১০০ দিনে বিসিএস প্রস্তুতি [বিষয়ভিত্তিক]

সিলেবাস

পরীক্ষা - ৮: গাণিতিক যুক্তি - সম্পূর্ণ সিলেবাস [৫০ নম্বর] 
উৎস: যেকোনো গাইড বই, ষষ্ঠ থেকে উচ্চ মাধ্যমিক শ্রেণি পর্যন্ত বোর্ড বই।

প্রশ্ন দেখুন অনুশীলন

১০০ দিনে বিসিএস প্রস্তুতি [বিষয়ভিত্তিক]

১০০ দিনে বিসিএস প্রস্তুতি [বিষয়ভিত্তিক] · তারিখ অনির্ধারিত · ৪৫ প্রশ্ন

১.

নিচের কোন সংখ্যাটি ক্ষুদ্রতম?

ক
ক) 2^1/2
খ
খ) 3^1/3
গ
গ) 4^1/4
ঘ
ঘ) 6^1/6

ব্যাখ্যা

• 2^1/2 =2^{(1/2) × 12} = 2⁶ = 64
• 3^1/3 = 3^{(1/3)× 12} = 3⁴ = 81
• 4^1/4 = 4^{(1/4) × 12} = 4³ = 64
• 6^1/6 = 6^{(1/6) × 12} = 6² = 36

২.

তিনটি ক্রমিক বিজোড় সংখ্যার প্রথমটির ৩গুণ তৃতীয়টির দ্বিগুণ অপেক্ষা ৩ বেশি। মধ্যম সংখ্যাটি কত?

ক
ক) 11
খ
খ) 13
গ
গ) 15
ঘ
ঘ) 17

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: তিনটি ক্রমিক বিজোড় সংখ্যার প্রথমটির ৩গুণ তৃতীয়টির দ্বিগুণ অপেক্ষা ৩ বেশি। মধ্যম সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
মনে করি,
তিনটি ক্রমিক ধারাবাহিক বিজোড় সংখ্যা যথাক্রমে x, x + 2 এবং x + 4

শর্তমতে,
3x - 2(x + 4) = 3
⇒ 3x - 2x - 8 = 3
⇒ x = 11

মধ্যম সংখ্যাটি = 11 + 2 = 13

৩.

দুটি সংখ্যার সমষ্টি ৩৫ এবং তাদের গসাগু এবং লসাগু যথাক্রমে ৩ এবং ১০৫ হলে, সংখ্যা দুটির বিপরীত ভগ্নাংশের সমষ্টি কত?

ক
ক) ১/৯
খ
খ) ১/১৫
গ
গ) ১/৩৫
ঘ
ঘ) ১/১০৫

অনির্ধারিত

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার সমষ্টি ৩৫ এবং তাদের গসাগু এবং লসাগু যথাক্রমে ৩ এবং ১০৫ হলে, সংখ্যা দুটির বিপরীত ভগ্নাংশের সমষ্টি কত?

সমাধান:
মনে করি,
সংখ্যা দুটি যথাক্রমে ক এবং খ

সুতরাং, ক + খ = ৩৫
এবং কখ = গসাগু × লসাগু = ৩ × ১০৫ = ৩১৫

এখন,
১/ক + ১/খ
= (ক + খ)/কখ
= ৩৫/৩১৫
= ১/৯

[গাণিতিকভাবে সমাধান করলে উত্তর ১/৯ পাওয়া যায়। কিন্তু লজিক্যালি প্রশ্নটি ভুল। কারণ বাস্তবে এমন কোন সংখ্যা পাওয়া যায় না যাদের সমষ্টি ৩৫ এবং ল.সা.গু. ও গ.সা.গু. যথাক্রমে ১০৫ ও ৩ হয়। তাই প্রশ্নটি বাতিল করা হয়েছে।]

৪.

x কে ৬ দ্বারা ভাগ করা হলে ৩ ভাগশেষ থাকে। ৩x কে ৫ দ্বারা ভাগ করা হলে ভাগশেষ কত?

ক
ক) ২
খ
খ) ৩
গ
গ) ৫
ঘ
ঘ) ৬

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x কে ৬ দ্বারা ভাগ করা হলে ৩ ভাগশেষ থাকে। ৩x কে ৫ দ্বারা ভাগ করা হলে ভাগশেষ কত?

সমাধান:
x = (৬ + ৩) = ৯ [ এখানে প্রথম সংখ্যাটি ৯ যাকে ৬ দিয়ে ভাগ করলে ৩ অবশিষ্ট থাকে]

তাহলে,
৩ × ৯ = ২৭ [ প্রথম সংখ্যার x এর মান বসিয়ে]
= ২৭ ÷ ৫ [ এখানে ভাগফল ৫, ভাগশেষ ২]

অর্থাৎ দ্বিতীয়ধাপের সংখ্যাটিকে তিনগুণ করলে ২৭ । এখন এই ২৭ কে ৫ দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ ২ থাকবে।

৫.

কোন সংখ্যা থেকে ৭৫ বাদ দিলে সংখ্যাটি কমে ২৫% হয়। তাহলে সংখ্যাটির ৩০% কত হবে?

ক
ক) ২০
খ
খ) ৩০
গ
গ) ৪০
ঘ
ঘ) ৫০

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোন সংখ্যা থেকে ৭৫ বাদ দিলে সংখ্যাটি কমে ২৫% হয়। তাহলে সংখ্যাটির ৩০% কত হবে?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি = ক
এখন,
বা, ক - ৭৫ = ২৫% × ক
বা, ক - ৭৫ = (২৫/১০০) × ক
বা, ক - ৭৫ = ক/৪
বা, ক - (ক/৪) = ৭৫
বা, ৩ক/৪ = ৭৫
বা, ৩ক = ৩০০
বা, ক = ১০০

∴ ৩০% এর ১০০ = (৩০/১০০) × ১০০ = ৩০

৬.

একটি দ্রব্য নির্দিষ্ট মূল্যে বিক্রি করে ১৫% লাভ হয়। দ্রব্যটি তিনগুণ মূল্যে বিক্রি করলে লাভের হার কত হবে?

ক
ক) ২৫০
খ
খ) ২৩০
গ
গ) ২২০
ঘ
ঘ) কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি দ্রব্য নির্দিষ্ট মূল্যে বিক্রি করে ১৫% লাভ হয়। দ্রব্যটি তিনগুণ মূল্যে বিক্রি করলে লাভের হার কত হবে?

সমাধান:
ধরি,
ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা।
ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য (১০০ + ১৫) = ১১৫ টাকা।

যদি দ্রব্যটি তিনগুণ দামে বিক্রি হয় তাহলে নতুন বিক্রয়মূল্য:
= (১১৫ × ৩)
= ৩৪৫

∴ মোট লাভ = (৩৪৫ - ১০০) = ২৪৫ টাকা।

সুতরাং, লাভের হার ২৪৫%

তাই সঠিক উত্তর: কোনটিই নয়।

৭.

যদি ক এর আয় খ এর আয়ের থেকে ২০% বেশি এবং খ এর আয় গ এর আয়ের থেকে ১০% কম হয়, তবে ক, খ, গ এর আয়ের অনুপাত কত?

ক
ক) ৪৪ : ৪৫ : ৪০
খ
খ) ৫৪ : ৪৫ : ৪০
গ
গ) ৪৫ : ৫০ : ৫৪
ঘ
ঘ) ৫৪ : ৪৫ : ৫০

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি ক এর আয় খ এর আয়ের থেকে ২০% বেশি এবং খ এর আয় গ এর আয়ের থেকে ১০% কম হয়, তবে ক, খ, গ এর আয়ের অনুপাত কত?
সমাধান:
ক : খ = ১২০ : ১০০ = ৬ : ৫
খ : গ = ৯০ : ১০০ = ৯ : ১০

এখন,
ক : খ = ৫৪ : ৪৫
খ : গ = ৪৫ : ৫০
এখানে ক : খ কে ৯ দ্বারা গুণ করা হয়েছে এবং খ : গ কে ৫ দ্বারা গুণ করা হয়েছে।
∴ ক : খ : গ = ৫৪ : ৪৫ : ৫০

৮.

একটি নির্দিষ্ট পরিমাণ টাকা ২ বছরে সুদে-আসলে ৩২০০ টাকা এবং ৫ বছরে সুদে-আসলে ৩৫০০ টাকা হলে বার্ষিক সরল সুদের হার কত হবে?

ক
ক) ১০/৩
খ
খ) ৮/৩
গ
গ) ৭/৩
ঘ
ঘ) ৫/৩

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি নির্দিষ্ট পরিমাণ টাকা ২ বছরে সুদে-আসলে ৩২০০ টাকা এবং ৫ বছরে সুদে-আসলে ৩৫০০ টাকা হলে বার্ষিক সরল সুদের হার কত হবে?

সমাধান:
৩ বছরের মুনাফা = (৩৫০০ - ৩২০০) = ৩০০ টাকা।
তাহলে ৫ বছরের সুদ হবে = (৩০০/৩) × ৫ = ৫০০ টাকা।
∴ মূলধন = (৩৫০০ - ৫০০) = ৩০০০ টাকা।

সুদের হার:
= (১০০ × সুদ)/(মূলধন × সময়)
= (১০০ × ৫০০)/(৩০০০ × ৫)
= ১০/৩

৯.

যদি সরল সুদে ৩ বছরে কিছু টাকা ৩৬% বৃদ্ধি পায়, তবে একই হার সুদে ৯০০০ টাকার ২ বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ কত হবে?

ক
ক) ২৯৮২.৬
খ
খ) ২৮২৯.৬
গ
গ) ২২৮৯.৬
ঘ
ঘ) ২২২৯.৬

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি সরল সুদে ৩ বছরে কিছু টাকা ৩৬% বৃদ্ধি পায়, তবে একই হার সুদে ৯০০০ টাকার ২ বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ কত হবে?

সমাধান:
ধরি,
মূলধন = ১০০
মোট সুদ = ৩৬% বৃদ্ধি অর্থে ৩৬ টাকা।
সময় = ৩ বছর।
∴ সুদের হার = (১০০ × ৩৬)/(১০০ × ৩) = ১২%

এখন,
চক্রবৃদ্ধি সুদ:
= [৯০০০ × {১ + (১২/১০০)^২- ৯০০০}]
= ১১২৮৯.৬ - ৯০০০
= ২২৮৯.৬

১০.

log_x27 = 3 হলে x এর মান কত?

ক
ক) 2
খ
খ) 3
গ
গ) 4
ঘ
ঘ) 5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log_x27 = 3

সমাধান:
log_x27 = 3
বা, x³= 3^{3
বা, x = 3}

১১.

log_4√348 = x হলে x এর মান কত?

ক
ক) 1
খ
খ) 2
গ
গ) 3
ঘ
ঘ) 4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log_4√348= x
সমাধান:
log_4√348 = x
বা, (4√3)^x= 48
বা, (4√3)^x= (4√3)²[ 4² × (√3)² = 48]
বা, x = 2

১২.

(16)^2x+3= 2^3x+6 হলে x এর মান কত?

ক
ক) 6/5
খ
খ) - 4/5
গ
গ) - 6/5
ঘ
ঘ) - 3/5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (16)^2x+3= 2^3x+6 হলে x এর মান কত?

সমাধান:
(16)^2x+3 = 2^3x+6
বা, (2⁴)^2x+3 = 2^3x+6
বা, 2^8x+12 = 2^{3x+6
বা, 8x - 3x =6 - 12
বা, 5x = -6
বা, x = -6/5}

১৩.

একটি সমান্তর অনুক্রমে সাধারণ অন্তর ৯ এবং ৫তম পদটি ৪৩ হলে ১২তম পদটি -

ক
ক) ১০৬
খ
খ) ১১০
গ
গ) ১১৭
ঘ
ঘ) ১১১

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমান্তর অনুক্রমে সাধারণ অন্তর ৯ এবং ৫তম পদটি ৪৩ হলে ১২তম পদটি -

সমাধান:
ধরি,
ধারাটির প্রথম পদ = a
সাধারণ অন্তর = d
পদসংখ্যা = n
আমরা জানি,
সমান্তর ধারার nতম পদ = a + (n - 1)d

সুতরাং
a + (n - 1)d = 43
বা, a + (5 - 1)9 = 43
বা, a + 45 - 9 = 43
বা, a = 43 - 36
বা, a = 7

তাহলে,
12 তম পদ:
= a + (n - 1)d
= 7 + (12 - 1)9
= 106

১৪.

৩ + ৬ + ৯ + ১২ + ১৫ +......................... + ৫১ = কত?

ক
ক) ৩৫৯
খ
খ) ৪৫৯
গ
গ) ২৫৯
ঘ
ঘ) ৫৫৯

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৩ + ৬ + ৯ + ১২ + ১৫ +..................... + ৫১ = কত?

সমাধান:
পদ সংখ্যা
= (শেষ পদ - ১ম পদ)/সাধারন অন্তর + ১
পদসংখ্যা = (৫১ - ৩/৩) + ১ = ১৭

সংখ্যক পদের সমষ্টি = (n/2){2a + (n - 1)d}
∴ 17 সংখ্যক পদের সমষ্টি = (17/2){2 × 3 + (17 - 1) × 3}
= (17/2){6 + 48}
= (17/2) × 54
= 17 × 27
= 459

১৫.

x√0.25 = 5 হলে, x এর মান কত হবে?

ক
ক) 12
খ
খ) 11
গ
গ) 10
ঘ
ঘ) 9

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x√0.25 = 5 হলে, x এর মান কত হবে?

সমাধান:
x√0.25 = 5
বা, x√(0.5)² = 5
বা, x × 0.5 = 5
বা, x × (5/10) = 5
বা, x = 5 × (10/5)
বা, x = 10

১৬.

৮, ১৫, ২৮, ৫৩, ১০২ ক্রমটির পরবর্তী পদ কত?

ক
ক) ১৯৪
খ
খ) ১৯৬
গ
গ) ১৯৮
ঘ
ঘ) ১৯৯

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৮, ১৫, ২৮, ৫৩, ১০২ ক্রমটির পরবর্তী পদ কত?

সমাধান:
৮, ১৫, ২৮, ৫৩, ১০২......
এখানে,
১ম পদ × ২ - ১ = ২য় পদ
২য় পদ × ২ - ২ = ৩য় পদ
৩য় পদ × ২ - ৩ = ৪র্থ পদ
৪র্থ পদ × ২ - ৪ = ৫ম পদ
সুতরাং ক্রমটির পরবর্তী পদ হবে,
৫ম পদ × ২ - ৫ = ১৯৯ ।

১৭.

একটি গুণোত্তর ধারার ১ম ও ২য় পদ যথাক্রমে 25 এবং 5 হলে ধারাটির ষষ্ঠ পদ কত?

ক
ক) 1/125
খ
খ) 1/120
গ
গ) 1/115
ঘ
ঘ) 1/110

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার ১ম ও ২য় পদ যথাক্রমে 25 এবং 5 হলে ধারাটির ষষ্ঠ পদ কত?

সমাধান:
ধারার ১ম পদ a = 25
সাধারণ অনুপাত = 5/25 = 1/5

ষষ্ঠ পদ:
ar^6-1= ar⁵
= 25 × (1/5)⁵
= 5² × (1/5⁵)
=5² × 1/5³ × 5²)
= 1/125

১৮.

8^x + 8^x + 8^x + 8^x এর মান নিচের কোনটি?

ক
ক) 5^3x+2
খ
খ) 2^3x+2
গ
গ) 3^3x+2
ঘ
ঘ) 1^3x+2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 8^x + 8^x + 8^x + 8^x এর মান নিচের কোনটি?

সমাধান:
8^x+ 8^x + 8^x+ 8^x
= 8^x (1+1+1+1)
= 4.8^x
= 2².2^3x
= 2^3x+2

১৯.

2 + 6 + 10 + 14 + 18 ...............ধারাটির কোন পদ 214?

ক
ক) 24
খ
খ) 34
গ
গ) 54
ঘ
ঘ) 44

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2 + 6 + 10 + 14 + 18 ...............ধারাটির কোন পদ 214?

সমাধান:
ধরি,
n তম পদ = 214
∴ a+(n-1)d = 214
বা, 2+(n-1)4 = 214
বা, 2 + 4n - 4 = 214
বা, 4n - 2 = 214
বা, 4n = 216
বা, n = 54

২০.

যদি a : b = 5 : 3 হয় তবে, (ab + b²)/(ab - b²) = কত?

ক
ক) 6
খ
খ) 8
গ
গ) 2
ঘ
ঘ) 4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি a : b = 5 : 3 হয় তবে, (ab + b²)/(ab - b²) = কত?

সমাধান:
মনে করি,
a এবং b এর মান যথাক্রমে 5x এবং 3x

তাহলে,
(ab + b²)/(ab - b²)
= {5x.3x + (3x)²}/{5x.3x - (3x)²}
= (15x² + 9x²)/(15x² - 9x²)
= (24x²)/(6x²)
= 4

২১.

(a² + b²)(a⁴ - a²b²+ b⁴) = কত?

ক
ক) a⁴ + b⁴
খ
খ) a⁴ - b⁴
গ
গ) a⁶ + b⁶
ঘ
ঘ) a⁶ - b⁶

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (a² + b²)(a⁴ - a²b²+ b⁴) = কত?

সমাধান:
(a² + b²)(a⁴ - a²b² + b⁴)
= (a² + b²){(a²)² - a².b² + (b²)²}
= (a²)³ + (b²)³
= a⁶ + b⁶

২২.

m এর মান কত হলে 9x² - mx + 16 একটি পূর্ণবর্গ হবে?

ক
ক) 12
খ
খ) 16
গ
গ) 24
ঘ
ঘ) 36

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: m এর মান কত হলে 9x² - mx + 16 একটি পূর্ণবর্গ হবে?

সমাধান:
নিশ্চায়ক শূন্য হলে সমীকরণটি পূর্ণবর্গ হবে।

∴ b² - 4ac = 0
⇒ (- m)² - 4.9.16 = 0
⇒ m² - 576 = 0
⇒ m² = 576
⇒ m = 24

২৩.

কোন দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি মূল একে অপরের বিপরীত হলে মূলদ্বয়ের গুনফল কত?

ক
ক) 0
খ
খ) 1
গ
গ) - 1
ঘ
ঘ) 2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোন দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি মূল একে অপরের বিপরীত হলে মূলদ্বয়ের গুনফল কত?

সমাধান:
মনে করি,
একটি মূল = a
তাহলে অপর মূলটি হবে = 1/a

∴ মূলদ্বয়ের গুনফল = a × (1/a) = 1

২৪.

a ও c দুটি স্বাভাবিক সংখ্যা এবং b ঋনাত্মক পূর্ণসংখ্যা। তাহলে a > c হলে নিচের কোনটি সত্য

ক
ক) ac < bc
খ
খ) - a/b > b/c
গ
গ) ab/c ≠ ac/b
ঘ
ঘ) ab > ac

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a ও c দুটি স্বাভাবিক সংখ্যা এবং b ঋনাত্মক পূর্ণসংখ্যা। তাহলে a > c হলে নিচের কোনটি সত্য?

সমাধান:
মনে করি,
a = 2
b = - 1
c = 1

তাহলে,
• ac < bc
⇒ 2.1 < (-1).1
⇒ 2 < - 1, যা সত্য নয়।

• - a/b > b/c
⇒ (-2)/(-2) > (- 1)/1
⇒ 1 > - 1 যা সত্য।

• ab/c ≠ ac/b
⇒ 2.(- 1)/1 ≠ 2.1/(-1)
⇒ - 2 ≠ - 2, যা সত্য নয়।

• ab > ac
⇒ 2.(-1) > 2 .1
⇒ - 2 > 2, যা সত্য নয়।

২৫.

সমাধান করুন: | 2x + 1 | < 3

ক
ক) - 2 < x < 1
খ
খ) - 2 < x < 2
গ
গ) 1 < x < 2
ঘ
ঘ) 2 < x < 3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: সমাধান করুন: | 2x + 1 | < 3

সমাধান:
| 2x + 1 | < 3
⇒ - 3 < 2x + 1 < 3
⇒ - 3 - 1 < 2x + 1 - 1< 3 - 1
⇒ - 4 < 2x < 2
⇒ - 4/2 < 2x/2 < 2/2
⇒ - 2 < x < 1

২৬.

একটি খাতা ও একটি কলমের মোট দাম 75 টাকা। খাতার দাম 5 টাকা কম ও কলমের দাম 2 টাকা বেশি হলে খাতার দাম কলমের দামের দ্বিগুণ হত। খাতাটির দাম কত?

ক
ক) 22 টাকা
খ
খ) 35 টাকা
গ
গ) 42 টাকা
ঘ
ঘ) 53 টাকা

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি খাতা ও একটি কলমের মোট দাম 75 টাকা। খাতার দাম 5 টাকা কম ও কলমের দাম 2 টাকা বেশি হলে খাতার দাম কলমের দামের দ্বিগুণ হত। খাতাটির দাম কত?

সমাধান:
মনে করি,
খাতার দাম = x টাকা
তাহলে, কলমের দাম = 75 - x টাকা

প্রশ্নমতে,
x - 5 = 2{75 - x + 2)
⇒ x - 5 = 2(77 - x)
⇒ x - 5 = 154 - 2x
⇒ 3x = 159
⇒ x = 53

২৭.

3x - 7y + 10 = 0 এবং y - 2x - 3 = 0 এর সমাধান করুন।

ক
ক) -1, 1
খ
খ) 1, - 1
গ
গ) - 2, 2
ঘ
ঘ) 2, - 2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3x - 7y + 10 = 0 এবং y - 2x - 3 = 0 এর সমাধান করুন।

সমাধান;
3x - 7y + 10 = 0
⇒ 3x - 7y = - 10.................(i)

এবং y - 2x - 3 = 0
⇒ - 2x + y = 3..................(ii)

(ii) নং কে 7 দ্বারা গুণ করে (i) নং এর সাথে যোগ করি-
3x - 7y = - 10
- 14x + 7y = 21
_________________
(+) করে, - 11x = 11
⇒ x = - 1

x এর মান (i) নং এ বসাই,
3.(-1) - 7y = - 10
⇒ - 3 - 7y = - 10
⇒ 7y = 7
⇒ y = 1

∴ নির্ণেয় সমাধান: (x,y) = (- 1, 1)

২৮.

x + 30° কোণের পূরক কোণ কত, যেখানে x = 20°?

ক
ক) 60°
খ
খ) 40°
গ
গ) 50°
ঘ
ঘ) 30°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x + 30° কোণের পূরক কোণ কত, যেখানে x = 20°?

সমাধান:
দুইটি কোণের ডিগ্রি পরিমাপের সমষ্টি ৯০° হলে, কোণ দুইটিকে পরস্পর পূরক কোণ বলে।

দেওয়া আছে,
x = 20°
অর্থাৎ 20° + 30° = 50° এর পূরক কোণ = 90° - 50° = 40°

২৯.

প্রদত্তচিত্রের ∠BOC এর সম্পূরক কোণ কোনটি হবে?

ক
ক) ∠AOD
খ
খ) ∠COD
গ
গ) ∠AOC
ঘ
ঘ) ∠BOC

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: প্রদত্তচিত্রের ∠BOC এর সম্পূরক কোণ কোনটি হবে?

সমাধান:
দুইটি কোণের ডিগ্রি পরিমাপের সমষ্টি 180° হলে, কোণ দুইটিকে পরস্পর পূরক কোণ বলে।
এখানে,
∠BOC + ∠AOC = 180° = এক সরলকোণ
অর্থাৎ ∠BOC এর সম্পূরক কোণ = ∠AOC

৩০.

একটি সমবাহু ত্রিভুজের উচ্চতা √3 সেমি হলে তার বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

ক
ক) 2
খ
খ) √2
গ
গ) 3√2
ঘ
ঘ) 4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের উচ্চতা √3 সেমি হলে তার বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:

সমবাহু ত্রিভুজ ABC এর মধ্যমা AD ⊥ BC
এখানে,
AB = BC = AC = 2BD

পিথাগোরাসের সূত্র মতে,
AB² = AD² + BD²
⇒ x² = (√3)² +(x/2)²
⇒ x² - x2/4 = 3
⇒ 3x²/4 = 3
⇒ x² = 4
⇒ x = 2

৩১.

16 সেমি বাহু বিশিষ্ট একটি বর্গক্ষেত্রের কর্ণের অঙ্কিত অপর আরেকটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?

ক
ক) 128 বর্গসেমি
খ
খ) 196 বর্গসেমি
গ
গ) 256 বর্গসেমি
ঘ
ঘ) 512 বর্গসেমি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 16 সেমি বাহু বিশিষ্ট একটি বর্গক্ষেত্রের কর্ণের অঙ্কিত অপর আরেকটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
প্রথম বর্গের কর্ণ = √2 × বাহুর দৈর্ঘ্য
সুতরাং, প্রথম বর্গের কর্ণ = 16√2 সেমি

এখানে,
প্রথম বর্গের কর্ণ = অপর বর্গের বাহু

∴ অপর বর্গের বাহু = 16√2 সেমি
∴ অপর বর্গের ক্ষেত্রফল = (16√2)² = 512 বর্গসেমি

৩২.

সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 4√3 বর্গ মিটার হলে, এক বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

ক
ক) 4 মি.
খ
খ) 8 মি.
গ
গ) 12 মি.
ঘ
ঘ) 16 মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 4√3 বর্গ মিটার হলে, এক বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
মনে করি,
সমবাহু ত্রিভুজের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = a মি.
প্রশ্নমতে,
(√3/4)a² = 4√3
বা, a² = 4√3 × (4/√3)
বা, ‍a² = 16
বা, a = √16
∴ a = 4 মি.

৩৩.

PQRS সামন্তরিকের QR ভূমিকে M পর্যন্ত বর্ধিত করলে ∠QPS = 110° হলে, ∠SRM = কত?

ক
ক) 60°
খ
খ) 70°
গ
গ) 80°
ঘ
ঘ) 90°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: PQRS সামন্তরিকের QR ভূমিকে M পর্যন্ত বর্ধিত করলে ∠QPS = 110° হলে, ∠SRM = কত?

সমাধান:

আমরা জানি, সামান্তরিকের বিপরীত কোণ সমান।
∠QPS = ∠QRS = 110°
আবার, ∠QRS + ∠SRM = 180° [ সন্নিহিত কোণ]
বা, 110° + ∠SRM = 180°
বা, ∠SRM = 180° - 110°
∴ ∠SRM = 70°

৩৪.

একটি বর্গের ক্ষেত্রফল 16 বর্গ মিটার হলে ঐ বর্গটির কর্ণের দৈর্ঘ্যের দ্বিগুণ কত?

ক
ক) 2√2 মি.
খ
খ) 4√2 মি.
গ
গ) 8√2 মি.
ঘ
ঘ) 16√2 মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বর্গের ক্ষেত্রফল 16 বর্গ মিটার হলে ঐ বর্গটির কর্ণের দৈর্ঘ্যের দ্বিগুণ কত?

সমাধান:
ধরি, বর্গের একবাহু = a মি.
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ‍a² বর্গ মি.
প্রশ্নমতে,
a² = 16
বা, ‍a = √16
∴ a = 4 মি.
বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য = (√2)a একক
= 4√2 মি.
বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্যের দ্বিগুণ = (4√2) × 2 মি.
= 8√2 মি.

৩৫.

কোন বৃত্তের পরিসীমার অর্ধেক 4π হলে, বৃত্তটির ক্ষেত্রফল কত?

ক
ক) 8π
খ
খ) 4π²
গ
গ) 16π²
ঘ
ঘ) 16π

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোন বৃত্তের পরিসীমার অর্ধেক 4π হলে, বৃত্তটির ক্ষেত্রফল কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
বৃত্তের পরিসীমার অর্ধেক = 4π
∴ বৃত্তের পরিসীমা = (2 × 4π)
বা, 2πr = 8π
বা, r = 8π/2π
∴ r = 4
আমরা জানি,
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²
= π(4)²
= 16π

৩৬.

P = {a, b, c, d} এর প্রকৃত উপসেট কতটি?

ক
ক) 7
খ
খ) 8
গ
গ) 15
ঘ
ঘ) 16

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: P = {a, b, c, d} এর প্রকৃত উপসেট কতটি?

সমাধান:
আমরা জানি,
কোন সেটের প্রকৃত উপসেট = 2ⁿ- 1

এখানে,
n = সেটের উপাদান সংখ্যা = 4

∴ প্রকৃত উপসেট = 2ⁿ - 1
= 2⁴ - 1
= 16 - 1
= 15

৩৭.

50 জন লোকের মধ্যে 35 জন ইংরেজি বলতে পারে, 25 জন ইংরেজি ও বাংলা বলতে পারে এবং প্রত্যেকেই দুইটি ভাষার অন্তত একটি বলতে পারে। কেবলমাত্র বাংলা বলতে পারে কত জন?

ক
ক) 15 জন
খ
খ) 25 জন
গ
গ) 40 জন
ঘ
ঘ) 30 জন

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 50 জন লোকের মধ্যে 35 জন ইংরেজি বলতে পারে, 25 জন ইংরেজি ও বাংলা বলতে পারে এবং প্রত্যেকেই দুইটি ভাষার অন্তত একটি বলতে পারে। কেবলমাত্র বাংলা বলতে পারে কত জন?

সমাধান:
৫০ জন লোকের মধ্যে ইংরেজিতে কথা বলে ৩৫ জন।
অতএব শুধু বাংলায় কথা বলে = ৫০ - ৩৫ = ১৫।

আবার,
বাংলা ও ইংরেজি উভয় ভাষায় কথা বলে ২৫ জন।
অতএব বাংলায় মোট কথা বলে= ২৫ + ১৫ = ৪০ জন।

অর্থাৎ, কেবলমাত্র বাংলায় কথা বলতে পারে - ৪০ - ২৫ = ১৫ জন।

৩৮.

৩০ এবং ৬০ এর হারমোনিক গড় কত হবে?

ক
ক) ৩০
খ
খ) ৪৫
গ
গ) ৪০
ঘ
ঘ) ৫০

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৩০ এবং ৬০ এর হারমোনিক গড় কত হবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
হারমোনিক গড় =

∴ 30 এবং 60 এর হারমোনিক গড় = 2/(1/30 + 1/60)
= 2/(3/60)
= 2 × (60/3)
= 40

৩৯.

5, 15, 35, এবং x এর গড় 20 হলে, x এর মান কত?

ক
ক) 10
খ
খ) 20
গ
গ) 25
ঘ
ঘ) 45

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 5, 15, 35, এবং x এর গড় 20 হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
শর্তমতে,
(5 + 15 + 35 + x)/4 = 20
⇒ (55 + x)/4 = 20
⇒ 55 + x = 80
⇒ x = 25

৪০.

20 জন ছাত্র থেকে কত ভাবে 3 জন ছাত্র বাছাই করা যায় যেখানে একজন ছাত্র সবসময়ই অন্তর্ভূক্ত থাকবে?

ক
ক) 190
খ
খ) 171
গ
গ) 342
ঘ
ঘ) 153

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 20 জন ছাত্র থেকে কত ভাবে 3 জন ছাত্র বাছাই করা যায় যেখানে একজন ছাত্র সবসময়ই অন্তর্ভূক্ত থাকবে?

সমাধান:
একজন ছাত্র সবসময়ই অন্তর্ভূক্ত থাকলে মোট 19 জন ছাত্র থেকে 2 বাছাই করতে হবে।

∴ বাছাই সংখ্যা = ¹⁹C₂
= (19 × 18)/2!
= 342/2
= 171

৪১.

5 ×ⁿP₃= 4 × ⁽ⁿ⁺¹⁾P₃হলে n এর মান কত?

ক
ক) 10
খ
খ) 12
গ
গ) 15
ঘ
ঘ) 14

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 5 ×ⁿP₃= 4 × ⁽ⁿ⁺¹⁾P₃হলে n এর মান কত?

সমাধান:
⇒ ⁿP₃ = n × (n - 1) × (n - 2)
⇒ ⁽ⁿ⁺¹⁾P₃ = (n + 1) × n × (n - 1)

এখন,
5 × n × (n - 1) × (n - 2) = 4 × (n + 1) × n × (n - 1)
⇒ 5(n - 2) = 4(n + 1)
⇒ 5n - 10 = 4n + 4
⇒ 5n - 4n = 4 + 10
⇒ n = 14

৪২.

'AMERICA' শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা 'CANADA' শব্দটির বিন্যাস সংখ্যার কত গুণ?

ক
ক) ২
খ
খ) ৪
গ
গ) ১২
ঘ
ঘ) ২১

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 'AMERICA' শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা 'CANADA' শব্দটির বিন্যাস সংখ্যার কত গুণ?

সমাধান:
AMERICA শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে 7টি যার মধ্যে, A আছে 2 টি।
∴ AMERICA' শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা = 7!/2! = 5040/2 = 2520

CANADA শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে 6টি যার মধ্যে, A আছে 3 টি।
∴ CANADA শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা = 6!/3! = 720/6 = 120

∴ 'AMERICA' শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা 'CANADA' শব্দটির বিন্যাস সংখ্যার 2520/120 = 21 গুণ।

৪৩.

একটি পঞ্চভুজের মধ্যে কতটি কর্ণ আঁকা যাবে?

ক
ক) 5
খ
খ) 10
গ
গ) 12
ঘ
ঘ) 15

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি পঞ্চভুজের মধ্যে কতটি কর্ণ আঁকা যাবে?

সমাধান:
একটি পঞ্চভুজে বাহু আছে = 5 টি
2 টি বাহুর কৌণিক বিন্দু যোগ করে কর্ণ আঁকা যাবে।

তাহলে মোট বাহু এবং কর্ণ সংখ্যা = ⁵C₂
= (5 × 4)/2!
= 20/2
= 10

∴ মোট কর্ণ সংখ্যা = 10 - 5 = 5

৪৪.

একটি তাসের প্যাকেট হতে দৈবভাবে দুটি তাস টানা হলে দুটি তাসই রাজা হওয়ার সম্ভাবনা কত?

ক
ক) 1/13
খ
খ) 1/26
গ
গ) 1/221
ঘ
ঘ) 35/256

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি তাসের প্যাকেট হতে দৈবভাবে দুটি তাস টানা হলে দুটি তাসই রাজা হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
একটি প্যাকেটে মোট তাস = 52টি
52 টি তাস থেকে 2 টি তাস টানার উপায় = ⁵²C₂ = 1326

আবার,
মোট রাজা আছে = 4 টি
4 টি রাজা থেকে 2টি রাজা টানার উপায় = ⁴C₂ = 6

∴ সম্ভাবনা = 6/1326 = 1/221

৪৫.

যদি P(A) = 2/3 এবং P(B) = 1/3 হয়, A এবং B স্বাধীন হলে P(A ∪ B) = কত?

ক
ক) 4/9
খ
খ) 5/9
গ
গ) 7/9
ঘ
ঘ) 8/9

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি P(A) = 2/3 এবং P(B) = 1/3 হয়, A এবং B স্বাধীন হলে P(A ∪ B) = কত?

সমাধান:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
= P(A) + P(B) - P(A).P(B)
= 2/3 + 1/3 - (2/3).(1/3)
= 2/3 + 1/3 - 2/9
= (6 + 3 - 2)/9
= 7/9