Math Master

প্রশ্ন: যদি Q একটি মৌলিক সংখ্যা হয়  তাহলে √Q কী হবে?

সমাধান:
মৌলিক সংখ্যার সংজ্ঞা অনুসারে, Q কেবলমাত্র 1 এবং Q দ্বারা বিভাজ্য।
আমরা জানি যে, যদি Q একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হয় √Q​ মূলদ সংখ্যা হয়। 
কিন্তু যেহেতু Q মৌলিক, এটি কোনো পূর্ণবর্গ সংখ্যা নয়।
∴ √Q মূলদ সংখ্যা নয়।
যদি Q = 2, 3, 5, 7, 11, 13,… হয়, তবে  √Q​​ একটি অমূলদ সংখ্যা (irrational number)।
কারণ  √Q​​ কখনো ভগ্নাংশ বা পূর্ণসংখ্যা হিসেবে প্রকাশ করা যায় না।

অর্থাৎ √Q একটি অমূলদ সংখ্যা। 

প্রশ্ন: একটি রশির মোট দৈর্ঘ্যের ৩০% এর সাথে ৬৩ মিটার যোগ করলে সম্পূর্ণ রশির দৈর্ঘ্য পাওয়া যায়। রশিটির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি, রশিটির দৈর্ঘ্য = ক মিটার

প্রশ্নমতে,
(ক এর ৩০%) + ৬৩ = ক
⇒ (৩০ক/১০০) + ৬৩ = ক
⇒ (৩০ক + ৬৩০০)/১০০ = ক
⇒ ১০০ক = ৩০ক + ৬৩০০
⇒ ১০০ক - ৩০ক = ৬৩০০
⇒ ৭০ক = ৬৩০০
⇒ ক = ৬৩০০/৭০
∴ ক = ৯০

∴ রশিটির দৈর্ঘ্য = ৯০ মিটার

প্রশ্ন: একটি মিশ্রণে দুধ ও পানির অনুপাত ৩ : ২। যদি ঐ মিশ্রণে ২০ লিটার পানি যোগ করা হয়, তাহলে অনুপাত হয় ৩: ৪। প্রথম মিশ্রণে দুধের পরিমাণ কত ?

সমাধান:
ধরি, 
প্রথম মিশ্রণে দুধের পরিমাণ = ৩ক  
এবং পানির পরিমাণ = ২ক

২০ লিটার পানি যোগ করার পর পানির পরিমাণ = ২ক + ২০

প্রশ্নমতে,
৩ক : (২ক + ২০) = ৩ : ৪
বা, ৩ক/(২ক + ২০) = ৩/৪
বা, ৩ক × ৪ = ৩ × (২ক + ২০)
বা, ১২ক = ৬ক + ৬০
বা, ১২ক − ৬ক = ৬০
বা, ৬ক = ৬০
∴ ক = ১০

∴ প্রথম মিশ্রণে দুধের পরিমাণ = ৩ × ১০ = ৩০ লিটার

প্রশ্ন: রুবেল তার সঞ্চয়ের ২/৫ অংশ দিয়ে একটি কম্পিউটার কিনে এবং সেই কম্পিউটারের দামের ১/২ অংশ দিয়ে একটি প্রিন্টার কিনে। তাহলে তার সঞ্চয়ের কত অংশ অবশিষ্ট রইল?

সমাধান:
মনে করি, 
রুবেলের মোট সঞ্চয়ের পরিমান = ১ অংশ।
তাহলে,
কম্পিউটার কিনে = ২/৫ অংশ টাকা দিয়ে
প্রিন্টার কিনে =(১/২) × (২/৫) = ১/৫ অংশ টাকা দিয়ে

∴ মোট খরচ = (২/৫) + (১/৫) = (২ + ১)/৫ = ৩/৫ অংশ

∴ অবশিষ্ট = ১ - (৩/৫) = (৫ - ৩)/৫ = ২/৫ অংশ

প্রশ্ন: কোনো সংখ্যার দুই-পঞ্চমাংশ এবং এক-দশমাংশের পার্থক্য ৪.৫ হলে সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি, সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে,
(২ক/৫) - (ক/১০) = ৪.৫
⇒ (৪ক - ক)/১০ = ৪.৫
⇒ ৩ক/১০ = ৪.৫
⇒ ৩ক = ৪.৫ × ১০
⇒ ৩ক = ৪৫
⇒ ক = ৪৫/৩
⇒ ক = ১৫

∴ নির্ণেয় সংখ্যাটি হলো ১৫

প্রশ্ন: দুইটি কলমের মূল্যের অনুপাত ৩:৪। দ্বিতীয় কলমটির মূল্য ১২৮ টাকা হলে, প্রথম কলমটির মূল্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
দ্বিতীয় কলমের মূল্য = ১২৮ টাকা।

এখন,
প্রথম কলমের মূল্য = দ্বিতীয় কলমের মূল্যের ৩/৪ গুণ।

∴ প্রথম কলমের মূল্য = (১২৮ এর ৩/৪) টাকা 
= ৯৬ টাকা।

∴ প্রথম কলমের মূল্য = ৯৬ টাকা।

প্রশ্ন: চার অঙ্কের কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা ১৬, ২৪, ৩৬ এবং ৫৪ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য?

সমাধান: 
১৬, ২৪, ৩৬ এবং ৫৪ এর লসাগু = ৪৩২
চার অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ১০০০ 

১০০০ কে ৪৩২ দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ থাকে ১৩৬

∴ নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা হবে = ১০০০ + (৪৩২ - ১৩৬) 
= ১০০০ + ২৯৬
= ১২৯৬

প্রশ্ন: একটি মোবাইল ফোনের বিক্রয়মূল্য ক্রয়মূল্যের ৬/৫ অংশের সমান। শতকরা লাভ বা ক্ষতি নির্ণয় কর।

সমাধান:
মনে করি, 
মোবাইল ফোনের ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা

∴ বিক্রয়মূল্য = (১০০ × ৬/৫) টাকা 
= ১২০ টাকা

ক্রয়মূল্য থেকে বিক্রয়মূল্য বেশী হওয়ায় এখানে লাভ হয়েছে।

∴ লাভ = (১২০ - ১০০) টাকা = ২০ টাকা

শতকরা লাভ = (লাভ/ক্রয়মূল্য) × ১০০
= (২০/১০০) × ১০০ 
= ২০%

প্রশ্ন: কোনো পরীক্ষায় ৮০% শিক্ষার্থী গনিতে, ৭০% শিক্ষার্থী বাংলায় পাশ করে এবং ১০% শিক্ষার্থী উভয় বিষয়ে ফেল করে। কতজন শিক্ষার্থী উভয় বিষয়ে পাশ করে?

সমাধান:
গনিতে পাশ করে = ৮০%
বাংলায় পাশ করে = ৭০%

∴ কমপক্ষে একটি বিষয়ে পাশ করে = মোট শিক্ষার্থী - উভয় বিষয়ে ফেল 
= ১০০% - ১০% 
= ৯০%

∴ উভয় বিষয়ে পাশ করে = (গনিতে পাশ + বাংলায় পাশ) - কমপক্ষে একটিতে পাশ 
= ৮০% + ৭০% - ৯০% 
= ১৫০% - ৯০% 
= ৬০%

প্রশ্ন: দুইটি রাশির অনুপাত ৭ : ১৩। উত্তররাশি ১৩০ হলে পূর্বরাশি কত?

সমাধান:
ধরি,
পূর্বরাশি = ক

প্রশ্নমতে,
ক : ১৩০ = ৭ : ১৩
বা, ক/১৩০ = ৭/১৩
বা, ১৩ক = ৭ × ১৩০
বা, ক = (৭ × ১৩০)/১৩
∴ ক = ৭০

প্রশ্ন: ৫ টাকায় ২ টি করে কমলা কিনে ৩৫ টাকায় কয়টি কমলা বিক্রয় করলে p% লাভ হবে? 

সমাধান: 
p% লাভে, 
ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = (১০০ + p) টাকা 
∴ ক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = (১০০ + p)/১০০ টাকা 
∴ ক্রয়মূল্য ৫ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = {(১০০ + p) × ৫}/১০০ টাকা 
= (১০০ + p)/২০ টাকা 

(১০০ + p)/২০ টাকায় বিক্রয় করতে হবে = ২ টি কমলা 
∴ ১ টাকায় বিক্রয় করতে হবে = (২ × ২০)/(১০০ + p) টি কমলা 
∴ ৩৫ টাকায় বিক্রয় করতে হবে = {(২ × ২০) × ৩৫}/(১০০ + p) টি কমলা 
= (২ × ২০ × ৩৫)/(১০০ + p) টি কমলা 
= ১৪০০/(১০০ + p) টি কমলা

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা ৩৬ থেকে যত বড়, ৮৪ থেকে তত ছোট। সংখ্যাটি কত?

সমাধান: 
ধরি,
সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে,
ক - ৩৬ = ৮৪ - ক
⇒ ক + ক = ৮৪ + ৩৬
⇒ ২ক = ১২০
⇒ ক = ১২০/২
∴ ক = ৬০

∴ সংখ্যাটি হলো = ৬০

প্রশ্ন: বার্ষিক ১০% হার সুদে কত বছরে ৫০০০ টাকার চক্রবৃদ্ধি মূলধন ৬৬৫৫ টাকা হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
মূলধন, P = ৫০০০ টাকা 
চক্রবৃদ্ধি মূলধন, A = ৬৬৫৫ টাকা 
সুদের হার, r = ১০%
সময়, n = ?

আমরা জানি,
A = P{১ + (r/১০০)}ⁿ
⇒ ৬৬৫৫ = ৫০০০{১ + (১০/১০০)}ⁿ
⇒ ৬৬৫৫ =৫০০০{১ + (১/১০)}ⁿ
⇒ ৬৬৫৫ = ৫০০০{(১০ + ১)/১০}ⁿ
⇒ ৬৬৫৫ = ৫০০০(১১/১০)ⁿ
⇒ (১১/১০)ⁿ = ৬৬৫৫/৫০০০
⇒ (১১/১০)ⁿ = ১৩৩১/১০০০
⇒ (১১/১০)ⁿ = (১১/১০)^৩
⇒ n = ৩

∴ সময় = ৩ বছর

প্রশ্ন: দুইটি ভগ্নাংশের গুণফল ৫/১২ । একটি ভগ্নাংশ ৫/৮ হলে অপর ভগ্নাংশটি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
দুইটি ভগ্নাংশের গুণফল = ৫/১২
একটি ভগ্নাংশ = ৫/৮

এখন,
দুইটি ভগ্নাংশের গুণফল = একটি ভগ্নাংশ × অপর ভগ্নাংশ
বা, অপর ভগ্নাংশ = দুইটি ভগ্নাংশের গুণফল/একটি ভগ্নাংশ
= (৫/১২)/(৫/৮)
= (৫/১২) × (৮/৫)
= ৮/১২
= ২/৩

∴ অপর ভগ্নাংশ = ২/৩

প্রশ্ন: ১ থেকে ২০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা কয়টি?

সমাধান:
১ থেকে ২০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা ২,৩, ৫, ৭, ১১, ১৩, ১৭, ১৯ = ৮ টি

প্রশ্ন: ৪টি ঘণ্টা একত্রে বেজে যথাক্রমে ৬, ১২, ১৮ ও ২৪ সেকেন্ড অন্তর অন্তর আবার বাজতে লাগলো। কতক্ষণ পর তারা আবার একসাথে বাজবে?

সমাধান: 
৬, ১২, ১৮ ও ২৪ এর লসাগু হবে ঘণ্টা চারটি পরবর্তীতে একত্রে বাজার সময়।

৬ = ২ × ৩
১২ = ২ × ২ × ৩
১৮ = ২ × ৩ × ৩
২৪ = ২ × ২ × ২ × ৩

লসাগু = ২ × ২ × ২ × ৩ × ৩ = ৭২

অর্থাৎ, ৭২ সেকেন্ড = ৭২/৬০ মিনিট
= ১.২ মিনিট বা ১ মিনিট ১২ সেকেন্ড পর আবার একত্রে বাজবে।

প্রশ্ন: বার্ষিক শতকরা ৮% হারে ২৫০০ টাকার ২ বছর পর সরল ও চক্রবৃদ্ধি মুনাফার পার্থক্য কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
আসল, P = ২৫০০
সুদের হার, r = ৮%
সময়, n = ২ বছর

আমরা জানি,
সরল সুদের ক্ষেত্রে,
I = Pnr/১০০
= (২৫০০ × ৮ × ২)/১০০ = ৪০০ টাকা

∴ মুনাফা = ৪০০ টাকা

আবার,
চক্রবৃদ্ধি সুদের ক্ষেত্রে,
C = P(১ + r/১০০)ⁿ
= ২৫০০ × {১ + ৮/১০০)}^২
= ২৫০০ × (১০৮/১০০)^২
= ২৫০০ × (১.০৮)^২
= ২৫০০ × ১.১৬৬৪
= ২৯১৬

∴ চক্রবৃদ্ধি মুনাফা = C - P
= ২৯১৬ − ২৫০০ = ৪১৬ টাকা

∴ সরল ও চক্রবৃদ্ধি মুনাফার পার্থক্য = (৪১৬ − ৪০০) = ১৬ টাকা

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার অনুপাত ৩ : ৫। প্রথম সংখ্যাটি ২০% বাড়ানো হলো এবং দ্বিতীয় সংখ্যাটি ১০% কমানো হলো। নতুন অনুপাত কত হবে?

সমাধান:
ধরি, 
সংখ্যা দুটি যথাক্রমে ৩ক ও ৫ক
প্রথম সংখ্যা ২০% বাড়ালে = ৩ক + (৩ক এর ২০%) = ৩ক + (৩ক/৫) = ১৮ক/৫
আবার,
দ্বিতীয় সংখ্যা ১০% কমালে = ৫ক - (৫ক এর ১০%) = ৫ক - (ক/২) = ৯ক/২

∴ নতুন অনুপাত = ১৮ক/৫ : ৯ক/২ = ৩৬ : ৪৫ = ৪ : ৫

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৫ : ৬ এবং তাদের গ.সা.গু ৪ হলে সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
দুইটি সংখ্যার অনুপাত = ৫ : ৬
গ.সা.গু = ৪

আমরা জানি,
অনুপাতদ্বয়ের গুণফল = ল.সা.গু./গ.সা.গু. 
বা, ল.সা.গু. = অনুপাতদ্বয়ের গুনফল × গ.সা.গু 
= (৫ × ৬ × ৪) 
= ১২০