Math Master

প্রশ্ন: | x + 3 | ≤ 4 হলে, x এর সর্বনিম্ন মান কত?

সমাধান:
| x + 3 | ≤ 4
⇒ - 4 ≤ x + 3 ≤ 4
⇒ - 4 - 3 ≤ x + 3 - 3 ≤ 4 - 3
⇒ - 7 ≤ x ≤ 1

∴ x এর সর্বনিম্ন মান = - 7

প্রশ্ন: যদি x + 7y = 24 এবং x = 5y হয়, তাহলে y = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + 7y = 24  ...... (1)
এবং x = 5y  ....... (2)

এখন,
x এর মান (1) নং বসাই,
5y + 7y = 24
⇒ 12y = 24
⇒ y = 24/12
∴ y = 2

প্রশ্ন: (2a + 3b, 16) = (36, 2a + b) হলে, a এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
2a + 3b = 36 .............. (1)
2a + b = 16 ............... (2)

(1) নং সমীকরণ থেকে (2) নং সমীকরণ বিয়োগ করে পাই,
(2a + 3b - 2a - b) = 36 - 16
⇒ 2b = 20
∴ b = 10

b এর মান (2) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
2a = 16 - 10
⇒ 2a = 6
⇒ a = 6/2
∴ a = 3

সুতরাং, নির্ণেয় সমাধান a = 3

প্রশ্ন: |x + 1| < 4 হলে, m এবং n এর কোন মানের জন্য m < 3x - 2 < n হবে?

সমাধান:
|x + 1| < 4
⇒ - 4 < x + 1 < 4
⇒ - 4 - 1 < x + 1 - 1 < 4 - 1
⇒ - 5 < x < 3
⇒ - 15 < 3x < 9
⇒ - 15 - 2 < 3x - 2 < 9 - 2
∴ - 17 < 3x - 2 < 7

যেখানে, m < 3x - 2 < n
∴ m = - 17 এবং n = 7

প্রশ্ন: (4x + 5y - 20) = 0 এবং (y + x - 1) = 0 হলে, (x, y) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
4x + 5y - 20 = 0 ......... (1)
y + x - 1 = 0
⇒ y = (1 - x) .............. (2)

(1) নং হতে পাই,
4x + 5(1 - x) - 20 = 0
⇒ 4x + 5 - 5x - 20 = 0
⇒ - x - 15 = 0
⇒  - x = 15
⇒ x = - 15

x এর মান (2) নং এ বসাই,
y = {1 - (- 15)}
⇒ y = 1 + 15
⇒ y = 16

সুতরাং, নির্ণেয় সমাধান: (x, y) = (- 15, 16)

প্রশ্ন: একটি প্রকৃত ভগ্নাংশের লব ও হরের অন্তর 3। লব থেকে 1 বিয়োগ ও হরের সাথে 2 যোগ করলে যে ভগ্নাংশ পাওয়া যাবে তা 1/3 এর সমান। ভগ্নাংশটি কত?

সমাধান:
ধরি,
ভগ্নাংশের লব = x
ভগ্নাংশের হর = x + 3

ভগ্নাংশটি = x/(x + 3)

প্রশ্নমতে,
(x - 1)/(x + 3 + 2) = 1/3
⇒ (x - 1)/(x + 5) = 1/3
⇒ 3x - 3 = x + 5
⇒ 3x - x = 5 + 3
⇒ 2x = 8
⇒ x = 4

∴ ভগ্নাংশটি = 4/(4 + 3) = 4/7

প্রশ্ন:  9 ≥ 3 - 3a হলে, অসমতাটির সমাধান কত?

সমাধান:
9 ≥ 3 - 3a
⇒ 9 - 3 ≥ 3 - 3a - 3
⇒ 6 ≥ - 3a
⇒ - 6 ≤ 3a  [উভয় পক্ষে 1 দ্বারা গুণ করে]
⇒ 3a ≥ - 6
⇒ a ≥ (- 6/3)
⇒ a ≥ - 2

প্রশ্ন: 4x + y = 10 এবং 5x - 2y = 6 হলে, (x, y) এর মান কত?

সমাধান:
4x + y = 10 ......... (1)
5x - 2y = 6 ........ (2)

(1) নং × 2 + (2) নং ⇒
8x + 2y + 5x - 2y = 20 + 6
⇒ 13x = 26
∴ x = 2

x এর মান (1) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
(4 × 2) + y = 10
⇒ 8 + y = 10
⇒ y = 10 - 8
⇒ y = 2

সুতরাং, নির্ণেয় সমাধান (x, y) = (2, 2)

প্রশ্ন: {(x/2) + 4} = {(x/4) + 6} হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
{(x/2) + 4} = {(x/4) + 6}
⇒ (x/2) - (x/4) = 6 - 4
⇒ (2x - x)/4 = 2
⇒ (x/4) = 2
⇒ x = 8

প্রশ্ন: 3x² - 6x + 8 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয়ের প্রকৃতি কোনটি?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
3x² - 6x + 8 = 0

∴ নিশ্চায়ক= b² - 4ac
= ( - 6)² - 4 × 3 × 8
= 36 - 96
= - 60 < 0
যেহেতু, b² - 4ac < 0 হলে মূলদ্বয় অবাস্তব ও অসমান।

• দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের প্রকৃতি:
1. যদি b² - 4ac = 0 হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে।
2. যদি b² - 4ac > 0 হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও অসমান হবে।
3. যদি b² - 4ac < 0 হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় অবাস্তব ও অসমান হবে।
4. যদি b² - 4ac পূর্ণবর্গ সংখ্যা হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় মূলদ ও অসমান হবে।

প্রশ্ন: a² - 7a + 12 < 0 এর সমাধান কত?

সমাধান:
a² - 7a + 12 < 0
⇒  a² - 4a - 3a + 12 < 0
⇒ a(a - 4) - 3(a - 4) < 0
⇒ (a - 4)(a - 3) < 0

a² - 7a + 12 < 0 সত্য হবে যদি a - 3 < 0 এবং a - 4 > 0 হয়।
এখন, a - 3 < 0 এবং a - 4 > 0
অর্থাৎ,  a< 3 এবং a > 4
3 এর চেয়ে ছোট এবং 4 এর চেয়ে বড় a এর কোন মান নাই।
এক্ষেত্রে অসমতাটির কোন সমাধান পাওয়া যাবে না।

আবার,
a² - 7a + 12< 0 সত্য হবে যদি a - 3 > 0 এবং a - 4 < 0 হয়।
এখন,  a - 3 > 0 এবং a - 4 < 0
অর্থাৎ a > 3 এবং a < 4
a এর মান 3 এর চেয়ে বড় এবং4 এর চেয়ে ছোট।
সুতরাং অসমতাটির সমাধান পাওয়া যাবে.  

সুতরাং নির্ণেয় সমাধানঃ 3 < a < 4

প্রশ্ন: (x - 6) = (x - 6)/x, সমীকরণটির সমাধান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
(x - 6) = (x - 6)/x
⇒ x(x - 6) = (x - 6)
⇒ x² - 6x - x + 6 = 0
⇒ x(x - 6) - 1(x - 6) = 0
⇒ (x - 6)(x - 1) = 0
∴ x = 6, 1

প্রশ্ন: 2a + 7 >15 অসমতাটির সমাধান সেট কোনটি?

সমাধান:
2a + 7 > 15
⇒ 2a + 7 - 7 > 15 - 7
⇒ 2a > 8
⇒ 2a/2 > 8/2
⇒ a > 4

∴ নির্ণেয় সমাধান: a > 4
সুতরাং, সমাধান সেট, S = {a ∈ R: a > 4}

প্রশ্ন: a² - 7a + c = 0 সমীকরণের একটি মূল যদি 6 হয়, তাহলে c এর মান কত?

সমাধান:
এখানে,
একটি মূল = 6
অর্থাৎ, a = 6

এখন,
a² - 7a + c = 0
⇒ (6)² - 7 × 6 + c = 0
⇒ 36 - 42 + c = 0
⇒ - 6 + c = 0
∴ c = 6

প্রশ্ন: - 12 < 2x - 4 ≤ 8 অসমতাটির সমাধান কোনটি?

সমাধান:
- 12 < 2x - 4 ≤ 8
= - 12 + 4 < 2x - 4 + 4 ≤ 8 + 4
= - 8 < 2x ≤ 12
= (- 8/2) < (2x/2) ≤ (12/2)
= - 4 < x ≤ 6

∴ অসমতাটির সমাধান (-4, 6]

প্রশ্ন: 3 < a < 7  অসমতাটিকে পরমমান চিহ্নের সাহায্যে প্রকাশ করুন-

সমাধান:
অসমতাটির উর্ধ্বসীমা ও নিম্নসীমার গড় = (3 + 7)/2
= 10/2
= 5

গড় যোগের হওয়ায় প্রত্যের থেকে 5  বিয়োগ করতে হবে।
3 < a < 7
⇒ 3 - 5 < a - 5 < 7 - 5
⇒ - 2 < a - 5 < 2
∴ ।a - 5। < 2