ডেইলি কুইজ [১৪০ দিনের রুটিনের অংশ]

প্রশ্ন: একটি বহুভুজের বাহুর সংখ্যা ১০ হলে, বহুভুজের কর্ণের সংখ্যা কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
বহুভুজের বাহুর সংখ্যা n হলে কর্ণের সংখ্যা = {n(n - ৩)}/২
= {১০(১০ - ৩)}/২
= ৩৫ টি

প্রশ্ন: cos{(nπ)/6} অনুক্রমটির চতুর্থ পদের মান কত?

সমাধান:
cos{(nπ)/6} অনুক্রমটির চতুর্থ পদ = cos(4π)/6 [এখানে, n = 4]

এখন,
cos(4π)/6
= cos(4 × 180°)/6
= cos120°
= cos(90° + 30°)
= - sin30°
= - 1/2

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাস 8 সে.মি. এবং একটি বৃত্তচাপ কেন্দ্রে 60° কোণ উৎপন্ন করলে, বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r = 8/2 সে.মি. = 4 সে.মি.
বৃত্তচাপ দ্বারা কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণ, θ = 60°

∴ বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল = (πr²θ)/360°
= (π × 4²× 60°)/360°
= (π × 16× 60°)/360°
= 8π/3

প্রশ্ন: যদি sinθ + cosθ = √2sin(90° - θ) হয়, তাহলে (tanθ)² এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
 sinθ + cosθ = √2sin(90° - θ)
⇒ sinθ + cosθ = √2cosθ
⇒ (sinθ + cosθ)/cosθ = √2 
⇒ (sinθ/cosθ) + (cosθ/cosθ) = √2 
⇒ tanθ + 1 = √2
⇒ tanθ = √2 - 1
⇒ (tanθ)² = (√2 - 1)²
⇒ tan²θ = (√2)² - 2.√2.1 + (1)²
⇒ tan²θ = 2 - 2√2 + 1
∴ tan²θ = 3 - 2√2

প্রশ্ন: একটি বর্গাকার বাগানের ক্ষেত্রফল ৯০০ বর্গ মি. এবং এর চারদিকে বেড়া আছে। প্রতি মিটার বেড়া ‍দিতে ২ টাকা খরচ হলে সম্পূর্ণ বাগানটি বেড়া দিতে মোট কত টাকা খরচ হবে?

সমাধান:
বর্গাকার বাগানের ক্ষেত্রফল ৯০০ বর্গ .মি. 
বর্গাকার বাগানের একবাহুর দৈর্ঘ্য = √৯০০ মি. 
= ৩০ মি.

বর্গাকার বাগানের পরিসীমা = (৩০ × ৪) মি. 
= ১২০ মি.

১ মিটার বেড়া ‍দিতে খরচ হয় = ২ টাকা
১২০ মিটার বেড়া ‍দিতে খরচ হয় = (১২০ × ২) টাকা
= ২৪০ টাকা

প্রশ্ন: একটি পঞ্চভুজের অভ্যন্তরীণ কোণগুলোর অনুপাত 10 : 13 : 15 : 17 : 20 হলে, বৃহত্তম কোণের মান কত?

সমাধান:
অনুপাতগুলোর যোগফল = 10 + 13 + 15 + 17 + 20 = 75

একটি পঞ্চভুজের অভ্যন্তরীণ কোণগুলোর সমষ্টি = (n - 2) × 180°
= (5 - 2) × 180°
= 540°

∴ বৃহত্তম কোণের মান = 540° × (20/75)
= 144°

প্রশ্ন: 1/cosecθ এর সর্বনিম্ন মান কত?

সমাধান:
এখানে, sinθ = 1/cosecθ

- 1 < 1/cosecθ < 1
- 1 < sinθ < 1  

1/cosecθ এর সর্বনিম্ন মান হল sin⁡θ এর সর্বনিম্ন মান।
সুতরাং sinθ এর সর্বনিম্ন মান -1 এবং সর্বোচ্চ মান 1

প্রশ্ন: পিথাগোরাস ত্রয়ীর একটি সদস্য 41 হলে অন্য দুটি সদস্য কী কী?

সমাধান:
পিথাগোরাস ত্রয়ী:
পিথাগোরাস ত্রয়ী (Pythagorean triplet) হলো তিনটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার একটি সেট, যা পিথাগোরাসের উপপাদ্যকে সন্তুষ্ট করে

তিনটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা a, b, c (যেখানে c > a, b) যদি c² = a² + b²
শর্ত মানে তাহলে তাদেরকে (a, b, c) পিথাগোরাস ত্রয়ী বলা হয়।

যেমন:
(3, 4, 5)
(5, 12, 13)
(7, 24, 25)

(8, 15, 17)
(9, 40, 41)
(11, 60, 61)

(12, 35, 37)
(13, 84, 85)
(16, 63, 65)
(20, 99, 101)

এখানে,
20² +  99² = 101²
⇒ 400 + 9801 = 10201
⇒ 10201 = 10201

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ ও ভূমি যথাক্রমে 65 সে.মি. এবং 63 সে.মি. হলে, অতিভুজ ও উচ্চতার সমষ্টি কত?

সমাধান:
পিথাগোরাসের সূত্রানুযায়ী,
অতিভুজ² = ভুমি² + লম্ব²
⇒ 65² = 63² + লম্ব²
⇒ লম্ব² = (4225 - 3969)
⇒ লম্ব² = 256
⇒ লম্ব = √256
∴ লম্ব = 16 সে.মি.

∴ অতিভুজ ও উচ্চতার সমষ্টি = (65 + 16) সে.মি.
= 81 সে.মি.

প্রশ্ন: একটি Hendecagon- এর অন্তকোণগুলোর সমষ্টি কত?

সমাধান:
বাহুর সংখ্যা n = ১১
বহুভুজের অন্তকোণগুলোর সমষ্টি = (n - ২) × ১৮০°
= (১১ - ২) × ১৮০°
= ৯ × ১৮০°
= ১৬২০°

এখানে,
Monogon (1 side)
Digon (2 sides)
Triangle (3 sides)
Quadrilateral (4 sides)

Pentagon (5 sides)
Hexagon (6 sides)
Heptagon (7 sides)
Octagon (8 sides)

Nonagon (9 sides)
Decagon (10 sides)
Hendecagon (11 sides)
Dodecagon (12 sides)

Tridecagon (13 sides)
Tetradecagon (14 sides)
Pentadecagon (15 sides)
Hexadecagon (16 sides)

Heptadecagon (17 sides)
Octadecagon (18 sides)
Enneadecagon (19 sides)
Icosagon (20 sides)

প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়াম এর সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ২৪ সে.মি. ও ৫০ সে.মি. এবং এর ক্ষেত্রফল ৩৭০ বর্গসে.মি. হলে, বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব কত?

সমাধান:

একটি ট্রাপিজিয়াম এর সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য ২৪ সে.মি. , ৫০ সে.মি. এবং এর ক্ষেত্রফল ৩৭০ বর্গসে.মি.

আমরা জানি,
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = ১/২ × (সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের যোগফল) × উচ্চতা
বা, ৩৭০ = (১/২) × (২৪ + ৫০) × উচ্চতা
বা, ৩৭০ = (১/২) × ৭৪ × উচ্চতা
বা, ৭৪ × উচ্চতা = ৭৪০
∴ উচ্চতা = ১০ সে.মি.

প্রশ্ন: যদি tan{(π/2) - (θ/2)} = √3 হয়, (cosθ)² - 1 = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
tan{(π/2) - (θ/2)} = √3
⇒ cot(θ/2) = √3 [যেহেতু tan{(π/2) - θ} = cotθ]
⇒ cot(θ/2) = cot30^∘
⇒ θ/2 = 30^∘
⇒ θ = (30^∘ × 2)
⇒ θ = 60^∘

এখন, (cosθ)² - 1
= (cos²θ) - 1
= (cos60^∘)² - 1
= (1/2)² - 1
= (1/4) -1 
= - 3/4