Math Master

প্রশ্ন: একটি ঘনকের আয়তন ৮০০০ ঘনসে.মি. হলে ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
ঘনকের এক বাহুর দৈর্ঘ্য ক একক হলে এর আয়তন ক^৩ ঘনএকক

প্রশ্নমতে,
ক^৩ = ৮০০০
∴ ক = ২০

তাহলে, ঘনকটির এক বাহুর দৈর্ঘ্য = ২০ সে.মি.
∴ ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য হবে = ২০√৩ সে.মি.

প্রশ্ন: আয়তাকার একটি ফুলের বাগানের দৈর্ঘ্য 200 মিটার এবং প্রস্থ 150 মিটার। বাগানটিকে পরিচর্যা করার জন্য ঠিক মাঝ দিয়ে 4 মিটার চওড়া দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ বরাবর রাস্তা আছে। রাস্তার ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দৈর্ঘ্য বরাবর রাস্তার ক্ষেত্রফল = 200 × 4 = 800 বর্গমিটার
প্রস্থ বরাবর রাস্তার ক্ষেত্রফল = (150 - 4) × 4 = 584 বর্গমিটার

রাস্তার ক্ষেত্রফল = (800 + 584) বর্গমিটার
= 1384 বর্গমিটার

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের অনুপাত ৩ : ১ । উহার পরিসীমা ২৪০ মিটার হলে আয়তাকার ক্ষেত্রটির প্রস্থ কত মিটার?

সমাধান:
ধরি,
আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = ৩ক
আয়তাকার ক্ষেত্রের প্রস্থ = ক

আমরা জানি,
আয়তাকার ক্ষেত্রের পরিসীমা = ২ (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) মিটার
= ২ (৩ক + ক) মিটার
= ৮ক মিটার

প্রশ্নমতে,
৮ক = ২৪০
∴ ক = ৩০ মিটার

প্রশ্ন: ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = 60² = 3600
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = π × r²
= 3.14 × 30² [r = 60/2 = 30 cm]
= 2826

∴ ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল = 3600 - 2826
= 774 বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন: 9 সে.মি. বাহুবিশিষ্ট বর্গাকার ভূমির উপর অবস্থিত একটি পিরামিডের উচ্চতা 14 সে.মি.। ইহার আয়তন কত?

সমাধান:
পিরামিডের আয়তন = (1/3) × 9 × 9 × 14 ঘন সে.মি.
= 378 ঘন সে.মি.

প্রশ্ন: 3 মিটার, 4 মিটার ও 5 মিটার বাহু বিশিষ্ট তিনটি ঘনক গলিয়ে নতুন একটি ঘনক তৈরি করা হলে নতুন ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
নতুন ঘনকের আয়তন = ঘনক তিনটির আয়তনের সমষ্টি
= 3³ + 4³ + 5³
= 27 + 64 + 125
= 216 ঘন মিটার

নতুন ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য = ³√216
= (6³)^1/3
= 6 মিটার

প্রশ্ন: একটি আয়তকার ঘরের দৈর্ঘ্য বিস্তারের দ্বিগুণ। এর ক্ষেত্রফল ৩৩৮ বর্গমিটার হলে পরিসীমা কত?

সমাধান:
ধরি,
আয়তাকার ঘরের বিস্তার = ক মিটার
তাহলে, আয়তাকার ঘরের দৈর্ঘ্য = ২ক মিটার
আয়তাকার ঘরের পরিসীমা = ২(২ক + ক) মিটার
এবং আয়তাকার ঘরের ক্ষেত্রফল = ২ক × ক = ২ক^২ বর্গমিটার

শর্তমতে,
২ক^২ = ৩৩৮
⇒ ক^২ = ১৬৯
⇒ ক = ১৩

∴ আয়তাকার ঘরের পরিসীমা = ২{(১৩ × ২) + ১৩) মিটার
=২ × ৩৯ মিটার
= ৭৮ মিটার

প্রশ্ন: 8 বর্গগজ একটি বর্গাকার জায়গা ঢাকতে 6 বর্গফুট ক্ষেত্রফলের কয়টি পাথর লাগবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
1 বর্গগজ = 9 বর্গফুট
∴ 8 বর্গগজ = 8 × 9 = 72 বর্গফুট

∴ পাথর লাগবে = 72/6 টি
= 12 টি

প্রশ্ন: যদি ১৬ ফুট দীর্ঘ এবং ১২ ফুট প্রস্থ বিশিষ্ট একটি কার্পেট দিয়ে একটি হল রুমের মেঝের ৪০% জায়গা ঢেকে দেয়া যাবে তবে ঐ মেঝের ক্ষেত্রফল কত বর্গ ফুট?

সমাধান:
কার্পেটের ক্ষেত্রফল = ১৬ × ১২ বর্গফুট = ১৯২ বর্গফুট

৪০% মেঝের ক্ষেত্রফল = ১৯২ বর্গফুট
∴ ১% মেঝের ক্ষেত্রফল = ১৯২/৪০ বর্গফুট
∴ ১০০% মেঝের ক্ষেত্রফল = (১৯২ x ১০০)/৪০ বর্গফুট
= ৪৮০ বর্গফুট

প্রশ্ন: একটি আয়তকার ঘনবস্তুর সম্পূর্ণ পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল 846 বর্গ সে.মি.। যদি ঘনবস্তুটির দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতার অনুপাত 5 : 4 : 3 হয়, তবে এর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি,
আয়তকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য(a), প্রস্থ(b) ও উচ্চতা(c) যথাক্রমে 5x, 4x ও 3x সে.মি.

আমরা জানি,
আয়তকার ঘনবস্তুর সম্পূর্ণ পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = 2 (ab + bc + ca)
⇒ 846 = 2(5x ⋅ 4x + 4x ⋅ 3x + 3x ⋅ 5x)
⇒ 2(20x² + 12x² + 15x²) = 846
⇒ 47x² = 846/2
⇒ 47x² = 423
⇒ x² = 9
∴ x = 3

অতএব, দৈর্ঘ্য = 5 × 3 = 15 সে.মি.

প্রশ্ন: একটি ঘনকের দৈর্ঘ্য a হলে, নিচের কোনটি মিথ্যা?

সমাধান:
ঘনকের দৈর্ঘ্য a হলে,
কর্ণ = √3a
সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = 6a²
আয়তন = a³

প্রশ্ন: একটি ঘনবস্তুর মাত্রা কয়টি?

সমাধান:
- ঘনবস্তু (Solid) কোনো জাগতিক বস্তু যে স্থান দখল করে থাকে, তা তিন দিকে বিস্তৃত।
- এ তিন দিকের বিস্তার বস্তুটির তিনটি মাত্রা (Three dimension) দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা নির্দেশ করে।
- সেজন্য প্রত্যেক ত্রিমাত্রিক (three-dimensional) বস্তুকে বলা হয় ঘনবস্তু (Solid)।
-যেমন, একটি ইট বা বাক্সের তিনটি মাত্রা দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা আছে। একটি বল বা গোলকেরও তিনটি মাত্রা আছে। এর তিন মাত্রার অভিন্নতা স্পষ্টভাবে বোঝা না গেলেও একে দৈর্ঘ্য-প্রস্থ-উচ্চতা বিশিষ্ট খণ্ডে বিভক্ত করা যায়।

প্রশ্ন: একটি দেওয়ালের দৈর্ঘ্য ২ মি. উচ্চতা ৩ মি. পুরুত্ব ৩০ সে. মি.। একটি ইটের দৈর্ঘ্য ১০ সে. মি. প্রস্থ ৪ সে. মি. উচ্চতা ৩ সে. মি.। দেওয়ালটি ইট দিয়ে তৈরী করতে কতটি ইট লাগবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
দেওয়ালের দৈর্ঘ্য = ২ মি. = ২০০ সে.মি.
উচ্চতা = ৩ মি. = ৩০০ সে.মি.
পুরুত্ব = ৩০ সে. মি.

এখানে,
দেওয়ালের আয়তন = (২০০ × ৩০০ × ৩০) সে. মি.
আবার, ইটের আয়তন = (১০ × ৪ × ৩) সে. মি.

আমরা জানি,
ইটের সংখ্যা = দেওয়ালের আয়তন/ইটের আয়তন
= (২০০ × ৩০০ × ৩০)/(১০ × ৪ × ৩)
= ১৫০০০ টি

প্রশ্ন: 12 সে.মি. উচ্চতা বিশিষ্ট একটি কোণকের ভূমির ব্যাস 10 সে.মি. হলে, ঘনকের তীর্যক উচ্চতার দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
উচ্চতা, h = 12 সে.মি.
এবং ব্যাসার্ধ, r = 10/2= 5 সে.মি.

আমরা জানি,
কোণকের তীর্যক উচ্চতা L = √(h² + r²) সে.মি.
= √(12² + 5²) সে.মি.
= √169 সে.মি.
= 13 সে.মি.

প্রশ্ন: একটি রম্বসের ক্ষেত্রফল ৪২ বর্গ সে.মি. হলে, রম্বসের কর্ণদ্বয়ের গুণফল কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
⇒ কর্ণদ্বয়ের গুণফল = ২ × রম্বসের ক্ষেত্রফল
= (২ × ৪২) বর্গ সে.মি.
= ৮৪ বর্গ সে.মি.