ডেইলি কুইজ [১৪০ দিনের রুটিনের অংশ]

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত ২ : ৫ : ৮ হলে ত্রিভুজের বৃহত্তম কোণের পরিমাণ কত ডিগ্রি?

সমাধান:
ধরি,
ত্রিভুজের তিনটি কোণের পরিমাণ ২ক, ৫ক এবং ৮ক

প্রশ্নমতে,
২ক + ৫ক + ৮ক = ১৮০
বা, ১৫ক = ১৮০
বা, ক = ১৮০/১৫
বা, ক = ১২

সুতরাং, ত্রিভুজটির বৃহত্তম কোণের পরিমাণ = (৮ × ১২) ডিগ্রি = ৯৬ ডিগ্রি

প্রশ্নটি লজিক্যাল ইরর থাকায় বাতিল করা হলো।

-----------------------------------------------------------------
প্রশ্ন: একটি আয়তাকার বাগানের ক্ষেত্রফল ৯৬ বর্গমিটার এবং কর্ণের দৈর্ঘ্য ৮ মিটার হলে বাগানের পরিসীমা কত?

সমাধান:
ধরি,
বাগানের দৈর্ঘ্য = ক মিটার 
প্রস্থ = খ মিটার 

দেওয়া আছে,
ক্ষেত্রফল = ৯৬ বর্গমিটার = ক × খ
আমরা জানি, আয়তাকার বাগানের কর্ণ = √(ক^২ + খ^২)

প্রশ্নমতে,
√(ক^২ + খ^২) = ৮
বা, ক^২ + খ^২ = ৬৪
বা, (ক + খ)^২ - ২কখ = ৬৪
বা, (ক + খ)^২ - (২ × ৯৬) = ৬৪
বা, (ক + খ)^২ - ১৯২ = ৬৪
বা, (ক + খ)^২ = ৬৪ + ১৯২
বা, (ক + খ)^২ = ২৫৬
বা, ক + খ = ১৬ [ বর্গমূল করে]

∴ বাগানের পরিসীমা = ২(ক + খ) = (২ × ১৬) মিটার = ৩২ মিটার

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের একটি বাহু 12 মিটার। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমবাহু ত্রিভুজের এক বাহু, a = 12 মিটার

আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল,
= (√3/4)a² বর্গমিটার 
= (√3/4)(12)² বর্গমিটার 
= (√3/4) × 12 × 12 বর্গমিটার
= 36√3 বর্গমিটার 

প্রশ্ন: একটি কোণ তার পূরক কোণ অপেক্ষা 20° কম হলে কোণটির মান কত?

সমাধান:
মনে করি,
কোণটির মান = ক 

প্রশ্নমতে,
(90 - ক) - ক = 20°
⇒ 90° - 2ক = 20°
⇒ 2ক = 90° - 20°
⇒ 2ক = 70°
⇒ ক = 70°/2
⇒ ক = 35°

প্রশ্ন: ABC ত্রিভুজের BC বাহুকে D পর্যন্ত বর্ধিত করা হলো। ∠ACD এর মান কত?


সমাধান:
 ∠ACB + ∠ABC + ∠BAC = 180°
⇒ ∠ACB + 45° + 60° = 180°
⇒ ∠ACB + 105° = 180°
⇒  ∠ACB = 180° - 105° = 75°

 এখন,
∠BCD (সরলকোণ) = ∠ACB + ∠ACD 
⇒ ∠ACD = ∠BCD - ∠ACB = 180° - 75° = 105°

বিকল্প সমাধান:
উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ ∠ACD = অন্তঃস্থ বিপরীত কোণদ্বয়ের সমষ্টি = ∠A + ∠B = 45° + 60° = 105°

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি 8 সে.মি. এবং সমান বাহুদ্বয়ের একটির দৈর্ঘ্য 5 সে.মি.। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি বা অসমান বাহু, b = 8 সে.মি.
সমান বাহুদ্বয়ের একটির দৈর্ঘ্য, a = 5 সে.মি. 

∴ সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (b/4)√(4a² - b²)
= (8/4)√{4 × (5)² - 8²}
= 2 × √{(4 × 25) - 64}
= 2 × √(100 - 64)
= 2 × √36 
= 2 × 6 
= 12 বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন: কোনো বৃত্তের ব্যাস চারগুণ করলে ঐ বৃত্তের ক্ষেত্রফল কত বৃদ্ধি পাবে?

সমাধান:
ধরি,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r
বৃত্তের ব্যাস = 2r
∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²

আবার,
ব্যাস চারগুণ করলে বৃত্তের নতুন ব্যাস হবে = 2r × 4 = 8r
∴ বৃত্তের নতুন ব্যাসার্ধ = 8r/2 = 4r
∴ বৃত্তের নতুন ক্ষেত্রফল হবে = π(4r)² = 16πr²

∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি পাবে = 16πr² - πr² = 15πr²

প্রশ্ন: দুইটি সম্পূরক কোণের অনুপাত ৩ : ২ হলে ছোট কোণটির মান কত?

সমাধান:
ধরি,
বড় কোণ = ৩ক 
ছোট কোণ = ২ক

প্রশ্নমতে,
৩ক + ২ক = ১৮০°
বা, ৫ক = ১৮০°
বা, ক = ১৮০°/৫
বা, ক = ৩৬°

সুতরাং, ক্ষুদ্রতম কোণ = ২ × ৩৬° = ৭২° 

প্রশ্ন: একটি রম্বসের দুইটি কর্ণের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ৪০ সে.মি. ও ৫০ সে.মি.। রম্বসের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
রম্বসের একটি কর্ণ = ৪০ সে.মি.
অপর কর্ণ = ৫০ সে.মি.

আমরা জানি,
রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২) × রম্বসের কর্ণদ্বয়ের গুণফল
= (১/২) × (৪০ × ৫০)
= (১/২) × ২০০০
= ১০০০ বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য ৮ ফুট হলে, বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
ধরি,
বর্গক্ষেত্রের বাহু = ক ফুট
∴ বর্গক্ষেত্রের কর্ণ = ক√২ ফুট

প্রশ্নমতে,
ক√২ = ৮
⇒ ক = ৮/√২

∴ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (ক)^২ 
= (৮/√২)^২ 
= ৬৪/২
= ৩২ বর্গ ফুট

প্রশ্ন: O কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তের অন্তর্লিখিত ABC ত্রিভুজে ∠BOC =118° হলে ∠BCO = ?

সমাধান:

OC ও OB বৃত্তের ব্যাসার্ধ বলে OC = OB
ΔBOC একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।
 এখন,
ΔBOC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজে, ∠OBC = ∠BCO 

আবার,
ΔBOC এ,
∠OBC + ∠BOC + ∠BCO = 180°
⇒ ∠BCO + ∠BOC + ∠BCO = 180 [∠OBC = ∠BCO]
⇒ 2 BCO + BOC = 180°
⇒ 2 ∠BCO + 118° = 180°
⇒ 2 ∠BCO = 180° - 118° = 62°
⇒ ∠BCO = 62°/2
⇒ ∠BCO = 31°

প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহু দুইটি যথাক্রমে 12 সে.মি. ও 9 সে.মি. এবং লম্ব দূরত্ব 4 সে.মি.। ট্রাপিজিয়ামটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল দুই বাহু 12 সে.মি. ও 9 সে.মি.
লম্ব দূরত্ব = 4 সে.মি.

আমরা জানি,
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = (1/2) × সমান্তরাল বাহু দুইটির সমষ্টি × উচ্চতা
= (1/2) × (12 + 9) × 4 বর্গ সে.মি. 
= (1/2) × 21 × 4 বর্গ সে.মি. 
= 42 বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন: ১৮° কোণের বিপ্রতীপ কোণের মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
বিপ্রতীপ কোণদ্বয় পরস্পর সমান হয়।

তাই ১৮° কোণের বিপ্রতীপ কোণের মানও হবে ১৮° অর্থাৎ সমান। 

প্রশ্ন: একটি সামান্তরিকের ভূমি উচ্চতার ৩/৪ অংশ এবং ক্ষেত্রফল ৪৩২ বর্গফুট হলে সামান্তরিকটির উচ্চতা কত?

সমাধান:
ধরি,
সামান্তরিকের উচ্চতা = ৪ক ফুট 
ভূমি = ৪ক × (৩/৪) = ৩ক ফুট 

সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = ৪ক × ৩ক = ১২ক^২

প্রশ্নমতে,
১২ক^২ = ৪৩২
বা, ক^২ = ৪৩২/১২
বা, ক^২ = ৩৬
বা, ক = ৬

সুতরাং,
সামান্তরিকের উচ্চতা = (৪ × ৬) ফুট = ২৪ ফুট 

প্রশ্ন: সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ ১০ সে.মি. এবং ভূমি ৬ সে.মি. হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ = ১০ সে.মি.
এবং ভূমি = ৬ সে.মি.

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে,
(ভূমি)^২ + (লম্ব)^২ = (অতিভুজ)^২
⇒ (লম্ব)^২ = (অতিভুজ)^২ - (ভূমি)^২
⇒ (লম্ব)^২ = (১০)^২ - (৬)^২
⇒ (লম্ব)^২ = ১০০ - ৩৬
⇒ (লম্ব)^২ = ৬৪
⇒ লম্ব = ৮ 

∴ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = (১/২) × লম্ব × ভূমি = (১/২) × ৮ × ৬ = ২৪ বর্গ সে.মি.