প্রাইমারি ডেইলি কুইজ

প্রশ্ন: TUTOR শব্দটির সবগুলো বর্ণ একত্রে নিয়ে কত প্রকারে সাজানো যায়?

সমাধান:
TUTOR শব্দটিতে মোট বর্ণ = 5 টি
T আছে = 2 টি

∴ বিন্যাস সংখ্যা = 5! /2! 
= 60

∴ TUTOR শব্দটির সব বর্ণ একত্রে নিয়ে 60 প্রকারে সাজানো যায়।

প্রশ্ন: 14 সদস্য বিশিষ্ট একটি ফুটবল দল হতে একজন অধিনায়ক এবং একজন সহ-অধিনায়ক কতভাবে নির্বাচন করা যাবে?

সমাধান:
14 জন থেকে 1 জন অধিনায়ক বাছাই করা যায় = ¹⁴C₁ = 14 উপায়ে
13 জন থেকে 1 জন সহ অধিনায়ক বাছাই করা যায় = ¹³C₁ = 13 উপায়ে

∴ বাছাই সংখ্যা = 14 × 13 = 182

প্রশ্ন: DAUGHTER শব্দটি হতে প্রতিবারে 4 টি করে বর্ণ নিয়ে কত প্রকারে সাজানো যায়?

সমাধান:
DAUGHTER শব্দটিতে মোট বর্ণ = 8টি

∴ DAUGHTER শব্দটির 4টি করে বর্ণ নিয়ে সাজানোর উপায় = ⁸P₄ = 8!/(8! - 4!)
= 8!/4!
= 1680

প্রশ্ন: একটি সমাবেশ শেষে উপস্থিত লোকজন প্রত্যেকে প্রত্যেকের সাথে হ্যান্ডশেক করলো। সমাবেশে উপস্থিত লোকের সংখ্যা 16 জন হলে হ্যান্ডশেকের সংখ্যা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
লোকের সংখ্যা = 16

∴ হ্যান্ডশেকের সংখ্যা = ¹⁶C₂
= 16!/{2!(16 - 2)!}
= 16!/(2! × 14!)
= (16 · 15 · 14!)/(2! × 14!)
= 120

প্রশ্ন: BLAME শব্দটির বর্ণগুলো নিয়ে কতগুলো বিন্যাস তৈরি করা যায়, যাদের প্রথমে একটি স্বরবর্ণ থাকবে?

সমাধান:
BLAME শব্দটিতে মোট বর্ণ = 5টি,
স্বরবর্ণ আছে = 2টি।
BLAME শব্দটির মোট বিন্যাস সংখ্যা = 5! = 120

1টি উপাদানের বিন্যাস সংখ্যা = মোট বিন্যাস/উপাদান সংখ্যা
= 120/5
= 24

∴ 2টি স্বরবর্ণ এর জন্য বিন্যাস = (24 × 2) = 48টি

সুতরাং , 48টি বিন্যাসের শুরুতে স্বরবর্ণ থাকবে ।

প্রশ্ন: 10 টি বইয়ের মধ্যে 4 টি বই কত প্রকারে বাছাই করা যায় যেখানে নিদির্ষ্ট দুইটি বই সর্বদা বাদ থাকবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
মোট পুস্তক, n = 10
সর্বদা বাদ থাকবে, m = 2
এবং প্রতিবার নিতে হবে, r = 4

∴ বাছাই করার উপায় = ^{n - m}C_r = ^{(10 - 2)}C₄
= ⁸C₄
= 8!/4!(8 - 4)!
= 8!/(4! × 4!)
= 70

প্রশ্ন: ৪, ২, ১, ৩ অঙ্কগুলো একবার ব্যবহার করে ২০০০ অপেক্ষা বৃহত্তর কয়টি সংখ্যা গঠন করা যায়?

সমাধান:
যদি সংখ্যাটি ২০০০ অপেক্ষা বড় হয় তবে প্রথম অঙ্কটি অবশ্যই ২, ৩ অথবা ৪ হতে হবে।

প্রথম অঙ্কটি ২ হলে, বাকি তিনটি অঙ্ক সাজানো যায় = ৩! উপায়ে
= ৬ উপায়ে

প্রথম অঙ্কটি ৩ হলে, বাকি তিনটি অঙ্ক সাজানো যায় = ৩! উপায়ে
= ৬ উপায়ে

অনুরূপভাবে, প্রথম অঙ্কটি ৪ হলে, বাকি তিনটি অঙ্ক সাজানো যায় = ৩! উপায়ে
= ৬ উপায়ে

∴ ২০০০ অপেক্ষা বড় সংখ্যা গঠন করা যায় = (৬ + ৬ + ৬)টি
= ১৮টি

প্রশ্ন: 14 বাহুবিশিষ্ট বহুভূজের কতটি কর্ণ আছে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বাহুর সংখ্যা, n = 14

∴ কর্ণের সংখ্যা = ⁿC₂ - n
= ¹⁴C₂ - n
= {14!/2!(14 - 2)!} - 14
= {14!/2! × 12!} - 14
= 91 - 14
= 77

প্রশ্ন: ¹⁰P_r = 720 হলে r এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
¹⁰P_r = 720
⇒ 10!/(10 - r)! = 8 × 9 × 10
⇒ (10 - r)! × 8 × 9 × 10 = 10!
⇒ (10 - r)! = (10 × 9 × 8 × 7!)/(8 × 9 × 10)
⇒ (10 - r)! = 7!
⇒ (10 - r) = 7
⇒ r = 10 - 7
∴ r = 3

প্রশ্ন: একটি পরীক্ষায় মোট ৫টি বিষয়ের উপর পরীক্ষা হয়। কোন পরীক্ষার্থী সেই পরীক্ষায় কত উপায়ে ফেল করতে পারবে?

সমাধান:
পরিক্ষার্থী পরীক্ষায় ১, ২, ৩, ৪, ৫ এর মধ্যে যেকোনো সংখ্যক উপায়ে ফেল করতে পারে।

∴ মোট ফেলের উপায় = ^৫C_১ + ^৫C_২ + ^৫C_৩ + ^৫C_৪ + ^৫C_৫
= (৫ + ১০ + ১০ + ৫ + ১)
= ৩১

প্রশ্ন: ২, ৩, ৪, ৫, ৬ এবং ৭ অঙ্কগুলো একবার ব্যবহার করে চার-অংক বিশিষ্ট কতটি সংখ্যা তৈরি করা যাবে যেন সংখ্যাটি ৫ দ্বারা বিভাজ্য হয়?

সমাধান:
৫ দ্বারা বিভাজ্য হতে হলে একক স্থানীয় অংকটি ৫ হতে হবে।
৫ ব্যতীত আর অঙ্ক থাকে ৫টি এবং ঘর বাকি থাকে (৪ - ১) = ৩টি

১ম ঘর সাজানো যাবে ৫টি অঙ্ক দিয়ে
২য় ঘর সাজানো যাবে ৪টি অঙ্ক দিয়ে
৩য় ঘর সাজানো যাবে ৩টি অঙ্ক দিয়ে
৪র্থ ঘরে থাকবে শুধুমাত্র ৫ অর্থাৎ ১টি অঙ্ক

∴ মোট সংখ্যা হবে = (৫ × ৪ × ৩ × ১) = ৬০টি

প্রশ্ন: 3 জন বালক ও 5 জন বালিকাকে এক সারিতে রেখে কতভাবে সাজানো যায় যেখানে 3 জন বালক সর্বদা একত্রে থাকবে?

সমাধান:
মোট বালক বালিকা = (3 + 5) = 8 জন
তিনজন বালক একত্রে থাকলে মোট সংখ্যা = (1 + 5) জন
= 6 জন
6 জন কে সাজানো যায় = 6!
3 জন বালক কে সাজানো যায় = 3!

সুতরাং, একত্রে রেখে বিন্যাস সংখ্যা = 6! × 3!
= (6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1) × (3 × 2 × 1)
= 4320

প্রশ্ন: 8 জন ব্যাক্তিকে একটি গোল টেবিলে কতভাবে বসানো যাবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
n সংখ্যক ব্যক্তিকে একটি গোল টেবিলে বসানো যাবে = (n - 1)!
8 জনকে গোল টেবিলে বসানো যাবে = (8 - 1)!
= 7!
= 5040 উপায়ে

প্রশ্ন: স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে না রেখে 'WRITTEN' শব্দটিকে কতভাবে বিন্যস্ত করা যায়?

সমাধান:
'WRITTEN' শব্দটিতে মোট বর্ণ 7টি যেখানে T  2টি এবং বাকি বর্ণ ভিন্ন ভিন্ন এবং স্বরবর্ণ 2টি।
7টি বর্ণকে সাজানো যায় = 7!/2! = 2520

স্বরবর্ণ দুটিকে একটি ধরে মোট বর্ণ 6টি যেখানে T 2টি
6টি বর্ণকে সাজানো যায় = 6!/2!

স্বরবর্ণ দুটিকে সাজানো যায় = 2!

∴ স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে বিন্যাস = (6!/2!) × 2!
= 6!
= 720

∴ স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে না রেখে বিন্যাস = (2520 - 720)
= 1800