ডেইলি কুইজ [২০০ দিন]

প্রশ্ন: x² = 5 + 2√6 হলে, 1/x এর মান কত? 

সমাধান: 
দেয়া আছে,
x² = 5 + 2√6 
x² = 3 +  2√6 + 2
x² = (√3)² + 2 (√3)(√2) + (√2)²
x² = (√3 + √2)²
x = √3 + √2
1/x = 1/(√3 + √2)
1/x = (√3 - √2)/(√3 + √2)(√3 - √2)
1/x = (√3 - √2)/{(√3)² - (√2)²}
1/x = (√3 - √2)/(3 - 2)
1/x= √3 - √2

প্রশ্ন: a⁴ - 27a² + 1 এর উৎপাদকগুলো হলো- 

সমাধান: 
a⁴ - 27a² + 1 
= (a²)² - 2.a².1 + 1² - 25a²
= (a² - 1)² - (5a)²
= (a² - 1 + 5a)(a² - 1 - 5a)
=(a² + 5a - 1)(a² - 5a - 1) 

প্রশ্ন: a + a^{- 1} = 2 হলে 2a/(a² - a + 1)এর মান-

সমাধান: 
a + a ^{- 1} = 2
a + 1/a = 2
(a² + 1)/a = 2
a² +1 = 2a

প্রদত্ত রাশি = 2a/(a² - a + 1)
= 2a/(a² + 1 - a )
= 2a/(2a - a)
= 2a/a
= 2

প্রশ্ন: 6x² + 7x - 5 এর উৎপাদক গুলো হলো-

সমাধান: 
 6x² + 7x - 5
= 6x² + 10x - 3x - 5
= 2x(3x + 5) - 1(3x + 5)
= (3x + 5) (2x - 1)

প্রশ্ন: a - 1/a = 3 হলে a² + 1/a² এর মান কত? 

সমাধান:
দেয়া আছে,
a - 1/a = 3

a² + 1/a² = (a - 1/a )² + 2a.1/a
                 = 3² + 2
                 = 9 + 2
                  = 11

প্রশ্ন: 4x² - 23x + 33 কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করলে হবে -

সমাধান :
4x²- 23x + 33
= 4x² - 11x - 12x + 33
= x(4x - 11) - 3(4x - 11)
= (4x - 11)(x - 3)

প্রশ্ন: x + y = 6 এবং xy = 8 হলে (x - y)² এর মান কত? 

সমাধান: 
দেয়া আছে,
x + y = 6 
xy = 8

এখন 
(x - y)² = (x + y)² - 4xy 
= 6² - 4 × 8
= 36 - 32
= 4

প্রশ্ন: 3x - 75x³ এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ হলো- 

সমাধান: 
3x - 75x³
= 3x(1 - 25x²)
= 3x{(1)² - (5x)²}
=3x(1 + 5x)(1 - 5x)

প্রশ্ন: a + b + c = 11 এবং ab + bc + ca = 42 হলে a² + b² + c² এর মান কত? 

সমাধান: 
a + b + c = 11 
ab + bc + ca = 42

আমরা জানি,
(a + b + c)² = a² + b² +c² + 2(ab + bc + ca)
11² = a² + b² +c² + 2 × 42
121 = a² + b² +c² + 84
121 - 84 = a² + b² + c² 
a² + b² + c² = 37 

প্রশ্ন: 2a³ + 3a² + 3a - 8 এর সঠিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ হলো- 

সমাধান: 
f(a) = 2a³ + 3a² + 3a - 8 
f(1) = 2 × 1³ + 3 × 1² + 3 × 1 - 8 
      = 2 + 3 + 3 - 8
      = 8 - 8
       = 0
(a - 1), f(a) এর একটি উৎপাদক 

f(a) = 2a³ + 3a² + 3a - 8
= 2a³ - 2a² + 5a² - 5a + 8a - 8
= 2a²(a - 1) + 5a(a - 1) + 8(a - 1)
= (a - 1) (2a² + 5a + 8)

প্রশ্ন: x + y = 5, xy = 6 হলে x³ + y³ - 3(x² + y²) এর মান কত? 

সমাধান: 
x + y = 5
xy = 6

x³ + y³ = (x + y)³ - 3xy(x + y)
=5³ - 3 × 6 × 5
= 125 - 90
= 35

(x² + y²) = (x + y)² - 2xy 
 = 5² - 2 × 6
= 25 - 12
= 13

x³ + y³ - 3(x² + y²) = 35 - 3 × 13=35 - 39 = - 4 

প্রশ্ন: 18x³ - 15x² - x - 2 এর একটি উৎপাদক হলো-

সমাধান: 
ধরি,
f(x) = 18x³ - 15x² - x - 2
f(1) = 18 ×1³ - 15 × 1² - 1 - 2
= 18 - 15 - 1 - 2
= 18 - 18
= 0

(x - 1) হলো f(x) এর একটি উৎপাদক .

প্রশ্ন: a + b = √11 এবং a = √7 + b হলে ab এর মান কত?  

সমাধান: 
a + b = √11 
a = √7 + b
a - b = √7

ab = {(a + b)/2}² -  {(a - b)/2}² 
= {(√11)/2}² -  {(√7)/2}² 
= (11/4) - (7/4)
= (11 - 7)/4
= 4/4
= 1

প্রশ্ন: 2a² - 6a - 20 এর উৎপাদক গুলো হলো- 

সমাধান: 
2a² - 6a - 20
= 2a² - 10a + 4a - 20
= 2a(a - 5) + 4(a - 5)
= (a - 5)(2a + 4)
= 2(a - 5)(a + 2)

প্রশ্ন: 9x² - a² - 4a - 4 এর সঠিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ হলো 

সমাধান:
 9x² - a² - 4a - 4 
= (3x)² - {a² + 2.a.2 + 2²}
= (3x)² - (a + 2)²
={3x + (a + 2)}{3x - (a + 2)}
= (3x + a + 2) (3x - a - 2)

প্রশ্ন: a² - 1 = √3a হলে (a⁶ - 1)/a³ = কত? 

সমাধান: 
a² - 1 = √3a
(a² - 1)/a = √3a/a
a²/a - 1/a = √3
a - 1/a = √3

(a⁶ - 1)/a3 
= a⁶/a³ - 1/a³
= a³  - 1/a³
= (a - 1/a)³ + 3a.1/a.(a - 1/a)
= (√3)³ + 3√3
= 3√3 + 3√3
= 6√3

প্রশ্ন: a² - 3ab - 40b² এর একটি উৎপাদক (a + 5b) হলে অপরটি হবে-

সমাধান: 
a² - 3ab - 40b²
= a² - 8ab + 5ab - 40b²
= a(a - 8b) + 5b(a - 8b)
=(a - 8b) (a + 5b)

প্রশ্ন: x² + 1/x² = 38 হলে x - 1/x এর মান কত? 

সমাধান: 
x² + 1/x² = 38
(x)² + (1/x)² = 38
(x - 1/x)² + 2.x.1/x = 38 
(x - 1/x)² + 2 = 38
(x - 1/x)² = 36
x - 1/x = ± 6

প্রশ্ন: x³ - x - 6 এর একটি উৎপাদক নিচের কোনটি? 

সমাধান: 
f(x) = x³ - x - 6
f(2) = 2³ - 2 - 6
      = 8 - 8
      = 0

(x - 2), f(x) এর একটি উৎপাদক।