Math Master

PAQC চতুর্ভুজের PA = CQ এবং PA ।। CQ.
∠A ও ∠C এর সমদ্বিখণ্ডক যথাক্রমে AB ও CD
∠A = ∠C 
⇒ ∠A এর সমদ্বিখণ্ডক = ∠C এর সমদ্বিখণ্ডক
⇒ AB = CD
⇒ AB ।। CD
ABCD ক্ষেত্রটি সামান্তরিক।

উপর্যুক্ত চিত্রটি রম্বসের।
রম্বসের ক্ষেত্রে, 
ক্ষেত্রফল = ১/২ × কর্ণদ্বয়ের গুণফল = 1/2 × d_{1 ×} d₂
সকল বাহু সমান অর্থাৎ AB = BC = CD = AD

ΔABC এর মধ্যমা BO কে D পর্যন্ত এমনভাবে বর্ধিত করা হল যেন BO = DO হয়।
A, D ও C, D যোগ করি। 
ΔAOB ≅ ΔCOD
ΔAOD ≅ ΔCOB
AD = BC
AB = CD

ABCD একটি সামান্তরিক।

ABC একটি সমবাহু ত্রিভুজ। D, E ও F যথাক্রমে AB, BC ও CA এর মধ্যবিন্দু। 

∠BDF + ∠DFE + ∠FEB + ∠EBD = 360°
DF ।। BC
DF = BC/2

একটি সমকোণী ত্রিভুজের তিন বাহুর দৈর্ঘ্য a, b ও c এবং a > b > c হলে,
c = লম্ব বা ভূমি 
b = ভূমি বা লম্ব
অর্থাৎ
c লম্ব হলে b ভূমি হবে অথবা b লম্ব হলে, c ভূমি হবে।
a সর্বদাই অতিভুজ হবে। 
কারণ সমকোণী ত্রিভুজের সবচেয়ে বড় বাহুই অতিভুজ।
---------------------------------------------------------
সংক্ষেপে,
উপর্যুক্ত প্রশ্নে সমকোণী ত্রিভুজের বৃহত্তম বাহু a যা সর্বদা অতিভুজ।
[ সমকোণী ত্রিভুজের বৃহত্তম বাহুকে অতিভুজ বলে ]

ΔABC ত্রিভুজের AB² = BC² + CA² হলে, 
AB = অতিভুজ 
BC = লম্ব বা ভূমি 
CA = ভূমি বা লম্ব
অতিভুজের বিপরীত কোণকে সমকোণ বলে। 
AB অতিভুজের বিপরীত কোণ = ∠C
∠C = 90°
∠A ও  ∠B কোণ দুইটির প্রত্যেকে সূক্ষ্মকোণ
----------------------------------------------
সংক্ষেপে, 
ABC সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে, 
অতিভুজ, AB এর বিপরীত কোণ সর্বদা বৃহত্তম কোণ ∠C যা 90°
[ যে কোন সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ হচ্ছে বৃহত্তম কোণ যা সর্বদা 90° ]

• ব্যাসার্ধ: একটি রেখাংশ যা বৃত্তের কেন্দ্রের সাথে বৃত্তের যে কোনো একটি বিন্দুকে যুক্ত করে।
• বৃত্তচাপ: বৃত্তের সাথে সংযুক্ত বা এর পরিধির কোনো অংশ।
• অধিচাপ:অর্ধবৃত্ত অপেক্ষা বড় চাপ।
• উপচাপ:অর্ধবৃত্ত অপেক্ষা ছোট চাপ।
• কেন্দ্র: বৃত্তের সকল বিন্দুর সেট হতে সমদূরবর্তী একটি নির্দিষ্ট বিন্দু।
• জ্যা: এমন একটি রেখাংশ যার প্রান্তিক বিন্দুদ্বয় বৃত্তের উপরে থাকে। বৃত্তের ব্যাস-ই বৃহত্তম জ্যা।
পরিধি: বৃত্তের পরিসীমার দৈর্ঘ্য।
• ব্যাস: একটি কেন্দ্রগামী রেখাংশ যার প্রান্তবিন্দুদ্বয় বৃত্তের পরিধিতে অবস্থিত। বৃত্তের বৃহত্তম জ্যা বৃত্তের কেন্দ্রগামী। বৃত্তের কেন্দ্রগামী জ্যাকে ব্যাস বলে।
• অর্ধবৃত্ত: ব্যাস ও একটি চাপ (যা ব্যাসের শেষ বিন্দুদ্বয়ের সাথে সংযুক্ত) দ্বারা বেষ্টিত অংশ।
• স্পর্শক: একটি একতলীয় সরলরেখা যা বৃত্ততে একটি একক বিন্দুতে স্পর্শ করে।

ABC ত্রিভুজের ∠A এক সমকোণ।
BP ও CQ দুইটি মধ্যমা।
BP = 3সে.মি. ও CQ = 4সে.মি.
5BC² = 4(BP² + CQ²)
5BC² = 4(3² + 4²)
5BC² = 4(9 + 16)
5BC² = 100
BC² = 20
BC = 2√5
BC বাহুর দৈর্ঘ্য = 2√5 সে.মি.

সূত্র - গণিত, অষ্টম শ্রেণি, বোর্ড বই

AC² = 2AB²
⇒ AC² = 2(2√2)² = 2 × 8 = 16
⇒ AC = 4 সেমি
----------------------------------
বিকল্প পদ্ধতিঃ
কর্ণ, AC = যে কোন এক বাহু(AB) × √2 = 2√2 × √2 = 4

একটি ত্রিভুজের বাহুগুলোর অনুপাত যথাক্রমে 1 : 1 : √2 হলে,
এর বৃহত্তম কোণটির মান = 90°
কারণ একটি ত্রিভুজের বাহুগুলোর অনুপাত যথাক্রমে 1 : 1 : √2 হলে, ত্রিভুজটি সমকোণী। 
সমকোণী ত্রিভুজের বৃহত্তম কোণ সর্বদা 90°
----------------------------------------------------------
সংক্ষেপে,
1 : 1 : √2 অনুপাতবিশিষ্ট ত্রিভুজের বৃহত্তম কোণ সর্বদা 90°
(5 : 12 : 13), (3 : 4 : 5), (7 : 24 : 25) প্রভৃতি অনুপাতবিশিষ্ট ত্রিভুজের বৃহত্তম কোণ সর্বদা 90°

মনে করি, সূক্ষ্মকোণ দুইটি যথাক্রমে x ও x + 5
x + x +5° = 90°
2x + 5° = 90°
2x = 85°
x = 85°/2
x = 42.5°
বৃহত্তম কোণটির পরিমাপ = 42.5° + 5° = 47.5°
---------------------------------------------------
সংক্ষেপে,
বৃহত্তম কোণ = (90° + 5°) ÷ 2 = 47.5°
ক্ষুদ্রতম কোণ = (90° - 5°) ÷ 2 = 42.5°

4, 4, 5 এর জন্য, 4² + 4² ≠ 5²
5, 12, 13 এর জন্য, 5² + 12² = 13² এক্ষেত্রে, সমকোণী ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব।
8, 10, 12 এর জন্য, 8² + 10² ≠ 12²
2, 3, 4 এর জন্য, 2² + 3² ≠ 4²

বৃত্তে অন্তর্লিখিত চতুর্ভুজের বিপরীত দুই কোণের সমষ্টি = দুই সমকোণ [ বৃত্তে অন্তর্লিখিত চতুর্ভুজ সংক্রান্ত উপপাদ্য ]

[ সূত্র - গণিত, নবম - দশম শ্রেণি, বোর্ড বই ]

জ্যা এর লম্বদ্বিখণ্ডক রেখাংশ বৃত্তের কেন্দ্রগামী। 
জ্যা এর দৈর্ঘ্য = 6 সেমি 
কারণ বৃত্তের ব্যাসার্ধের দিগুণ জ্যা হচ্ছে ঐ বৃত্তের ব্যাস
ব্যাসের মধ্যবিন্দু হচ্ছে বৃত্তের কেন্দ্র। 
অতএব, 3 সে.মি. ব্যাসার্ধবিশিষ্ট বৃত্তের কেন্দ্র থেকে 6 সে.মি. দৈর্ঘ্যের জ্যা এর দূরত্ব = 0 সেমি 
--------------------------------------------------------------------------------------------
বিকল্প পদ্ধতিঃ
বৃত্তের ব্যাসার্ধ ও এর দিগুণ দৈর্ঘ্যের জ্যা এর ক্ষেত্রে, বৃত্তের কেন্দ্র থেকে ঐ জ্যা এর দূরত্ব সর্বদা শূন্য।

2r ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের - 
(i) পরিধি = 2 × π × ব্যাসার্ধ = 2 × π × 2r = 4πr একক
(ii) ব্যাস = 2 × ব্যাসার্ধ = 2 × 2r = 4r একক
(iii) ক্ষেত্রফল = π × (ব্যাসার্ধ )² = π × (2r)² = 4πr² একক

3 সেমি ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের ক্ষেত্রফল = π × 3² = 9π বর্গ সেমি 
2 সেমি ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের ক্ষেত্রফল = π × 2² = 4π বর্গ সেমি 
পরিধিদ্বয়ের মাঝের অংশের ক্ষেত্রফল = 9π - 4π = 5π বর্গ সেমি
------------------------------------------------------------------
বিকল্প পদ্ধতিঃ
পরিধিদ্বয়ের মাঝের অংশের ক্ষেত্রফল = π(3² - 2²) = 5π বর্গ সেমি

গাড়ির চাকার ব্যাস 38 সে.মি. হলে, ব্যাসার্ধ = 38/2 = 19
অতএব, পরিধি = 2 × π × ব্যাসার্ধ = 2 × π × 19 = 38π 
চাকাটি একবার ঘুরলে অতিক্রম করে 38π সে.মি. দুরত্বের পথ
চাকাটি দুইবার ঘুরলে অতিক্রম করে 2 × 38π সে.মি. বা 76π সে.মি. দুরত্বের পথ
---------------------------------------------------------------------------
বিকল্প পদ্ধতিঃ
দুইবার ঘুরে চাকাটি অতিক্রম করবে
= 2 × পরিধি
= 2 × (π × ব্যাস) [ পরিধি = π × ব্যাস ]
= 2 × (π × 38)
= 76π  সে.মি.