Math Master

প্রশ্ন: 3 × ⁿP₄ = ⁿP₅ হলে n এর মান কত?

সমাধান: 
3 × ⁿP₄ = ⁿP₅
⇒ 3 × n!/(n - 4)! = n!/(n - 5)!
⇒ 3 × n!/(n - 4) × (n - 5)! = n!/(n - 5)!
⇒ 3/(n - 4)  = 1
⇒ n - 4 = 3
∴ n = 7

প্রশ্ন: তুহিনের 5 জন বন্ধু আছে। সে এক বা একাধিক বন্ধুকে কত উপায়ে প্রীতিভোজে নিমন্ত্রণ করতে পারে?

সমাধান: 
1 জনকে নিমন্ত্রণ করতে চাইলে তিনি ⁵C₁ উপায়ে করতে পারেন। 
2 জনকে নিমন্ত্রণ করতে চাইলে তিনি ⁵C₂ উপায়ে করতে পারেন। 
3 জনকে নিমন্ত্রণ করতে চাইলে তিনি ⁵C₃ উপায়ে করতে পারেন। 
4 জনকে নিমন্ত্রণ করতে চাইলে তিনি ⁵C₄ উপায়ে করতে পারেন। 
5 জনকে নিমন্ত্রণ করতে চাইলে তিনি ⁵C₅ উপায়ে করতে পারেন। 
 
∴ মোট উপায় সংখ্যা = ⁵C₁ + ⁵C₂+  ⁵C₃ + ⁵C₄ + ⁵C₅
= 5 + 10 + 10 + 5 + 1 
= 31

প্রশ্ন: যদি ⁵P_r = 60 এবং ⁵C_r = 10 হয় তাহলে r এর মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
ⁿP_r = n!/(n - r)!
এবং
ⁿC_r = n!/(n - r)!r!
ⁿC_r = {n!/(n - r)!} × (1/r!)
⇒ ⁿC_r = ⁿP_r × (1/r!)
⇒ ⁵C_r = ⁵P_r × (1/r!)
⇒ ⁵P_r = ⁵C_r × r!
⇒ 60 = 10 × r!
⇒ r! = 6
⇒ r! = 3!
∴ r = 3

প্রশ্ন: 'COPPER' শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা 'DEGREE' শব্দটির বিন্যাস সংখ্যার কত গুণ?

সমাধান:
COPPER শব্দে 6টি বর্ণ আছে।
যার মধ্যে 1টি C, 2টি P, 1টি O, 1টি E এবং 1টি R আছে।

 শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা = 6!/2!
= 720/2
= 360 উপায়ে৷


DEGREE শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে 6টি যার মধ্যে, E আছে 3 টি।
∴ DEGREE শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা = 6!/3! = 720/6 = 120

∴ 'COPPER' শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা 'DEGREE' শব্দটির বিন্যাস সংখ্যার 360/120 = 3 গুণ।

প্রশ্ন: 7 জনের একটি গোল টেবিল বৈঠকে সদস্যগণ কতভাবে বসতে পারে?

সমাধান:
আমরা জানি,
n সংখ্যক ব্যক্তিকে নিয়ে বৈঠক করা যায় = (n - 1)!

∴ 7 জনকে নিয়ে বৈঠক করা যায় = (7 - 1)!
= 6!
= 720

প্রশ্ন: 20 টি বিন্দু ‍দিয়ে কতগুলো চতুর্ভূজ গঠন করা যায়?

সমাধান:
চারটি বিন্দু দিয়ে গঠিত হয় চতুর্ভূজ।

∴ 20 টি বিন্দু ‍দিয়ে চতুর্ভূজ গঠন করা যায় = ²⁰C₄
= 4845

প্রশ্ন: 4টি পোস্ট বাক্সে 6টি চিঠি কতভাবে ফেলা যায়?

সমাধান:
পোস্ট বাক্সের সংখ্যা n = 4টি 
চিঠির সংখ্যা r = 6টি

চিঠি ফেলা যায় = (পোস্ট বক্স)^চিঠি
= n^r 
= 4⁶ 

প্রশ্ন: ৭ জন পুরুষ ও ৬ জন মহিলার একটি দল হতে ৫ সদস্যের একটি কমিটি কতভাবে নির্বাচিত করা যায় যাতে সবসময় কমিটিতে অন্তত ৩ জন মহিলা থাকবে?

সমাধান:
যেহেতু ৫ সদস্যের একটি কমিটিতে সবসময় অন্তত ৩ জন মহিলা থাকবে, সেহেতু নিম্নোক্তভাবে কমিটি গঠন করা সম্ভব।

   মহিলা (6)   -  পুরুষ (7)
1)   3             -      2
2)   4             -      1
3)   5             -      0

∴ কমিটি গঠন করা যাবে = (⁶C₃ × ⁷C₂) + (⁶C₄ × ⁷C₁) + (⁶C₅ × ⁷C₀)
= (20 × 21) + (15 × 7) + (6 × 1)
= 531

প্রশ্ন: ⁶C₄ + ⁶C₃ + ⁷C₃ = কত?

সমাধান:
⁶C₄ + ⁶C₃ + ⁷C₃
= ⁷C₄ + ⁷C₃  [ⁿC_r + ⁿC_{r - 1} = ^{n + 1}C_r
= ⁸C₄
= 70

প্রশ্ন: ৩ জন বাংলাদেশী এবং ৩ জন ভারতীয় কূটনীতিবিদ তিস্তা পানি চুক্তি নিয়ে গোলটেবিল বৈঠকে মিলিত হলে তারা কত উপায়ে বসতে পারেন যেন দুই দেশের কূটনীতিবিদ পাশাপাশি না বসেন?

সমাধান: 
একজন বাংলাদেশীকে স্থির রেখে বাকী দুজনকে বিন্যাস করা যায় = 2!
তিনজন ভারতীয়কে বিন্যাস করা যায় = 3!


∴ মোট বিন্যাস সংখ্যা = 2! × 3!
= 2 × 3 × 2
= 12

প্রশ্ন: 6 টি উপন্যাসের মধ্যে দুটি বিশেষ উপন্যাস একত্রে নিয়ে কত প্রকারে সাজানো যায়?

সমাধান:
2 টি বিশেষ উপন্যাস একত্রে রেখে অর্থাৎ দুটি উপন্যাসকে একটি মনে করলে মোট উপন্যাস সংখ্যা হয় 5 টি।

5 টি উপন্যাসকে নিজেদের মধ্যে সাজানোর উপায় = 5! = 120
2 টি বিশেষ উপন্যাসকে নিজেদের মধ্যে সাজানোর উপায় = 2! = 2

∴ মোট বিন্যাস সংখ্যা = 120 × 2 = 240

প্রশ্ন: চাকুরির নিয়োগ পরীক্ষায় 2টি খালি পদের জন্য 11 জন প্রার্থী আছেন। খালি পদের সংখ্যা বেশি নয় এরুপ যে কোনো সংখ্যক প্রার্থীকে নির্বাচিত করা যেতে পারে। কত প্রকারে প্রার্থী নির্বাচন করা যায়?

সমাধান:
2টি খালি পদের জন্য প্রার্থী সংখ্যা 11 জন
1 জনকে নির্বাচনের উপায় = ¹¹C₁ = 11
2 জনকে নির্বাচনের উপায় = ¹¹C₂ = 55

∴ নির্বাচনের মোট উপায় = 11 + 55
= 66

প্রশ্ন: যদি ⁸P_r = 336 হয় তবে r = কত?

সমাধান:
⁸P_r = 336
বা, 8!/(8 - r)! = 6 × 7 × 8
বা, (8 - r)! × 6 × 7 × 8 = 8!
বা, (8 - r)! × 6 × 7 × 8 = 8 × 7 × 6 × 5!
বা, (8 - r)! = 8 × 7 × 6 × 5!/6 × 7 × 8
বা, (8 - r)! = 5!
বা, 8 - r = 5
বা, r = 8 - 5
∴ r = 3

প্রশ্ন: একটি থলেতে 2টি সাদা বল, 3টি সবুজ বল এবং 4টি লাল বল আছে। থলেটি থেকে 3টি বল কত উপায়ে নেয়া যাবে, যদি অন্তত একটি সবুজ বল থাকে?

সমাধান:
সাদা বল = 2টি
সবুজ বল = 3টি 
লাল বল =  4টি 

3টি সবুজ বল থেকে 1টি এবং 6 টি ভিন্ন বল থেকে 2টি  নিয়ে উপায় = ³C₁ × ⁶C₂
3টি সবুজ বল থেকে 2টি এবং 6 টি ভিন্ন বল থেকে 1টি  নিয়ে উপায় = ³C₂ × ⁶C₁
3টি সবুজ বল থেকে 3টি  = ³C₃

মোট উপায়  = (³C₁ × ⁶C₂) + (³C₂ × ⁶C₁) + (³C₃) 
= (45 + 18 + 1)
= 64