Math Master

প্রশ্ন: 1 + 4 + 7 + 10 + ........ ধারাটির 14 তম পদ কত?

সমাধান:
এখানে,
১ম পদ, a = 1
সাধারণ অন্তর, d = (4 - 1) = 3
n তম পদ = a + (n - 1)d
∴ 14 তম পদ = 1 + (14 - 1)3
= 1 + (13 × 3)
= 1 + 39
= 40

প্রশ্ন: 1² + 2² + 3² + ........ + 40² = কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
সমষ্টি = {n(n + 1)(2n + 1)}/6
= {40(40 + 1)(2 · 40 + 1)}/6
= (40 × 41 × 81)/6
= 22140

প্রশ্ন: 5 + p + q + 135 + .......... একটি গুণোত্তর ধারা হলে (p, q) = কত?

সমাধান:
১ম পদ, a = 5
সাধারণ অনুপাত = r

আমরা জানি,
গুণোত্তর ধারার n তম পদ = ar^{n - 1}
∴ ৪র্থ পদ, ar^{4 - 1} = 135
⇒ 5 · r³ = 135
⇒ r³ = 135/5
⇒ r³ = 27
⇒ r³ = 3³
∴ r = 3
২য় পদ, p = ar^{2 - 1} = ar = 5 × 3 = 15
৩য় পদ, q = ar^{3 - 1} = ar² = 5 × 3²  = 5 × 9 = 45
∴ (p, q) = (15, 45)

প্রশ্ন: 9 + 7 + 5 + ...... ধারাটির কোন পদ -3?

সমাধান:
১ম পদ, a = 9
সাধারণ অন্তর, d = 7 - 9 = - 2
n তম পদ = - 3
∴ n তম পদ = a + (n - 1)d
⇒ - 3 = 9 + (n - 1) · (-2)
⇒ - 3 = 9 - 2n + 2
⇒ - 3 = 11 - 2n
⇒ - 3 - 11 = - 2n
⇒ - 14 = - 2n
∴ n = 7

প্রশ্ন: ০.২৭ + ০.০০২৭ + ০.০০০০২৭ + ...... ধারাটির অসীম পদ পর্যন্ত যোগফল কত?

সমাধান:
এখানে, 
১ম পদ, a =  ০.২৭
সাধারণ অন্তর, r = ০.০০২৭/০.২৭
= ০.০১

∴ সমষ্টি = a/(১ - r)
= ০.২৭/(১ - ০.০১)
= ০.২৭/০.৯৯
= ২৭/৯৯
= ৩/১১

প্রশ্ন: 2 + 3 + 4 + 5 ........ এর ৩য় আংশিক সমষ্টি কত?

সমাধান:
2 + 3 + 4 + 5 ........ এর ৩য় আংশিক সমষ্টি = ১ম তিনটি পদের যোগফল।
= 2 + 3 + 4
= 9

প্রশ্ন: (1/5) + (1/5²) + (1/5³) + ........ ধারাটির অসীমতক সমষ্টি কত?

সমাধান:
এখানে, ১ম পদ, a = 1/5
সাধারণ অনুপাত, r = (1/5²) ÷ (1/5)
= (1/5²) × (5/1)
= 1/5

∴ S_∞ = a/(1 - r)    [যেহেতু r < 1]
= (1/5)/{1 - (1/5)}
= (1/5)/(4/5)
= (1/5) × (5/4)
= 1/4

প্রশ্ন : ১ম n সংখ্যক স্বাভাবিক বিজোড় সংখ্যার সমষ্টি কত?

সমাধান:
১ম n সংখ্যক স্বাভাবিক বিজোড় সংখ্যার সমষ্টি = 1 + 3 + 5 + ..... + n
১ম পদ, a = 1
সাধারণ অন্তর, d = 3 - 1 = 2
এবং পদ সংখ্যা = n

আমরা জানি,
সমষ্টি = (n/2){2a + (n - 1)d}
= (n/2) {2 × 1 + (n - 1)2}
= (n/2) (2 + 2n - 2)
= (n/2) · 2n
= n²

প্রশ্ন: 2, 4, 6 ...... অনুক্রমটির কত তম পদ 94 হবে?

সমাধান:
১ম পদ, a = 2
সাধারণ অন্তর, d = 4 - 2 = 2
n তম পদ = 94
⇒ a + (n - 1)d = 94
⇒ 2 + (n - 1)2 = 94
⇒ 2 + 2n  - 2 = 94
⇒ 2n = 94
∴ n = 47

সুতরাং, ধারাটির 47 তম পদ 94 হবে।

প্রশ্ন: কোনো সমান্তর অনুক্রমের ১ম পদ 3 এবং ২য় পদ 6 হলে অনুক্রমটির ১ম 18টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
এখানে,
১ম পদ, a = 3
সাধারণ অন্তর, d = 6 - 3 = 3
এবং পদ সংখ্যা, n = 18

∴ সুতরাং, 18টি পদের সমষ্টি = (18/2){2 · 3 + (18 - 1)3}
= 9{6 + (17 × 3)}
= 9 (6 + 51)
= 9 × 57
= 513

প্রশ্ন: কোনো ধারার n সংখ্যক পদের সমষ্টি n(n + 1) হলে, ধারাটির 12টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ধারাটির ১ম n পদের সমষ্টি, S_n = n(n + 1)

∴ ধারাটির 12টি পদের সমষ্টি, S₁₂ = 12(12 + 1)
= 12 × 13
= 156

সুতরাং, ধারাটির 12টি পদের সমষ্টি = 156

প্রশ্ন: নিচের কোনটি সমান্তর ধারা?

সমাধান:
• যে ধারার পাশাপাশি দুইটি পদের বিয়োগফল একই সংখ্যা থাকে, তাকে সমান্তর ধারা বলা হয়। ধারায় প্রাপ্ত দুইটি পদের বিয়োগফলকে ধারার সাধারণ অন্তর বলে। সাধারণ অন্তর ধনাত্মক বা ঋণাত্মক উভয়ই হতে পারে।

(1/2) + (1/4) + (1/8) + ......... ধারাটিতে সাধারণ অন্তর ভিন্ন ভিন্ন
3 + 9 + 27 + ..........  ধারাটিতে সাধারণ অন্তর ভিন্ন ভিন্ন
2 + 4 + 8 + ...........  ধারাটিতে সাধারণ অন্তর ভিন্ন ভিন্ন
2 + 5 + 8 + .......... এখানে সাধারণ অন্তর একই (৩), সুতরাং এটি একটি গুণোত্তর ধারা।

প্রশ্ন: 5 থেকে 55 পর্যন্ত ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যাগুলোর যোগফল কত? 

সমাধান:
পদ সংখ্যা = {(শেষ পদ - ১ম পদ)/(সাধারণ অন্তর) + 1}
= {(55 - 5)/(1) + 1}
= 50 + 1
= 51

সুতরাং,
সমষ্টি = {(শেষ পদ + ১ম পদ)/2} × পদসংখ্যা
= {(55 + 5)/2} × 51
= (60/2) × 51
= 30 × 51
= 1530

প্রশ্ন: log3 + log9 + log27 + .............. ধারাটির ১ম 17টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
log3 + log9 + log27 + .............. 17তম পদ পর্যন্ত
= log3 + log 3²+ log 3³ + .......... + log3¹⁷
= log3 + 2 log3 + 3 log3 + ..........+ 17 log3
= (1 + 2 + 3 + ....... + 17)log3
= {17(17 + 1)/2} log3       [n  সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি = n(n + 1)/2
= {(17 × 18)/2}log3 
= 153log3

প্রশ্ন: 3 + (3/2) + (3/4) + . . . . ধারাটির সাধারণ অনুপাত কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
১ম পদ = 3
২য় পদ = 3/2

∴ ধারাটির সাধারণ অনুপাত = ২য় পদ/১মপদ
= (3/2)/3
= (3/2) × (1/3)
= 1/2

প্রশ্ন: রাতুল একটি ফ্যাক্টরিতে প্রথম দিনে ৩টি পণ্য, দ্বিতীয় দিনে ৬টি পণ্য, তৃতীয় দিনে ১২টি পণ্য তৈরি করে। এভাবে সে ৬ দিনে মোট কতটি পণ্য তৈরি করবে?

সমাধান:
পণ্য তৈরি করার অনুক্রম: ৩, ৬, ১২,  . . . ., n

এখানে অনুক্রমটির,
মোট পদ, n = ৬
১ম পদ, a = ৩
অনুপাত, r = ৬/৩ = ২

∴ ৬টি পদের সমষ্টি = a × {(rⁿ - 1)/(r - 1)}
= ৩ × {(২^৬ - ১)/(২ - ১)} 
= ৩ × ৬৩
= ১৮৯

∴ রাতুল ৬ দিনে মোট ১৮৯ টি পণ্য তৈরি করবে।

প্রশ্ন: 1³ + 2³ + 3³ + ..... + 30³ = কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
সমষ্টি = {n(n + 1)/2}²
= {30(30 + 1)/2}²
= {(30 × 31)/2}²
= (930/2)²
= (465)²
= 216225

প্রশ্ন: 7 + 9 + 11 + ....... + 39 ধারাটির পদসংখ্যা কত?

সমাধান:
ধারাটির,
প্রথম পদ, a = 7
সাধারণ অন্তর, d = 9 - 7 = 2
শেষ পদ = 39

∴ পদসংখ্যা = {(শেষ পদ - ১ম পদ)/সাধারণ অন্তর} + 1
= {(39 - 7)/2} + 1
= 16 + 1
= 17

প্রশ্ন: কোনো সমান্তর ধারার m তম পদ n এবং n তম পদ m হলে, ধারাটির সাধারণ অন্তর কত?

সমাধান: 
আমরা জানি,
m তম পদ = a + (m - 1)d
∴ n = a + md - d
⇒ a + md - d = n ............ (1)
এবং,
n তম পদ = a + (n - 1)d
∴ m = a + nd - d
⇒ a + nd - d = m ............ (2)

(1) নং থেকে (2) নং বিয়োগ করে পাই,
a + md - d - (a + nd - d) = n - m
⇒ a + md - d - a - nd + d = n - m
⇒ d(m - n) = n - m
∴ d = - 1