Math Master

প্রশ্ন: 8 সে.মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের অন্তর্লিখিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ব্যাসার্ধ = 8 সে.মি. ব্যাসার্ধ
তাহলে, ব্যাস = 8 × 2 = 16 [যা বৃত্তের অন্তর্লিখিত বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্যের সমান]

আমরা জানি,
ক্ষেত্রফল = (1/2) × (কর্ণ)²
= (1/2) × (16)²
= 256/2
= 128 বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন: দুইটি বৃত্তের ব্যাসার্ধের অনুপাত 6 : 7। বৃত্ত দুইটির ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 6
∴ ক্ষেত্রফল = π(6)² = 36π

অপর বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 7
∴ ক্ষেত্রফল = π(7)² = 49π

∴ বৃত্ত দুইটির ক্ষেত্রফলের অনুপাত = 36π : 49π
= 36 : 49

প্রশ্ন: দুটি বৃত্ত পরস্পরকে অন্তঃস্থভাবে স্পর্শ করেছে। বৃত্ত দুটির ব্যাসার্ধ যথাক্রমে ৬ সে.মি. ও ২ সে.মি. হলে কেন্দ্র দুটির মধ্যে দূরত্ব কত হবে?

সমাধান:

দুটি বৃত্ত পরস্পরকে অন্তঃস্থভাবে স্পর্শ তাদের কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব হবে বৃত্ত দুটির ব্যাসার্ধের বিয়োগফলের সমান।
মনে করি,
A কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের ব্যাসার্ধ AC = ৬ সে.মি.
B কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের ব্যাসার্ধ BC = ২ সে.মি.
কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব = AB= AC - BC
= ৬ - ২ সে.মি.
= ৪ সে.মি.

প্রশ্ন: একটি ফ্যান প্রতি মিনিটে 120 বার ঘুরলে 3 সেকেন্ডে ফ্যানটি কত ডিগ্রি ঘুরে?

সমাধান:
ফ্যানটি 1 মিনিট বা 60 সেকেন্ডে ঘুরে = 120 বার
ফ্যানটি 1 সেকেন্ডে ঘুরে = 120/60 = 2 বার
ফ্যানটি 3 সেকেন্ডে ঘুরে = 2 × 3 = 6 বার

ফ্যানটি 1 বার ঘুরলে ঘুরে = 360°
∴ 6 বার ঘুরলে ঘুরে = 360° × 6 = 2160°

অতএব, ফ্যানটি 3 সেকেন্ডে 2160° ঘুরে।

প্রশ্ন: একটি ষড়ভুজের অভ্যন্তরীণ ছয়টি কোণের সমষ্টি কত?

সমাধান:
ষড়ভুজটির একটি বহিঃস্থ কোণ = ৩৬০°/৬ = ৬০°

∴ একটি অন্তঃস্থ কোণ = (১৮০° - ৬০°) = ১২০°
অতএব, ৬টি অন্তঃস্থ কোণের পরিমাণ = (১২০° × ৬)
= ৭২০°

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ যদি ৩০% কমে, তবে বৃত্তের ক্ষেত্রফল কত কমে?

সমাধান:
আমরা জানি,
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²
অর্থাৎ, বৃত্তের ব্যাসার্ধ ৩০% কমলে ২ বার ৩০% করে কমবে।
প্রথম বার কমে হবে = ১০০ - ৩০ = ৭০%

দ্বিতীয় বার কমবে = ৭০ এর ৩০%
= ৭০ × (৩০/১০০)
= ২১%

∴ ক্ষেত্রফল মোট কমবে = (৩০ + ২১) = ৫১%

প্রশ্ন: একটি পঞ্চভুজের অভ্যন্তরীণ কোণগুলোর অনুপাত 9 : 10 : 12 : 14 : 15 হলে, বৃহত্তম কোণের মান কত?

সমাধান:
অনুপাতগুলোর যোগফল = 9 + 10 + 12 + 14 + 15 = 60
একটি পঞ্চভুজের অভ্যন্তরীণ কোণগুলোর সমষ্টি = (n - 2) × 180°
= (5 - 2) × 180°
= 540°

∴  বৃহত্তম কোণের মান = 540° × (15/60) = 135°

প্রশ্ন: O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের OC, AB জ্যা এর উপর লম্ব এবং AC = 7 সে.মি. হলে AB এর মান কত?

সমাধান:


দেওয়া আছে,
AC = 7 সে.মি.
আমরা জানি,
বৃত্তের কেন্দ্র থেকে ব্যাস ভিন্ন অন্য কোনো জ্যা এর উপর অঙ্কিত লম্ব ঐ জ্যাকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।

সুতরাং, AB = (7 × 2) = 14 সে.মি

প্রশ্ন: সুষম বহুভুজের প্রতিটি অন্তঃকোণ 135° হলে কর্ণের সংখ্যা কত?

সমাধান:
বহুভুজটির বাহুর সংখ্যা = 360°/(180° - অন্তঃকোণ)
= 360°/(180° - 135°)
= 360°/45°
= 8 টি

∴ কর্ণের সংখ্যা = {8(8 - 3)}/2
= 40/2
= 20 টি

প্রশ্ন: O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে BC চাপের উপর ∠BAC হলো পরিধিস্থ কোণ। ∠BAC = 48° হলে ∠BOC = কত?

সমাধান:

আমরা জানি, বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক।
এখানে, ∠BOC হলো কেন্দ্রস্থ কোণ।

∴ ∠BAC = (1/2) ∠BOC
⇒ 48° = (1/2) ∠BOC
∴ ∠BOC = 96°

প্রশ্ন: একটি সুষম বহুভুজের একটি অন্তঃকোণ ও বহিঃকোণের অনুপাত ৭ : ২ হলে, বহুভুজটির বাহুসংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি,
অন্তঃস্থ কোণ = ৭ক
বহিঃস্থ কোণ = ২ক

প্রশ্নমতে,
৭ক + ২ক = ১৮০°
⇒ ৯ক = ১৮০°
∴ ক = ২০°

বহিঃস্থ কোণ = ২ × ২০° = ৪০°
∴ বহুভুজটির বাহুসংখ্যা = ৩৬০°/৪০° = ৯ টি

প্রশ্ন: দুইটি বৃত্ত পরস্পর বহিঃস্পর্শ করে। এদের একটি বৃত্তের ব্যাস 16 সে.মি. এবং অপর বৃত্তের ব্যাস 10 সে.মি. হলে এদের কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব কত সে.মি.?

সমাধান:

১ম বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 16/2 = 8 সে.মি.
২য় বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 10/2 = 5 সে.মি.

এখন, বৃত্ত দুটি পরস্পর বহিঃস্পর্শ করে।
∴ এদের কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব = ১ম বৃত্তের ব্যাসার্ধ + ২য় বৃত্তের ব্যাসার্ধ
= (8 + 5) সে.মি.
= 13 সে.মি.

প্রশ্ন: একটি সুষম বহুভুজের অন্তঃস্থ কোণ ও বহিঃস্থ কোণের মানের অনুপাত ৩ : ২ হলে, বহুভুজটি হবে-

সমাধান:
ধরি,অন্তঃস্থ কোণ ও বহিঃস্থ কোণ যথাক্রমে ৩ক ও ২ক

প্রশ্নমতে,
৩ক + ২ক = ১৮০°
⇒ ৫ক = ১৮০°
∴ ক = ৩৬°

তাহলে, অন্তঃস্থ কোণ = ৩ × ৩৬° = ১০৮°
বহিঃস্থ কোণ = ৭২°
∴ বহুভুজটির বাহুসংখ্যা = ৩৬০°/৭২° = ৫ টি [অতএব, বহুভুজটি হবে একটি পঞ্চভুজ]

প্রশ্ন: একটি অষ্টভুজের প্রতিটি অন্তঃস্থ কোণের মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বাহুর সংখ্যা, n = 8
∴ অন্তঃস্থ কোণ, θ = 180° - (360°/8)
= 180° - 45°
= 135°