ব্যাংক নিয়োগ প্রস্তুতি ⎯ লং কোর্স

Question: If p is a positive integer, what is the smallest possible value of p such that 1470 × p is a perfect square?

Solution:
আমরা জানি, একটি সংখ্যা পূর্ণবর্গ হতে হলে তার মৌলিক গুণনীয়কের ঘাতসমূহ সবই জোড় সংখ্যা হতে হবে।

1470 = 2 × 3 × 5 × 7 × 7
= 2¹ × 3¹ × 5¹ × 7²

এখন, 1470 × p = 2¹ × 3¹ × 5¹ × 7² × p
এখানে, 2-এর ঘাত = 1 (বিজোড়), 3-এর ঘাত = 1 (বিজোড়), 5-এর ঘাত = 1 (বিজোড়), 7-এর ঘাত = 2 (জোড়)
পূর্ণবর্গ করতে হলে সব ঘাত জোড় হতে হবে। তাই p = 2 × 3 × 5 = 30 হলে,
1470 × 30 = 2¹ × 3¹ × 5¹ × 7² × (2 × 3 × 5)
= 2² × 3² × 5² × 7²

যেহেতু সব মৌলিক উৎপাদকের ঘাত জোড়, তাই এটি একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা।

সুতরাং, p = 30 হলে, 1470p পূর্ণবর্গ সংখ্যা হয়।

Question: What is the LCM of 6, 9, and 15?

Solution:
Prime factorization:
6 = 2 × 3
9 = 3 × 3 = 3²
15 = 3 × 5

LCM = take the highest power of each prime:
2¹ × 3² × 5¹ = 2 × 9 × 5 = 90

Question: If p and q are even numbers, which of the following is always even?

Solution:
Take p = 2 and q = 6 (both even)
a) p + q + 3 = 2 + 6 + 3 = 11 → Odd
b) pq + 5 = (2 × 6) + 5 = 12 + 5 = 17 → Odd
c) 3p + q = (3 × 2) + 6 = 6 + 6 = 12 → Even
d) p² + q + 3 = (2)² + 6 + 3 = 4 + 6 + 3 = 13 → Odd

Answer: c) 3p + q is always even.

Question: What is the H.C.F. of 6/15, 12/20, and 18/25?

Solution:
We know, H.C.F. of fractions = (H.C.F. of numerators)/(L.C.M. of denominators)

H.C.F. of numerators:
H.C.F.(6, 12, 18) = 6

L.C.M. of denominators:
15 = 3 × 5
20 = 2² × 5
25 = 5²

∴ L.C.M. = 2² × 3 × 5² = 4 × 3 × 25 = 300

∴ Required H.C.F. = 6/300 = 1/50

Question: If the sum of seven consecutive odd integers is 385, what is the largest number?

Solution:
ধরি, মাঝের সংখ্যাটি = x

সুতরাং, 7টি ক্রমিক বিজোড় সংখ্যা হবে যথাক্রমে: x - 6, x - 4, x - 2, x, x + 2, x + 4 এবং x + 6

প্রশ্নমতে,
(x - 6) + (x - 4) + (x - 2) + x + (x + 2) + (x + 4) + (x + 6) = 385
⇒ 7x = 385
⇒ x = 55

∴ মাঝের সংখ্যা, x = 55

∴ সবচেয়ে বড় সংখ্যা = x + 6 = 55 + 6 = 61

Question: The ratio of two numbers is 3 : 4 and their H.C.F is 5. Their L.C.M is -

Solution:
ধরি, সংখ্যা দুটি হলো 3x এবং 4x
∴ গসাগু (H.C.F) = x = 5

∴ সংখ্যা দুটি হলো: 3 × 5 = 15 এবং 4 × 5 = 20
∴ সংখ্যাদ্বয়ের গুণফল = 15 × 20 = 300 এবং H.C.F = 5

আমরা জানি, L.C.M = (Product of two numbers)/H.C.F
= 300/5 = 60

∴ সংখ্যা দুটির লসাগু (L.C.M) = 60

Question:

Solution:

Question: A merchant has three different types of oil: 240 litres, 300 litres, and 420 litres. Find the minimum number of containers of equal size that can store the oil without mixing.

Solution:
The size of each container should be the greatest possible that divides all three quantities, i.e., H.C.F of 240, 300, and 420.

H.C.F(240, 300, 420) = 60 litres

Total oil = 240 + 300 + 420 = 960 litres

Number of containers required = 960/60 = 16

Question: If 45% of a certain number is 72, then find the number-

Solution:
Let the number be x.
Then,
⇒ 45% of x = 72
⇒ (45/100) × x = 72
⇒ 9x/20 = 72
⇒ x = (20 × 72)/9
⇒ x = 1440/9
∴ x = 160

Question: What is the least number that, when tripled, is exactly divisible by 9, 12, 15, and 18?

Solution:
Let the number be x.
Tripled the number is 3x.

9 = 3 × 3
12 = 2 × 2 × 3
15 = 3 × 5
18 = 2 × 3 × 3

LCM = 2 × 2 × 3 × 3 × 5 = 180

∴ 3x = 180
∴ x = 180/3 = 60

Question: Solve: (73.48 + 126.52) ÷ 5² = 1.6 × 3 + ?

Solution:
Given that, (73.48 + 126.52) ÷ 5² = 1.6 × 3 + ?
⇒ 200 ÷ 25 = 1.6 × 3 + ?
⇒ 8 = 4.8 + ?
⇒ ? = 8 - 4.8
∴ ? = 3.2

Question: What is the largest number that divides 43, 91, and 183, leaving the same remainder in all three cases?

Solution:
এখানে বৃহত্তম সংখ্যা হচ্ছে সংখ্যাগুলোর পার্থক্যগুলোর H.C.F. (গ.সা.গু)।

প্রথম দুটি সংখ্যার পার্থক্য: 91 - 43 = 48
পরের দুটি সংখ্যার পার্থক্য: 183 - 91 = 92

48 এবং 92 এর মৌলিক উৎপাদক:
48 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 = 2⁴ × 3
92 = 2 × 2 × 23 = 2² × 23

H.C.F. = 2² = 4

∴ নির্ণীত বৃহত্তম সংখ্যা = 4

Question: If 8265P is divisible by 9, what is the value of P?

Solution:
একটি সংখ্যা 9 দ্বারা বিভাজ্য হবে যদি সংখ্যাটির অঙ্কগুলোর সমষ্টি 9 দ্বারা বিভাজ্য হয়।

8 + 2 + 6 + 5 = 21; এর সাথে P যোগ করলে (21 + P) হবে, যা 9 দ্বারা বিভাজ্য হতে হবে।

21 + P = 27 (যা 9 দ্বারা বিভাজ্য নিকটতম সংখ্যা)
⇒ P = 27 - 21 = 6
∴ P = 6

Question:

Solution:
Given that, √{(0.85)² - (0.36)²}
Since, a² - b² = (a - b)(a + b)
= √{(0.85 + 0.36)(0.85 - 0.36)}
= √{(1.21)(0.49)}
= √{(1.1)(1.1) × (0.7)(0.7)}
= 1.1 × 0.7
= 0.77

Question: Find the H.C.F. of p(x) = x³ - 9x and q(x) = x² + 2x - 15.

Solution:
Given that, p(x) = x³ - 9x and q(x) = x² + 2x - 15

Now, the factors of p(x) = x³ - 9x
⇒ x(x² - 9)
⇒ x(x + 3)(x - 3)

And, the factors of q(x) = x² + 2x - 15
⇒ x² + 5x - 3x - 15
⇒ x(x + 5) - 3(x + 5)
⇒ (x - 3)(x + 5)

∴ The required H.C.F. is (x - 3)

Question: What is the largest four-digit number that is exactly divisible by 12, 18, 24, and 36?

Solution:
Greatest number of 4-digits is 9999.

L.C.M. of 12, 18, 24 and 36 is 72.

On dividing 9999 by 72, the remainder is 63.

Required number = (9999 - 63) = 9936.

Question: A sum of Tk. 1800 has been divided among A, B and C such that A gets 1/2 of what B gets and B gets 1/3 of what C gets. C's share is-

Solution:
Let, C's share = Tk. x
Then, B's share = Tk. x/3,
A's share = Tk. (1/2)(x/3) = Tk. x/6

∴ x/6 + x/3 + x = 1800
⇒ (x + 2x + 6x)/6 = 1800
⇒ 9x/6 = 1800
⇒ x = (1800 × 6)/9
⇒ x = Tk. 1200

∴ C's share = Tk. 1200

Question: Three bells ring at intervals of 9, 12, and 15 minutes respectively. If they all ring together at 3:00 PM, when will they ring together again?

Solution:
তিনটি ঘণ্টা বিকাল ৩ টায় একত্রে বাজলে 9, 12, 15 এর ল.সা.গুর সমান সময়ের পর ঘণ্টাগুলো পুনরায় একত্রে বাজবে।

সংখ্যা গুলোর মৌলিক উৎপাদক:
9 = 3 × 3 = 3²
12 = 2 × 2 × 3 = 2² × 3
15 = 3 × 5

9, 12, 15 এর ল.সা.গু. = 2² × 3² × 5
= 4 × 9 × 5
= 180 অর্থাৎ 180 মিনিট

সুতরাং, ঘণ্টা গুলো একবার বিকাল 3 টায় বাজার পর পুনরায় বাজবে = 3 টা + 180 মিনিটে
= 3 টা + (60 + 60 + 60) মিনিটে
= 3 টা + 3 ঘণ্টা
= 6 টা
∴ তারা আবার 6:00 PM-এ একত্রে বাজবে।

Question: A gardener planted trees in rows and columns such that the number of rows is seven more than the number of columns. If the total number of rows and columns is 87, find the number of trees.

Solution:
Let the number of columns = x.
Then, number of rows = x + 7

According to the question,
x + (x + 7) = 87
⇒ 2x + 7 = 87
⇒ 2x = 80
⇒ x = 40

Number of rows = x + 7 = 40 + 7 = 47

Total number of trees = rows × columns
= 47 × 40 = 1880

সঠিক উত্তরঃ খ) 52 ও ঘ)156
অপশনে দ্বৈত উত্তর থাকায় প্রশ্নটি বাতিল করা হয়েছে। 
-------------------------------------------
Question: The product of two numbers is 2028. If the H.C.F. of these numbers is 13, then the greater number is:

Solution:
Let the numbers be 13a and 13b.
Then, 13a × 13b = 2028
⇒ 169ab = 2028
⇒ ab = 2028/169
⇒ ab = 12

So, the required possible pair of values of a and b co prime to each other is (1, 12) and (3, 4). 

So, the required numbers are (13, 156) and (39, 52).

∴ Greater number = 52 & 156

Question: Let N be the smallest positive integer that is divisible by both 18 and 24. How many distinct prime factors does N have?

Solution:
এখানে, N হলো 18 এবং 24 দ্বারা বিভাজ্য ক্ষুদ্রতম সংখ্যা।
সুতরাং, N হবে 18 এবং 24 এর ল.সা.গু।

এখন, 18 = 2 × 3 × 3 = 2¹ × 3²
এবং 24 = 2 × 2 × 2 × 3 = 2³ × 3¹

LCM(18, 24) = 2³ × 3² = 8 × 9 = 72
অতএব, N = 72

72 এর মৌলিক উৎপাদক = 2³ × 3²

স্বতন্ত্র মৌলিক উৎপাদকগুলি হলো 2 এবং 3।

∴ N এর স্বতন্ত্র মৌলিক উৎপাদকের সংখ্যা হলো 2টি।

Question: A bakery produces cakes in batches of 12, 18, and 30 units. What is the minimum number of units the bakery needs to produce so that each batch can be formed exactly?

Solution:
To find the minimum number of units the bakery needs to produce so that each batch size (12, 18, and 30) can be formed exactly, we need to find the least common multiple (LCM) of these batch sizes.

The prime factorization of each batch size is:
12 = 2 × 2 × 3 = 2² × 3
18 = 2 × 3 × 3 = 2 × 3²
30 = 2 × 3 × 5 = 2 × 3 × 5

Now,
The highest power of 2 is 2²
The highest power of 3 is 3²
The highest power of 5 is 5¹

So, the LCM of 12, 18, and 30 is:
= 2² × 3² × 5
= 4 × 9 × 5 = 180

∴ The minimum number of units the bakery needs to produce is 180.

Question: Which of the following is irrational?

Solution:
একটি সংখ্যা অমূলদ (irrational) হয় যদি এটি p/q আকারে প্রকাশ করা না যায়, যেখানে p এবং q পূর্ণসংখ্যা এবং q ≠ 0।

ক) 0.75 = 75/100 = 3/4 = এটি p/q আকারে প্রকাশ করা যায়, তাই এটি মূলদ সংখ্যা।

খ) √289 = 17 একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা (17² = 289), তাই √289 = 17 একটি মূলদ সংখ্যা।

গ) 3/5 = এটি ইতিমধ্যে p/q আকারে আছে, তাই এটি মূলদ সংখ্যা।

ঘ) √18 = √(9 × 2) = 3√2 একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা নয়, তাই √18 একটি অমূলদ সংখ্যা। এটি p/q আকারে প্রকাশ করা যায় না।

উত্তর: ঘ) √18 একটি অমূলদ (irrational) সংখ্যা।

Question: Find the smallest number that is a multiple of 11 and leaves a remainder of 5 when divided by 8, 12, 16, and 24.

Solution:
L.C.M. of 8, 12, 16 and 24 is 48.
Let required number be 48k + 5, which is multiple of 11.

Least value of k for which (48k + 5) is divisible by 11 is k = 7.

Required number = (48 × 7) + 5 = 336 + 5 = 341.

∴ নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি হলো 341

Question: The sum of the digits of a two-digit number is 8. If the digits are reversed, the number is decreased by 54. What is the number?

Solution:
Let the two-digit number be 10x + y, where x = tens digit and y = ones digit.

Given,
1st condition: x + y = 8
⇒ x = 8 - y   .......(1)

2nd condition:
(10x + y) - (10y + x) = 54
⇒ 9x - 9y = 54
⇒ 9(8 - y) - 9y = 54
⇒ 72 - 9y - 9y = 54
⇒ 72 - 18y = 54
⇒ - 18y = 54 - 72
⇒ - 18y = - 18
⇒ y = 1

From equation (1) we get,
x = 8 - y = 8 - 1 = 7

So the number is:
10x + y = 10(7) + 1 = 71