Math Master

প্রশ্ন: x⁴ - x² + 1 = 0 হলে x³ + (1/x³) = কত?

সমাধান:
x⁴ - x² + 1 = 0 
বা, x⁴+ 1 = x²
বা, x⁴/x² + 1/x² = 1
বা, x² + 1/x² = 1
বা, (x + 1/x)² - 2 . x . 1/x = 1
বা, (x + 1/x)² - 2 = 1
বা, (x + 1/x)² = 3
∴ x + 1/x = √3

এখন,
x³ + 1/x³ = (x + 1/x)³ - 3. x.1/x (x + 1/x)
= (√3)³ - 3√3
= 3√3 - 3√3
= 0

প্রশ্ন: x + x^{- 1} = 2 হলে x²⁰¹ + x³⁰⁹ মান নিচের কোনটি?

সমাধান:
x + x- 1 = 2
⇒ x + 1/x = 2
⇒ (x² + 1)/x = 2
⇒ x² + 1 = 2x
⇒ x² - 2x + 1 = 0
⇒ (x - 1)² = 0
⇒ x - 1 = 0
∴ x = 1

∴ x²⁰¹ + x³⁰⁹ = 1²⁰¹ + 1³⁰⁹
= 1 + 1 = 2

প্রশ্ন: 5 - 4x - x² এবং x² + x - 20 এর মধ্যে সাধারণ উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
5 - 4x - x²
= - x² - 4x + 5
= - x² - 5x + x + 5
= - x(x + 5) + 1(x + 5)
= (x + 5) (1 - x)

x² + x - 20
= x² + 5x - 4x - 20
= x(x + 5) - 4 (x + 5)
= (x + 5) (x - 4)

∴ 5 - 4x - x² এবং x² + x - 20 এর মধ্যে সাধারণ উৎপাদক  (x + 5) 

প্রশ্ন: 3x³ + 2x² - 21x - 20 রাশিটির একটি উৎপাদক -

সমাধান:
3x³ + 2x² - 21x - 20 
ধরি,
f(x) = 3x³ + 2x² - 21x - 20 
∴ f( - 1) = 3 ( - 1)³ + 2 (- 1)² - 21 (- 1) - 20
= - 3 + 2 + 21 - 20
= 23 - 23
= 0

x = - 1 বসালে রাশিটি শূন্য হয়।
∴ (x + 1) প্রদত্ত রাশিটির একটি উৎপাদক।

প্রশ্ন: x + (1/16x) = 1 হয় তবে 64x³ + (1/64x³) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + 1/16x = 1
বা, 4x + 4/16x = 4
বা, 4x + 1/4x = 4
বা, (4x + 1/4x)³ = 4³
বা, (4x)³ + (1/4x)³ + 3 . 4x . 1/4x ((4x + 1/4x) = 64
বা, 64x³ + 1/64x³ + 3 . 4 = 64
বা, 64x³ + 1/64x³ + 12 = 64
বা, 64x³ + 1/64x³ = 64 - 12
∴ 64x³ + 1/64x³ = 52

প্রশ্ন: x + y + z = 0 হলে (1/3)(x³ + y³ + z³) এর মান কত?

সমাধান: 
x + y + z = 0

এখন,
(1/3) (x³ + y³ + z³)
= (1/3) (x³ + y³ + z³ - 3xyz + 3xyz)
= (1/3) (x³ + y³ + z³ - 3xyz) + (1/3) × 3xyz
= (1/3) {(x + y + z) (x² + y² + z² - xy - yz - zx)} + xyz
= 1/3 {0 × (x² + y² + z² - xy - yz - zx)} + xyz
= xyz

∴ (1/3) (x³ + y³ + z³) = xyz

প্রশ্ন: x = 5 এবং y = 2 হলে 16x² - 56xy + 49y² এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x = 5
y = 2

এখন,
16x² + 56xy + 49y²
= (4x)² - 2 . 4x . 7y + (7y)²
= (4x - 7y)²
= (4 . 5 - 7 . 2)²
= (20 - 14)²
= 6²
= 36

প্রশ্ন: x⁴ + 2x² + 1 = 5x² হলে √5 (x + 1/x) = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x⁴ + 2x² + 1 = 5x²
⇒ (x²)² + 2 . x² . 1 + 1² = 5x²
⇒ (x² + 1)² = (√5x)²
⇒ x² + 1 = √5x
⇒ x²/x + 1/x = √5
⇒ x + 1/x = √5
⇒ √5(x + 1/x) = √5 . √5

∴ √5(x + 1/x) = 5

প্রশ্ন: a³ - 9 + (a + 1)³ রাশিটির একটি উৎপাদক (2a² + 5a + 8) হলে অপর উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
a³ - 9 + (a + 1)³
= a³ - 9 + a³ + 3a² + 3a + 1
= 2a³ + 3a² + 3a - 8
= 2a³ - 2a² + 5a² - 5a + 8a - 8
= 2a²(a - 1) + 5a(a - 1) + 8(a - 1)
= (a - 1) (2a² + 5a + 8)

প্রশ্ন: 6 - x - (9/x) = 0 হলে x² ÷ (x² - x - 3) = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
6 - x - 9/x = 0 
বা, 6 = x + 9/x
বা, (x² + 9)/x = 6
বা, x² + 9 = 6x
বা, x²  - 6x + 9 = 0
বা, x² - 2. x. 3 + 3² = 0
বা, (x - 3)² = 0
বা, x - 3 = 0
∴ x = 3

এখন,
x² ÷ (x² - x - 3)
= 3² ÷ (3² - 3 - 3)
= 9 ÷ (9 - 6)
= 9 ÷ 3
= 3

প্রশ্ন: a² + 1/a² = 47 হয় তবে a + 1/a এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a² + 1/a² = 47
⇒ (a + 1/a)² - 2 . a . 1/a = 47
⇒ (a + 1/a)² = 47 + 2
⇒ (a + 1/a)² = 49
⇒ (a + 1/a)² = (7)²
∴ (a + 1/a) = ± 7

প্রশ্ন: যদি x + y = 17 এবং xy = 60 হলে x এর ধনাত্বক মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + y = 17 .............. (1)
xy = 60

এখন
(x - y)² = (x + y)² - 4xy
= (17)² - 4 . 60
= 289 - 240
= 49
(x - y)² = 7²
x - y = 7 ................. (2)

(1) + (2)
x + y = 17
x - y = 7
2x = 24
∴ x = 12

প্রশ্ন: x√0.09 = 3 হলে x/2 = কত?

সমাধান:
x√0.09 = 3
⇒ (x√0.09)² = (3)²
⇒ x²(√0.09)² = 9
⇒ x² × 0.09 = 9
⇒  x² × 9/100 = 9
⇒  x² = 100
⇒ x = 10
∴ x/2 = 5

প্রশ্ন: 4a² + 23a - 6 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ নিচের কোনটি?

সমাধান:
4a² + 23a - 6 
= 4a² + 24a - a - 6
= 4a(a + 6) - 1(a + 6)
= (a + 6) (4a - 1)

প্রশ্ন: xy(x + y) = 1 হলে = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
 xy(x + y) = 1
⇒ x + y = 1/xy

এখন,
x³ + y³ - 1/x³y³
= x³ + y³ - (x + y)³
= x³ + y³ - {x³ + y³ + 3xy (x + y)}
= x³ + y³ - x³ - y³ - 3xy (x + y)
= - 3 . 1
= - 3

প্রশ্ন: x = 1 + √3 হলে x³ - 6√3 = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x = 1 + √3
বা, x³ = (1 + √3)³
বা, x³ = 1³ + 3 . 1² . √3 + 3 . 1 . (√3)² + (√3)³
বা, x³ = 1 + 3√3 + 9 + 3√3
বা, x³ = 10 + 6√3
∴ x³ - 6√3 = 10

প্রশ্ন: a + b = 9 এবং a² + b² = 31 হলে, 4ab এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + b = 9
a² + b² = 31

আমরা জানি,
(a + b)² = a² + b² + 2ab
বা, 9² = 31 + 2ab
বা, 81 - 31 = 2ab 
বা, 2ab = 50
∴ 4ab = 100

প্রশ্ন: 35x² - x - 12 এর উৎপাদকগুলো কী কী?

সমাধান:
35x² - x - 12
= 35x² - 21x + 20x - 12
= 7x(5x - 3) + 4(5x - 3)
= (5x - 3) (7x + 4)

প্রশ্ন: 2(x - y) = 4 এবং xy/2 = 12 হলে, x এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
2(x - y) = 4 
⇒ x - y = 2 ............. (1)
xy/2 = 12
⇒ xy = 24

এখানে 
(x + y)² = (x - y)² + 4xy 
⇒ (x + y)² = (2)² + 4 × 24
⇒ (x + y)² = 4 + 96
⇒ (x + y)² = 100
⇒ (x + y)² = 10²
x + y = 10..................(2)

(1) নং + (2) নং যোগ করে পাই, 
x + y + x - y = 2 + 10
⇒ 2x = 12
∴ x = 6