Math Master

প্রশ্ন:  ∠RPS এর মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = 180°
তাহলে, ∠P + ∠PRQ  ∠RQP = 180°
⇒ ∠QPR = 180° - 30° - 40°
 = 110°

আবার, ∠QPR + ∠RPS = 180°
⇒ ∠RPS = 180° - 110° 
= 70°

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য 10 সে.মি. হলে ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.?

সমাধান:
ধরি,
সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের সমান বাহুর দৈর্ঘ্য a সে.মি.
পিথাগোরাসের উপপাদ্য হতে পাই,
a² + a² = 10²
⇒ 2a² = 100
⇒ a² = 50

∴ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (1/2) × a × a
= (1/2) × a²
= (1/2) × 50
= 25 বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন: বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ পরিধিস্থ কোণের কতগুণ?

সমাধান:
বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ পরিধিস্থ কোণের দ্বিগুণ।

প্রশ্ন: একটি বর্গাকৃতি মাঠের ক্ষেত্রফল ২৫০০ বর্গমিটার। মাঠের চারপাশে বেড়া দেওয়া আছে। বেড়ার দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
মাঠের ক্ষেত্রফল = ২৫০০ বর্গমিটার

তাহলে,
মাঠের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = √২৫০০ মিটার
= ৫০ মিটার

এখন,
মাঠটির পরিসীমাই হবে মাঠটির বেড়ার দৈর্ঘ্য।
∴ মাঠটির পরিসীমা = চার বাহুর সমষ্টি
= (৪ × ৫০) মিটার
= ২০০ মিটার

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ ও লম্ব যথাক্রমে 41 সে.মি. এবং 9 সে.মি হলে ভূমির পরিমাণ কত?

সমাধান:
পিথাগোরাসের উপপাদ্য হতে আমরা জানি,
অতিভূজ² = ভূমি² + লম্ব²
∴ 41² = ভূমি² + 9²
⇒ ভূমি² = 1681 - 81
⇒ ভূমি = √1600
∴ ভূমি = 40 সে.মি.

প্রশ্ন: নবভুজের অন্তঃস্থ কোণসমূহের সমষ্টি কত?

সমাধান:
n সংখ্যক বাহুবিশিষ্ট বহুভুজের অন্তঃস্থ কোণসমূহের সমষ্টি = (n - 2) × 180°

∴ নবভুজের অন্তঃস্থ কোণসমূহের সমষ্টি = (9 - 2) × 180°
= 7 × 180°
= 1260°

প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল ৩০ বর্গফুট। যদি উচ্চতা ৩ ফুট এবং সমান্তরাল বাহু দুটি একটি অপরটি থেকে ২ ফুট বেশি হয় তাহলে ছোট বাহুটির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি,
বড় বাহুটি = ক ফুট
ছোট বাহুটি = ক - ২ ফুট

আমরা জানি,
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = (১/২) × (সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের যোগফল × উচ্চতা)
⇒ ৩০ = (১/২) × {ক + (ক - ২)} × ৩
⇒ ৩০ = (১/২) × (২ক - ২) × ৩
⇒ ৬ক - ৬ = ৬০
⇒ ৬ক = ৬৬
⇒ ক = ১১

অতএব, ছোট বাহুটি = ১১ - ২ = ৯ ফুট

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজাকৃতি মাঠের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 9m, 12m এবং 15m হলে, এর ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
এখানে পরিসীমা, S = (9 + 12 + 15)/2
= 18

∴ ক্ষেত্রফল= √18(18 - 9) (18 - 12) (18 - 15)
= √(18 × 9 × 6 × 3)
= √2916
= 54 sqm

প্রশ্ন: একটি ষড়ভুজের কর্ণের সংখ্যা কয়টি?

সমাধান:
একটি ষড়ভুজের বাহুর সংখ্যা, n = 6

∴ একটি ষড়ভুজের কর্ণের সংখ্যা = {n(n - 3)}/2
= {6(6 - 3)}/2
= 18/2
= 9 টি

প্রশ্ন: চিত্রে চিহ্নিত ∠AOC একটি-



সমাধান:
প্রবৃদ্ধ কোণ:
দুই সমকোণ থেকে বড় কিন্তু চার সমকোণ থেকে ছোট কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলা হয়।
চিত্রে চিহ্নিত ∠AOC প্রবৃদ্ধ কোণ।

সম্পূরক কোণ:
দুইটি কোণের পরিমাপের যোগফল দুই সমকোণ হলে কোণ দুইটি পরস্পর সম্পূরক কোণ।

সূক্ষ্মকোণ:
এক সমকোণ থেকে ছোট কোণকে সূক্ষ্মকোণ বলা হয়। 

পূরক কোণ:
দুইটি কোণের পরিমাপের যোগফল এক সমকোণ হলে কোণ দুইটির একটি অপরটির পূরক কোণ।

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা ১৮ মিটার হলে এর ক্ষেত্রফল কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা ১৮ মিটার
সমবাহু ত্রিভুজের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = ১৮/৩ মিটার = ৬ মিটার

∴ সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল =(√৩/৪) × ৬^২ বর্গমিটার
= (√৩/৪) × ৩৬ বর্গমিটার
= ৯√৩ বর্গমিটার

প্রশ্ন: একটি সামন্তরিকের উচ্চতা ভূমির তিনগুণ এবং ক্ষেত্রফল ২৪৩ বর্গমিটার। ক্ষেত্রটির উচ্চতা কত?

সমাধান:
ধরি,
সামন্তরিকের ভূমি = ক মিটার
সামন্তরিকের উচ্চতা = ৩ক মিটার
তাহলে, সামন্তরিকের ক্ষেত্রফল = ক × ৩ক = ৩ক^২ বর্গমিটার

শর্তমতে,
৩ক^২ = ২৪৩
⇒ ক^২ = ২৪৩/৩
⇒ ক^২ = ৮১
∴ ক = ৯

∴ উচ্চতা = ৩ × ৯ = ২৭ মিটার

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 130 বর্গ মিটার। সমকোণ সন্নিহিত বাহুদ্বয় এর একটি দৈর্ঘ্য 10 মিটার হলে অপরটি কত?

সমাধান:
সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 130 বর্গ মিটার
একটি বাহুর দৈর্ঘ্য = 10 মিটার
অপর বাহুর দৈর্ঘ্য = p মিটার

প্রশ্নমতে,
(1/2) × p × 10 = 130
⇒ 5p = 130
⇒ p = 130/5
∴ p = 26 মিটার

প্রশ্ন: একটি সুষম ষড়ভুজের প্রতিবাহুর দৈর্ঘ্য 3 সে.মি. হলে এর ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
ধরি,
ষড়ভুজের প্রতিবাহুর দৈর্ঘ্য, a = 3 সে.মি.
বাহুর সংখ্যা, n = 6

আমরা জানি,
সুষম ষড়ভুজের ক্ষেত্রফল = {(na²)/4}cot(180°/n)
= {6 × 3²)/4}cot(180°/6)
= (54/4)cot30°
= 13.5√3

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার মাঠের ক্ষেত্রফল ৪৮০ বর্গমিটার এবং প্রস্থ ১৫ মিটার। মাঠের পরিসীমা কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ
⇒ ৪৮০ = দৈর্ঘ্য × ১৫
⇒ দৈর্ঘ্য = ৪৮০ / ১৫
∴ দৈর্ঘ্য = ৩২ মিটার

∴ পরিসীমা = ২(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
= ২(৩২ + ১৫)
= ২(৪৭)
= ৯৪ মিটার

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা 16 মিটার। এর সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য ভূমির 5/6 হলে, ত্রিভুজটির ভূমির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি,
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি = r মিটার.
সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য = 5r/6

প্রশ্নমতে,
r + (5r/6) + (5r/6) = 16
⇒ (6r + 5r + 5r)/6 = 16
⇒ 16r/6 = 16
⇒ r/6 = 1
∴ r = 6 মিটার

প্রশ্ন: ২১ সেমি ব্যাসার্ধের বৃত্তের পরিধি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r = ২১ সে.মি.

∴ বৃত্তের পরিধি = ২πr
= ২ × (২২/৭) × ২১
= ২ × ২২ × ৩
= ১৩২ সে.মি.

প্রশ্ন: রম্বসের দুটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি-

সমাধান:
• রম্বসের বৈশিষ্ট্য:
- রম্বসের প্রত্যেকটি বাহুই সমান।
- রম্বসের কর্ণদ্বয় অসমান।
- রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখন্ডিত করে।
- রম্বসের বিপরীত কোণগুলো পরস্পর সমান।
- রম্বসের দুটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি ১৮০°।