৫১তম বিসিএস ফাইনাল মডেল টেস্ট ও রিভিশন

প্রশ্ন: এমন দুইটি ক্ষুদ্রতম ক্রমিক সংখ্যা নির্ণয় করুন, যাদের বর্গের অন্তর একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা।

সমাধান:
ধরি,
ক্রমিক সংখ্যা দুইটি x, (x + ১)
তাদের বর্গের অন্তর = (x + ১)² - x²
= x² + ২x + 1 - x²
= ২x + 1

x = ১ হলে ২ . ১ + ১ = ৩, যা পূর্ণবর্গ নয়
x = ২ হলে ২ . ২ + ১ = ৫, যা পূর্ণবর্গ নয়
x = ৩ হলে ২ . ৩ + ১ = ৭, যা পূর্ণবর্গ নয়
x = ৪ হলে ২ . ৪ + ১ = ৯, যা পূর্ণবর্গ 

∴ নির্ণেয় সংখ্যা দুইটি = ৪, (৪ + ১) বা, ৪, ৫

প্রশ্ন: একটি কলেজে বালক ও বালিকার অনুপাত ২ : ৩। যদি ২০% বালক এবং ২৫% বালিকা প্রাপ্ত বয়স্ক হয়, তবে ঐ কলেজে কত শতাংশ ছাত্র ছাত্রী প্রাপ্ত বয়স্ক নয়?

সমাধান:
মনে করি,
মোট ছাত্র ছাত্রী সংখ্যা = ১০০

∴ বালকের সংখ্যা = ১০০ × ২/৫ = ৪০
বালিকার সংখ্যা = ১০০ × ৩/৫ = ৬০

বালকদের মধ্যে প্রাপ্ত বয়স্ক = ৪০ × ২০% = ৪০ × ২০/১০০ = ৮ জন
বালিকাদের মধ্যে প্রাপ্ত বয়স্ক = ৬০ × ২৫% = ৬০ × ২৫/১০০ = ১৫ জন

∴ মোট প্রাপ্ত বয়স্ক = (৮ + ১৫) জন = ২৩ জন

∴ প্রাপ্ত বয়স্ক নয় = ১০০ - ২৩ = ৭৭ জন
∴ প্রাপ্ত বয়স্ক নয় ৭৭%

প্রশ্ন: কোনো নির্দিষ্ট সময়ের মুনাফা-আসল ৫৬০০ টাকা এবং মুনাফা আসলের ৪০ শতাংশ। মুনাফার বার্ষিক হার ৮% হলে, সময় কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
মুনাফা আসলের ৪০ শতাংশ
আসল ১০০ টাকা হলে মুনাফা ৪০ টাকা
∴ মুনাফা আসল = ১০০ + ৪০ = ১৪০ টাকা

মুনাফা আসল ১৪০ টাকা হলে মুনাফা ৪০ টাকা
∴ মুনাফা আসল ৫৬০০ টাকা হলে মুনাফা (৪০ × ৫৬০০)/১৪০ টাকা
= ১৬০০ টাকা

∴ মুনাফা, I = ১৬০০ টাকা
∴ আসল, P = ৫৬০০ - ১৬০০ = ৪০০০ টাকা
মুনাফার হার, r = ৮% = ৮/১০০

আমরা জানি,
I = Pnr
বা, n = I/Pr
বা, n = (১৬০০ × ১০০)/(৪০০০ × ৮)
∴ n = ৫ 

∴ সময় ৫ বছর।

প্রশ্ন: একটি দ্রব্য ৬% লাভে বিক্রয় করা হলো। যদি ক্রয়মূল্য ৪% কম এবং বিক্রয়মূল্য ৪টাকা বেশি হতো, তাহলে (২৫/২)% লাভ হতো। কত মূল্যে দ্রব্যটি ক্রয় করা হয়েছিল?

সমাধান:
মনে করি,
দ্রব্যটির ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা
৬% লাভে বিক্রয়মূল্য (১০০ + ৬) টাকা = ১০৬ টাকা

৪% কমে ক্রয়মূল্য (১০০ - ৪) টাকা = ৯৬ টাকা
(২৫/২)% লাভে বিক্রয়মূল্য {(১০০ + (২৫/২)} = ২২৫/২ টাকা

ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য ২২৫/২ টাকা
ক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য ২২৫/(২ × ১০০) টাকা
ক্রয়মূল্য ৯৬ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য (২২৫ × ৯৬)/(২ × ১০০) টাকা
= ১০৮ টাকা

∴ বেশি বিক্রয়মূল্য (১০৮ - ১০৬) টাকা = ২ টাকা

বিক্রয়মূল্য ২ টাকা বেশি হলে দ্রব্যটির ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ১ টাকা বেশি হলে দ্রব্যটির ক্রয়মূল্য ১০০/২ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ৪ টাকা বেশি হলে দ্রব্যটির ক্রয়মূল্য (১০০ × ৪)/২ টাকা
= ২০০ টাকা

প্রশ্ন: দুইটি রাশির ল.সা.গু, তাদের গ.সা.গুর ১৩ গুণ। ল.সা.গু এবং গ.সা.গুর সমষ্টি ৪৬২। যদি একটি সংখ্যা ১৪৩ হয়, তবে অপর সংখ্যাটি কত?

সমাধান: 
ধরি 
গ.সা.গু = ক 
ল.সা.গু = ১৩ক 

প্রশ্নমতে 
১৩ক + ক = ৪৬২
বা, ১৪ক = ৪৬২
বা, ক = ৪৬২/১৪
∴ ক = ৩৩

∴ গ.সা.গু = ৩৩ 
ল.সা.গু = ১৩ × ৩৩ = ৪২৯

আমরা জানি,
অপর সংখ্যা = (ল.সা.গু × গ.সা.গু)/একটি সংখ্যা
∴ অপর সংখ্যাটি = (৩৩ × ৪২৯)/১৪৩ = ৯৯

প্রশ্ন: কোনো একটি জিনিস নির্মাতা ২০% লাভে ও খুচরা বিক্রেতা ২০% লাভে বিক্রয় করে। যদি ঐ জিনিসের নির্মাণ খরচ ১০০ টাকা হয় তবে খুচরা মূল্য কত?

সমাধান:
২০% লাভে,
নির্মাতার লাভ = ১০০ × ২০% = ২০ টাকা

এখন খুচরা বিক্রেয়তার ক্রয়মুল্য = ১০০ + ২০ = ১২০ টাকা

আবার,
খুচরা বিক্রয়তার লাভ ২০% = ১২০ × ২০% = ২৪ টাকা
∴ জিনিসটির খুচরা মুল্য = ১০০ + ২০ + ২৪ = ১৪৪ টাকা

প্রশ্ন: x² + 1/x² এর নিমোক্ত কোন মানের জন্য (x⁶ - 1)/x³ = 0 হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
(x⁶ - 1)/x³ = 0
বা, x⁶/x³ - 1/x³ = 0
বা, x³ - 1/x³ = 0
বা, (x - 1/x)³ + 3.x.(1/x)(x - 1/x) = 0
বা, (x - 1/x) {(x - 1/x)² + 3} = 0

∴ x - 1/x = 0 এবং (x - 1/x)² + 3 ≠ 0
বা, (x - 1/x)² = 0
বা, x² + 1/x² - 2 . x . 1/x = 0
∴ x² + 1/x² = 2

∴ x² + 1/x² = 2 এর মানের জন্য (x⁶ - 1)/x³ = 0 হবে।

প্রশ্ন: একজন কলা ব্যবসায়ী ১০ টাকায় ৪টি এবং ১৫ টাকায় ৬টি করে কলা কিনে প্রতিটি ৩ টাকা দরে বিক্রয় করায় তার ৫ টাকা লাভ হলো। তাহলে তার শতকরা লাভ কত?

সমাধান:
৪ টি কলার ক্রয়মূল্য ১০ টাকা
৬ টি কলার ক্রয়মূল্য ১৫ টাকা
১০ টি কলার ক্রয়মূল্য ২৫ টাকা
∴ ১ টি কলার ক্রয়মূল্য = ২৫/১০ টাকা = ২.৫ টাকা

আবার,
১টি কলার বিক্রয়মূল্য ৩ টাকা

∴ লাভ = (৩ - ২.৫) টাকা = ০.৫০ টাকা

২.৫ টাকায় লাভ হয় ০.৫০ টাকা
∴ ১ টাকায় লাভ হয় ০.৫০/২.৫ টাকা
∴ ১০০ টাকায় লাভ হয় (০.৫০ × ১০০)/২.৫ টাকা
= ২০ টাকা

∴ শতকরা লাভের হার ২০%

প্রশ্ন: 6x² - 15x - 1 = 0 হলে, (1/5)(2x - 1/3x) = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
6x² - 15x - 1 = 0
বা, 6x² - 1 = 15x
বা, 3x (2x - 1/3x) = 15x
বা, 2x - 1/3x = 5

∴ 1/5(2x - 1/3x) = (1/5) . 5 = 1

প্রশ্ন: তমার ভাইয়ের বয়স তমা ও তার মায়ের বয়সের মধ্যসমানুপাতী। তমার বয়স ১২ বছর এবং তার মায়ের বয়স ৪৮ বছর হলে ভাইয়ের বয়স কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
তমার বয়স, a = ১২ বছর
মায়ের বয়স, c = ৪৮ বছর
ধরি,
ভাইয়ের বয়স = b

আমরা জানি,
a, b ও c ক্রমিক সমানুপাতী হলে,
b² = ac
বা, b² = ১২ × ৪৮
বা, b² = ৫৭৬
বা, b = √৫৭৬
∴ b = ২৪ 

∴ ভাইয়ের বয়স = ২৪ বছর।

প্রশ্ন: (x/3) + {4/(x + 1)} = 2 হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
(x/3) + {4/(x + 1)} = 2
⇒ {x(x + 1) + 12}/3(x + 1) = 2
⇒ x² + x + 12 = 6x + 6
⇒ x² + x + 12 - 6x - 6 = 0
⇒ x² - 5x + 6 = 0
⇒ x² - 2x - 3x + 6 = 0
⇒ x(x - 2) - 3 (x - 2) = 0
⇒ (x - 2) (x - 3) = 0

∴ x = 2 অথবা, x = 3

প্রশ্ন: অসমতাটির সমাধান কত?  

সমাধান: 

⇒ ।2x - 5। < 3
⇒ - 3 < 2x - 5 < 3 
⇒ - 3 + 5 < 2x - 5 + 5 < 3 + 5
⇒ 2 < 2x < 8
⇒ 2/2 < 2x/2 < 8/2
∴ 1 < x < 4

প্রশ্ন: x² + mx + 6 = 0 এর মূল দুইটি সমান হলে এবং m > 0 হয়, তবে m এর মান কত?

সমাধান:
প্রদত্ত সমীকরণ, x² + mx + 6 = 0
যেহেতু দুইটি মূল সমান তাই নিশ্চায়ক শূণ্য হবে।
∴ b² - 4ac = 0
⇒ m² - 4 . 1 . 6 = 0
⇒ m² - 24 = 0
⇒ m² = 24
∴ m = 2√6

প্রশ্ন: log_ax = 1, log_ay = 2, log_az = 3 হলে log_a(x³y²/z) = ?

সমাধান:
log_a(x³y²/z)
= log_a(x³y²) - log_az  [ log_aMN = log_aM - log_aN]
= log_ax³ + log_ay² - log_aZ
= 3log_ax + 2log_ay - log_aZ
= (3 × 1) + (2 × 2) - 3
= 4

প্রশ্ন: দুই অঙ্কবিশিষ্ট একটি সংখ্যাকে অঙ্কদ্বয়ের গুণফল দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল হয় ৩ এবং সংখ্যাটির সাথে ১৮ যোগ করলে অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করে। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
একক স্থানীয় অঙ্ক ক এবং দশক স্থানীয় অঙ্ক খ

∴ সংখ্যাটি = ( ১০খ + ক)
প্রথম শর্তমতে,
(১০খ + ক) /কখ = ৩ ................ (১)

দ্বিতীয় শর্তমতে,
১০খ + ক + ১৮ = ১০ক + খ
বা, ৯ক = ৯খ + ১৮
ক = খ + ২ .................. (২)

ক এর মান (১) নং সমীকরনে বসিয়ে পাই,
(১০খ + খ + ২)/{খ(খ + ২)} = ৩
বা, ১১খ + ২/খ^২ + ২খ = ৩
বা, ৩খ^২ + ৬খ = ১১খ + ২
বা, ৩খ^২ - ৫খ - ২ = ০
বা, ৩খ^২ - ৬খ + খ - ২ = ০
বা, ৩খ(খ - ২) + ১ (খ - ২) = ০
বা, (খ - ২) (৩খ + ১) = ০
হয়, খ - ২ = ০ 
খ = ২,

অথবা, 
৩খ + ১ = ০
বা, খ = - ১/৩  [ - ১/৩ গ্রহণযোগ্য নয় ]

খ = ২ হলে,
ক = ২ + ২ = ৪

নির্ণয়ে সংখ্যাটি = (১০ × ২) + ৪ = ২৪

প্রশ্ন: যদি log_a2 = a এবং log_a5 = b হয় তবে log_a50 = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
log_a2 = a এবং log_a5 = b

প্রদত্তরাশি = log_a50
= log_a(2 × 5²)
= log_a2 + log_a5²
= log_a2 + 2log_a5
= a + 2b

প্রশ্ন: x ≤ (x/4) + 3 অসমতাটির সমাধান সেট কোনটি?

সমাধান:
প্রদত্ত অসমতা,
x ≤ (x/4) + 3
বা, 4x ≤ x + 12
বা,  3x ≤ 12
∴ x ≤ 4

∴ নির্ণেয় সমাধান সেট, S = {x ∈ R : x ≤ 4}

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার তৃতীয় পদটি 20 এবং সপ্তম পদটি 320 হলে প্রথম পদ কত?

সমাধান:
ধরি,
প্রথম পদ a ও সাধারণ অনুপাত q হলে
তৃতীয় পদ, aq^{3 - 1} = aq² = 20 ................ (1) 

সপ্তম পদ, aq^{7 - 1} = aq⁶ = 320 .............. (2)
(2) ÷ (1)
aq⁶/aq² = 320/20
⇒ q⁴ = 16
⇒ q⁴ = 2⁴
∴ q = 2

(1) নং হতে পাই,
a(2)² = 20
⇒ 4a = 20
∴ a = 5
∴ ধারাটির প্রথম পদ 5

প্রশ্ন: x² + x - (a + 1)(a + 2) কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ নিচের কোনটি?

সমাধান:
x² + x - (a + 1)(a + 2)
= x² + x - p(p + 1)   [a + 1 = p ধরে]
= x² + x - p² - p
= x² - p² + x - p
= (x + p)(x - p) + 1(x - p)
= (x - p)(x + p + 1)
= (x - a - 1) (x + a + 1 + 1)
= (x - a - 1)(x + a + 2)

প্রশ্ন: এক দোকানদার ১০৫ টাকা কেজি দামের কিছু চিনির সঙ্গে ১০০ টাকা কেজি দামের দ্বিগুণ পরিমাণ চিনি মিশ্রিত করে তা ১২০ টাকা কেজি দামে বিক্রি করে মোট ২২০০ টাকা লাভ করল। দোকানদার দ্বিতীয় প্রকারে কত কেজি চিনি ক্রয় করেছিল?

সমাধান:
ধরি,
১০৫ টাকা দামের চিনির ক কেজি = ১০৫ক টাকা
∴ ১০০ টাকা দামের চিনির ২ক কেজি = ১০০ × ২ক = ২০০ক টাকা

প্রশ্নমতে,
১২০×(ক + ২ক) - (১০৫ক + ২০০ক) = ২২০০
বা, ৩৬০ক - ৩০৫ক = ২২০০
বা, ৫৫ক = ২২০০
বা, ক = ২২০০/৫৫
∴ ক = ৪০

∴ ২য় প্রকারের চিনি ক্রয় করেছে = (২ × ৪০) = ৮০ কেজি

প্রশ্ন: কোনো একটি নির্দিষ্ট পরিমাণ অর্থের উপর বার্ষিক ৮% চক্রবৃদ্ধি হারে ২ বছরে কামাল ১৪১৪.৪০ টাকা মুনাফা অর্জন করে। ২ বছর শেষে কামাল মুনাফা-আসলে কত টাকা পেয়েছিল?

সমাধান:
এখানে,
সুদের হার, r = ৮% = ৮/১০০ = ২/২৫
সময়, n = ২ বছর
সুদ = ১৪১৪.৪০ টাকা

প্রশ্নমতে,
P (১ + r)ⁿ - P = ১৪১৪.৪০
⇒ P (১ + ২/২৫)^২ - P = ১৪১৪.৪০
⇒ P (২৭/২৫)^২ - P = ১৪১৪.৪০
⇒ P (৭২৯/৬২৫) - P = ১৪১৪.৪০
⇒ P (৭২৯/৬২৫ - ১) = ১৪১৪.৪০
⇒ P (১০৪/৬২৫) = ১৪১৪.৪০
⇒ P = (১৪১৪.৪০ × ৬২৫)/১০৪
∴ P = ৮৫০০

∴ মোট সুদ-আসল = (৮৫০০ + ১৪১৪.৪০) = ৯৯১৪.৪০ টাকা

প্রশ্ন: কোন আসল ৩ বছরে সুদে-আসলে ৪৬০ টাকা এবং ৪ বছরে সুদে-আসলে ৪৮০ টাকা হয়। শতকরা সুদের হার কত?

সমাধান:
৪ বছরের সুদ আসল ৪৮০ টাকা
৩ বছরে সুদ আসল ৪৬০ টাকা
∴ ১ বছরের সুদ = ২০ টাকা
∴ ৩ বছরের সুদ = ৬০ টাকা

সময়, n = ৩ বছর
∴ আসল, P = ৪৬০ - ৬০ = ৪০০ টাকা

আমরা জানি,
I = Pnr
বা, r = I/Pr
বা, r = (৬০ × ১০০)/(৪০০ × ৩)
∴ r = ৫%

প্রশ্ন: যদি 3^{x + 2} = 27 হলে, 3^{x - 1} এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
3^{x + 2} = 27 
⇒ 3^{x + 2} = 3³
⇒ x + 2 = 3
∴ x = 1

এখন, 3^{x - 1}
= 3^{1 - 1}
= 3⁰
= 1

প্রশ্ন: PQRS সামান্তরিকের PQ = 24 সে.মি. এবং ‍S বিন্দু থেকে PQ এর লম্ব দূরত্ব 6 সে.মি. হলে ক্ষেত্রফল কত বর্গসে.মি. ?

সমাধান:

PQRS সামান্তরিকের ভূমি = 24 সে.মি.
S বিন্দু থেকে PQ এর লম্ব দূরত্ব = 6 সে.মি.

আমরা জানি,
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = (ভূমি × উচ্চতা)
= (24 × 6) বর্গসে.মি.
= 144 বর্গসে.মি.

∴ সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = 144 বর্গসে.মি.

প্রশ্ন: একটি আয়তকার বাগানের দৈর্ঘ্য ৩২ মিটার এবং প্রস্থ ২৪ মিটার। এর ভিতরে চারিদিকে ২.৫ মিটার চওড়া একটি রাস্তা আছে। রাস্তাটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
আয়তাকার বাগানের ক্ষেত্রফল = (৩২ × ২৪) বর্গমিটার = ৭৬৮ বর্গমিটার
রাস্তা বাদে আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য = {৩২ - (২.৫ × ২)} মিটার =২৭ মিটার
রাস্তা বাদে আয়তাকার বাগানের প্রস্থ = {২৪ - (২.৫ × ২)} মিটার = ১৯ মিটার
রাস্তা বাদে আয়তাকার বাগানের ক্ষেত্রফল = (২৭ × ১৯) বর্গমিটার = ৫১৩ বর্গমিটার

∴ রাস্তাটির ক্ষেত্রফল = (৭৬৮ - ৫১৩) বর্গমিটার
= ২৫৫ বর্গমিটার

প্রশ্ন: ABCD রম্বসের ∠A = 60° হলে, ∠D = কত?

সমাধান:

আমরা জানি,
রম্বসের সন্নিহিত কোণের সমষ্টি = 180°

∴ ∠A + ∠D = 180°
বা, 60° + ∠D = 180°
∴ ∠D = 120°

প্রশ্ন: একটি সুষম ষড়ভুজের কেন্দ্র থেকে কৌণিক বিন্দুর দূরত্ব 2 মিটার হলে, এর ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:

মনে করি,
ABCDEF একটি সুষম ষড়ভুজ। এর কেন্দ্র O থেকে শীর্ষবিন্দুগুলো যোগ করা হলো। ফলে 6টি সমান ক্ষেত্রটিবিশিষ্ট ত্রিভুজ উৎপন্ন হয়।
∴ ∠COD = 360°/6 = 60°

মনে করি,
কেন্দ্র O থেকে শীর্ষবিন্দুগুলোর দূরত্ব a মিটার।

∴ ত্রিভুজ ক্ষেত্র COD এর ক্ষেত্রফল = (1/2).a.a sin 60°
= (1/2) a².(√3/2)
= (√3/4)a²
= (√3/4) × 2²
= √3 বর্গমি.
∴ সুষম ষড়ভুজক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = 6 × √3
= 6√3 বর্গ মিটার

প্রশ্ন: একটি সরলরেখার উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফল ঐ সরলরেখার এক পঞ্চমাংশের উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফলের কতগুণ?

সমাধান: 
ধরি,
সরলরেখাটির দৈর্ঘ্য = x
সরলরেখার উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফল = x²
সরলরেখার এক পঞ্চমাংশের উপর অঙ্কিত বর্গ = (x/5)² = x²/25

∴ একটি সরল রেখার উপর অঙ্কিত বর্গ ঐ সরলরেখার এক পঞ্চমাংশের উপর অঙ্কিত বর্গের 25 গুণ।

প্রশ্ন: আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতার সমষ্টি 22 সে.মি এবং এর কর্ণের দৈর্ঘ্য 6√6 সে.মি. হলে এর সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল কত?  

সমাধান: 
আয়তাকার ঘনবস্তুটির দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা যথাক্রমে a, b ও c সে.মি.।

শর্তমতে
a + b + c = 22 এবং
√(a²+ b² + c²) = 6√6
a² + b² + c² = 216

এখন,
(a + b + c)² = (22)²
বা, (a² + b² + c²) + 2(ab + bc + ca) = 484
বা, 216 + 2(ab + bc + ca) = 484
বা, 2(ab + bc + ca) = 484 - 216
∴ 2(ab + bc + ca) = 268

সুতরাং, আয়তাকার ঘনবস্তুর সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল 268 বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন: ABC ত্রিভুজের AB = AC = 5 সে.মি.। যদি ∠A এর সমদ্বিখন্ডক BC বাহুকে E বিন্দুতে ছেদ করে এবং AE = 3 সে.মি. হয় তবে BC = কত?

সমাধান:

ABC ত্রিভুজের AB = AC = 5 সে.মি.
∴ ত্রিভুজটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।

আমরা জানি,
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের শীর্ষকোণের সমদ্বিখন্ডক ভূমিকেও সমদ্বিখন্ডিত করে এবং ভূমির উপর লম্ব হয়।
∴ BE = CE এবং AE ⊥ BC
ΔAEB হতে পাই,
AB² = AE² + BE²
বা, BE² = AB² - AE²
বা, BE² = 5² - 3²
বা, BE = √16
∴ BE = 4

অতএব BC = 2BE = 2 × 4 = 8 সে.মি.

প্রশ্ন: ^{4 - n}P₂ = 6 হলে n এর মান কত? 

সমাধান: 
^{4 - n}P₂ = 6
(4 - n)!/(4 - n - 2)! = 6
(4 - n)!/(2 - n)! = 6
(4 - n)(3 - n)(2 - n)!/(2 - n)! = 6
(4 - n)(3 - n) = 6
12 - 3n - 4n + n2 = 6
n² - 7n + 12 - 6 = 0
n² - 7n + 6 = 0
n² - 6n - n + 6 = 0
n(n - 6) - 1(n - 6)= 0
(n - 6)(n - 1) = 0
n = 1, 6 

প্রশ্ন: দশ জন ছাত্রের কোন বিষয়ের উপর প্রাপ্ত টিউটোরিয়াল নম্বর নিচে দেওয়া হয়। প্রচুরক কত? 
৭, ৯, ১১, ৮, ১২, ১৪, ১২, ১৩, ১২, ১০

তথ্যমানসমূহকে সাজালে নিম্নরূপ হয়-
৭, ৮, ৯, ১০, ১১, ১২, ১২, ১২, ১৩, ১৪
এখানে দেখা যাচ্ছে যে, ১২ নম্বরটি বেশি বার প্রতীয়মান হচ্ছে।
অতএব, প্রচুরক হচ্ছে ১২

প্রশ্ন: একটি প্রতিষ্ঠানের পরিচালকমন্ডলিতে 8 জন পুরুষ ও 6 জন মহিলা আছেন। ঐ পরিচালক মন্ডলির সদস্যের মধ্য থেকে 5 জন পুরুষ ও 3 জন মহিলা সমন্বয়ে কত রকমে একটি সাব-কমিটি গঠন করা যাবে? 

সমাধান:
8 জন পুরুষ থেকে 5 জন বাছাই করার উপায় = ⁸C₅
6 জন মহিলা থেকে 3 জন মহিলা বাছাই করার উপায় = ⁶C₃

সাব কমিটির মোট সংখ্যা = ⁸C₅ × ⁶C₃ 
= 56 × 20
= 1120

প্রশ্ন: 9, 12, 8, 16, 15, 7, 2, 18, 3, 19 এর মধ্যক কত? 

সমাধান: 
2, 3, 7, 8, 9, 12, 15, 16, 18, 19

এখানে 
n = 10
মধ্যক = [10/2 তম পদ ও  {(10/2) + 1} তম পদের সমষ্টি]/2
= {5 তম পদ ও 6 তম পদের সমষ্টি}/2
=(9 + 12)/2
= 21/2
= 10.5

প্রশ্ন: 3 জন বালক এবং 4 জন বালিকাকে এক সারিতে রেখে কতভাবে সাজানো যাবে যেখানে 3 জন বালক সর্বদা একত্রে থাকবে? 

সমাধান: 
3 জন বালক একত্রে থাকলে মোট সংখ্যা = 5 জন 
5 জন কে সাজানো যায় = 5!
3 জন বালককে সাজানো যায় = 3!

একত্রে রেখে বিন্যাস = 5! × 3! = 120  ×  6 = 720

সম্ভাবনার মান 0 থেকে 1 এর মধ্যে থাকে ।
কোনো পরীক্ষণের S নমুনা ক্ষেত্রের অধীনে E একটি ঘটনা হলে 0 ≤P(E) ≤ 1 

প্রশ্ন: 15 এবং 30 এর হারমোনিক গড় কত হবে?

সমাধান:
আমরা জানি, 
হারমোনিক গড় = 

∴ 15 এবং 30 এর হারমোনিক গড় = 2/(1/15 + 1/30) 
= 2/(3/30)
= 2 × (30/3)
= 20

প্রশ্ন: একটি পাত্রের মধ্যে লাল, হলুদ ও সবুজ বলের অনুপাত ২ : ৩ : ৪ । দৈবভাবে পাত্র থেকে একটি বল বাছাই করলে তা হলুদ বল হওয়ার সম্ভাব্যতা কত? 

সমাধান: 
লাল, হলুদ ও সবুজ বলের অনুপাত ২ : ৩ : ৪
লাল বল আছে = ২ক টি 
হলুদ বল আছে = ৩ক টি 
সবুজ বল আছে = ৪ক টি

মোট বল = (২ক + ৩ক + ৪ক) = ৯ক টি 

হলুদ বল হওয়ার সম্ভাবনা = ৩ক/৯ক = ১/৩