচ্চতার পরিমাণ কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = ভূমি × উচ্চতা
⇒ ৩৯০ = ৩০ × উচ্চতা
⇒ উচ্চতা = ৩৯০/৩০ = ১৩

সুতরাং, উচ্চতার পরিমাণ ১৩ মিটার।

প্রশ্ন: পিথাগোরাসের ত্রয়ীর বৃহত্তম সদস্য 25 এবং অন্য একটি সদস্য 7 হলে তৃতীয় সদস্যটি কত?

সমাধান:
তিনটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা a, b, c (যেখানে c> a, b) যদি c² = a² + b² শর্ত মানে তাহলে তাদেরকে (a, b, c) পিথাগোরাস ত্রয়ী বলা হয়।

যেমন:
c² = a² + b²
⇒ 25² = 7² + b²
⇒ 625 - 49 = b²
⇒ b² = 576
∴ b = 24

এমন আরো কয়েকটি ত্রয়ী হলো:
(5, 12, 13)
(3, 4, 5)
(8, 15, 17)
(9, 40, 41)

প্রশ্ন: ABC ত্রিভুজে AB =24 মিটার, BC= 18 মিটার এবং ক্ষেত্রফল 216 বর্গ মিটার হলে, ∠B =?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
AB= 24 মিটার
BC= 18 মিটার
এবং ABC ত্রিভুজে ক্ষেত্রফল = 216 বর্গ মিটার


আমরা জানি,
একটি ত্রিভুজের সন্নিহিত বাহুদ্বয় a, b হলে এবং তাদের অন্তর্ভুক্ত কোণ θ হলে,
ক্ষেত্রফল = (1/2) × a × b × sinθ

∴ △ABC এর ক্ষেত্রফল = (1/2) × AB × BC × sin ∠B
⇒ 216 = (1/2) × 24 × 18 × sin ∠B
⇒ 216 = 216 × sin ∠B
⇒ 216/216 = sin ∠B
⇒ sin ∠B = 1
⇒ sin ∠B = sin 90°
∴ ∠B = 90°

প্রশ্ন: দুটি সম্পূরক কোণের অনুপাত 13 : 5 হলে, বৃহত্তম কোণের মান কত?

সমাধান:
ধরি,
দুটি সম্পূরক কোণ যথাক্রমে 13x এবং 5x

আমরা জানি,
দুটি সম্পূরক কোণের যোগফল 180°

প্রশ্নমতে,
⇒ 13x + 5x = 180°
⇒ 18x = 180°
⇒ x = 180°/18
⇒ x = 10°

∴ বৃহত্তম কোণ = 13x = 13 × 10° = 130°

 

প্রশ্ন: নিচের কোন তিনটি রেখাংশের দৈর্ঘ্য দিয়ে একটি সমকোণী ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব? 

সমাধান: 
পীথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে, 
একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল অপর দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান। 
অর্থাৎ, 
5² + 12² = 13² 
⇒ 25 + 144 = 169

প্রশ্ন: (2, - 5) বিন্দুটি নিচের কোন সরল রেখার উপর অবস্থিত?

সমাধান: 
x = 2, y = - 5 বসিয়ে,

১নং এ, 4x + 3y = 5
4(2) + 3(- 5) = 8 - 15 = - 7 ≠ 5

২নং এ, 2x - y + 1 = 0
2(2) - (- 5) + 1 = 4 + 5 + 1 = 10 ≠ 0

৩নং এ, 2x + y = 1
2(2) + (- 5) = 4 - 5 = - 1 ≠ 1

৪নং এ, 4x - 3y = 23
4(2) - 3(- 5) = 8 + 15 = 23
∴ 23 = 23 ;যা সত্য

প্রশ্ন: x = 5 এবং y = 4x - 6 সরলরেখা দুটির ছেদ বিন্দুর স্থানাঙ্ক কোনটি?

সমাধান:
x = 5 ...... (১)
y = 4x - 6 ........ (২)

২নং সমীকরণে x এর মান বসিয়ে পাই,
y = (4 × 5) - 6
⇒ y = 20 - 6
⇒ y = 14

অতএব, সরলরেখা দুটির ছেদ বিন্দুর স্থানাঙ্ক হলো (5, 14)
 

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিন বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ৮ মিটার, ১২ মিটার এবং ১৪ মিটার হলে, বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম বাহুর মধ্যবিন্দু দু’টির দূরত্ব কত মিটার?

সমাধান:
আমরা জানি,
ত্রিভুজের যে কোন দুইবাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোজক সরলরেখা তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল ও অর্ধেক।

এখানে বৃহত্তম বাহু = ১৪ মিটার
এবং ক্ষুদ্রতম বাহু = ৮ মিটার।

∴ এদের মধ্যবিন্দু দুটির দূরত্ব হবে তৃতীয় বাহু ১২ মিটার এর অর্ধেক।
অর্থাৎ ৬ মিটার

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থের তিনগুণ। আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ৫০৭ মিটার। আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্যের পরিমাণ কত?

সমাধান:
ধরি,
প্রস্থ = ক মিটার
তাহলে দৈর্ঘ্য = ৩ক মিটার

আমরা জানি,
ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ
⇒ ৫০৭ = ক × ৩ক
⇒ ৩ক^২ = ৫০৭
⇒ ক^২ = ৫০৭/৩ = ১৬৯
⇒ ক^২ = ১৬৯
∴ ক = ১৩ মিটার

অতএব, প্রস্থ = ১৩ মিটার
এবং দৈর্ঘ্য = (১৩ × ৩) মিটার
= ৩৯ মিটার

সঠিক উত্তর: ক) সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ ও ঘ) সমকোণী ত্রিভুজ। 
অপশনে দ্বৈত উত্তর থাকায় প্রশ্নটি বাতিল করা হলো। 
------------------------------------------- 

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত ১ : ১ : ২ হলে, ত্রিভুজটি কোণ ধরণের ত্রিভুজ?

সমাধান:
আমরা জানি,  
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = ১৮০°
⇒ ২x + x + x = ১৮০°
⇒ ৪x = ১৮০°
⇒ x = ১৮০°/৪
∴ x = ৪৫°

∴ ১ম কোণ = ৪৫°
∴ ২য় কোণ = ৪৫°
∴ ৩য় কোণ = ২ × ৪৫° = ৯০°
যেহেতু একটি কোণ ৯০°

সুতরাং এটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ ।

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের বাহুগুলো যথাক্রমে ৮ সে. মি., ১৫ সে. মি. এবং ১৭ সে. মি.। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
সমকোণী ত্রিভুজের তিন বাহুর = ৮ সে. মি., ১৫ সে. মি. এবং ১৭ সে. মি. হলে,
বৃহত্তম বাহুটি অতিভুজ এবং অপর দুই বাহু ভূমি এবং লম্ব।

অর্থাৎ লম্ব ১৫ সে. মি. হলে ভূমি ৮ সে. মি.
অথবা লম্ব ৮ সে. মি. হলে ভূমি ১৫ সে. মি.

আমরা জানি,
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = {(১/২) × ভূমি × লম্ব} বর্গ একক
= (১/২) × ১৫ × ৮
= ৬০ বর্গ সে. মি.

অতএব, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল ৬০ বর্গ সে. মি.।

প্রশ্ন: নিচের কোন তথ্যের ভিত্তিতে চতুর্ভুজ অঙ্কন সম্ভব নয়?

সমাধান:
নির্দিষ্ট চতুর্ভুজ আঁকার জন্য পাঁচটি স্বতন্ত্র উপাত্ত প্রয়োজন হয়।
নিম্নে বর্ণিত পাঁচটি উপাত্ত জানা থাকলে, নির্দিষ্ট চতুর্ভুজ আঁকা যায়।
১. চারটি বাহু ও একটি কোণ।
২. চারটি বাহু ও একটি কর্ণ।
৩. তিনটি বাহু ও দুইটি কর্ণ।
৪. তিনটি বাহু ও এদের অন্তর্ভুক্ত দুইটি কোণ।
৫. দুইটি বাহু ও তিনটি কোণ।

প্রশ্ন: (4, 3) এবং (6, 5) বিন্দু দুইটির মধ্যবর্তী দূরত্ব কত?

সমাধান:
দুটি বিন্দুর মধ্যবর্তী দূরত্ব = √{(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²}
= √{(6 - 4)² + (5 - 3)²}
= √{(2)² + (2)²}
= √(4 + 4)
= √8
= 2√2 একক
 

প্রশ্ন: ত্রিভুজের যেকোন দুই বাহুর লম্বদ্বিখন্ডক যে বিন্দুতে ছেদ করে তাকে কি বলে?

সমাধান:
পরিকেন্দ্রঃ ত্রিভুজের যেকোন দুই বাহুর লম্বদ্বিখন্ডক যে বিন্দুতে ছেদ করে তাকে ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র বলে।
অন্তঃকেন্দ্রঃ ত্রিভুজের তিন কোণের সমদ্বিখণ্ডকগুলো যে বিন্দুতে ছেদ করে তাকে অন্তঃকেন্দ্র বলে।
ভরকেন্দ্রঃ ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয়ের ছেদবিন্দুকে ভরকেন্দ্র বলে।
বহিঃকেন্দ্রঃ যে বিন্দু হতে ত্রিভুজের তিনটি শীর্ষবিন্দুর দূরত্ব সমান তাকে বহিঃকেন্দ্র বলে।

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা ৩২ সে. মি. হলে, এর ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ৩২ সে. মি.

আমরা জানি,
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ৪ × এক বাহু

প্রশ্নমতে,
৪ × এক বাহু = ৩২
⇒ এক বাহু = ৩২ ÷ ৪
∴ এক বাহু = ৮
অর্থাৎ, বর্গক্ষেত্রটির একবাহু = ৮ সে. মি.

আবার,
আমরা জানি,
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ( একবাহু × একবাহু ) = (বাহু)^২ বর্গ একক
= (৮)^২ বর্গ সে. মি.
= ৬৪ বর্গ সে. মি.