৪০ দিনে ৪৭তম বিসিএস প্রস্তুতি - Archived

• ASEAN:
- এর পূর্ণরূপ: Association of Southeast Asian Nations.
- এটি দক্ষিণ-পূর্ব এশিয়া অঞ্চলের দেশগুলোর একটি জোট।
- প্রতিষ্ঠাকাল: ৮ আগস্ট, ১৯৬৭ সালে।
- প্রতিষ্ঠাকাল সদস্য দেশ: পাঁচটি সদস্য দেশ যথা, থাইল্যান্ড, মালয়েশিয়া, ইন্দোনেশিয়া, সিঙ্গাপুর এবং ফিলিপাইন।
- সদরদপ্তর: জাকার্তা, ইন্দোনেশিয়া।
- বর্তমান সদস্য দেশ ১০টি।
- অন্য সদস্য দেশগুলো: ব্রুনাই, ভিয়েতনাম, লাওস, মিয়ানমার ও কম্বোডিয়া।
- বর্তমান সভাপতি দেশ: ইন্দোনেশিয়া (জাকার্তা)।

উৎস: ASEAN ওয়েবসাইট।

প্রশ্ন: যদি x - y = 4 এবং xy = 5 হয়, তবে x² + y² = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x - y = 4
(x - y)² = 4²
(x - y)² = 16
এবং xy = 5

আমরা জানি,
x² + y² = (x - y)² + 2xy
= 16 + (2 × 5)
= 26

প্রশ্ন: 36m² + 64n² রাশিটির সাথে কোনটি যোগ করলে এটি একটি পূর্ণবর্গ রাশি হবে?

সমাধান:
36m² + 64n²
⇒ (6m)² + 2 . 6m . 8n + (8n)2 
⇒ 36m² + 96mn + 64n²

∴ 36m² + 64n² রাশিটি সাথে 96mn যোগ করলে রাশিটি পূর্ণবর্গ হবে।

প্রশ্ন: a⁴ - 51a² + 1 = 0 হলে, a - 1/a এর মান কত?

সমাধান:
a⁴ - 51a² + 1 = 0
⇒ a⁴ + 1 = 51a²
⇒ (a⁴ + 1)/a² = 51
⇒ a² + (1/a²)= 51
⇒ (a - 1/a)² + 2 . a . 1/a = 51
⇒ (a - 1/a)² = 49
∴ (a - 1/a) = 7

প্রশ্ন: |3x + 2| < 7 অসমতাটির সমাধান কী?

সমাধান:
|3x + 2| < 7
⇒ - 7 < 3x + 2 < 7  [পরম মান এর নিয়মানুযায়ী]
⇒ - 7 - 2 < 3x + 2 - 2 < 7 - 2  [উভয়পাশে 2 বিয়োগ করে]
⇒ - 9 < 3x < 5
⇒ (- 9/3) < (3x / 3) < (5/3)  [উভয়পাশে 3 দ্বারা ভাগ করে]
⇒ - 3 < x < (5/3) 

প্রশ্ন: কোনটি x² - 13x - 48  এর একটি উৎপাদক?

সমাধান:
x² - 13x - 48
= x² - 16x + 3x - 48
= x(x - 16) + 3(x - 16)
= (x - 16)(x + 3)

প্রশ্ন: x⁴ - 6x³ + 9x² - b বহুপদটির একটি উৎপাদক যদি x - 3 হয়, তবে b এর মান কত?

সমাধান:
ধরি,
f(x) = x⁴ - 6x³ + 9x² - b

যেহেতু, (x - 3), f(x) এর একটি উৎপাদক। 
∴ x - 3 = 0 
অর্থাৎ, x = 3 হলে, f(x) এর মান শূণ্য হবে।

এখন,
f(x) = x⁴ - 6x³ + 9x² - b
∴ f(3) = (3)⁴ - 6(3)³ + 9(3)² - b
= 81 - 162 + 81 - b
= 0 - b

শর্তমতে,
f(3) = 0
⇒ 0 - b = 0
∴ b = 0

প্রশ্ন: পিতার বর্তমান বয়স পুত্রের বয়সের দ্বিগুণ অপেক্ষা ২ বছর বেশি। ৫ বছর পর পিতা এবং পুত্রের বয়সের সমষ্টি ১০২ বছর হলে পিতার বর্তমান বয়স কত বছর?

সমাধান:
ধরি,
পুত্রের বর্তমান বয়স = ক বছর
∴ পিতার বর্তমান বয়স = ২ক + ২ বছর

৫ বছর পর পুত্রের বয়স = ক + ৫ বছর
৫ বছর পর পিতার বয়স = (২ক + ২) + ৫ = ২ক + ৭ বছর

প্রশ্নমতে,
ক + ৫ + ২ক + ৭ = ১০২
⇒ ৩ক = ১০২ - ১২
⇒ ৩ক = ৯০
∴ ক = ৩০

পুত্রের বর্তমান বয়স = ৩০ বছর
∴ পিতার বর্তমান বয়স = ২ক + ২ বছর
= ২ × ৩০ + ২
= ৬২ বছর

প্রশ্ন: একটি শ্রেণিতে প্রতি বেঞ্চে ৫ জন করে ছাত্র বসলে ৪ খানা বেঞ্চ খালি থাকে। কিন্তু প্রতি বেঞ্চে ৪ জন করে বসলে ৮ জন ছাত্র দাঁড়িয়ে থাকে। শ্রেণির বেঞ্চ সংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি,
বেঞ্চ সংখ্যা = ক

প্রথম শর্ত অনুযায়ী,
প্রতি বেঞ্চে ৫ জন করে বসলে ৪টি বেঞ্চ খালি থাকে। 
তাহলে ব্যবহৃত বেঞ্চ = (ক - ৪)
∴ ছাত্র সংখ্যা = ৫(ক - ৪)

দ্বিতীয় শর্ত অনুযায়ী,
প্রতি বেঞ্চে ৪ জন করে বসলে ৮ জন ছাত্র দাঁড়িয়ে থাকে।
তাহলে বেঞ্চে বসতে পারে  = ৪ক
∴ ছাত্র সংখ্যা = ৪ক + ৮

প্রশ্নমতে,
৫(ক - ৪) = ৪ক + ৮
⇒ ৫ক - ২০ = ৪ক + ৮
⇒ ক = ২৮

∴ বেঞ্চ সংখ্যা = ২৮ টি

প্রশ্ন: 5x + 7 > 22 এর সমাধান সেট -

সমাধান:
5x + 7 > 22
⇒ 5x > 22 - 7
⇒ 5x > 15
∴ x > 3

∴ নির্ণেয় সমাধান সেট = {x ∈ R : x > 3}

প্রশ্ন: a³ - 9 + (a + 1)³ রাশিটির একটি উৎপাদক a - 1 হলে, অপর একটি উৎপাদক কী?

সমাধান:
a³ - 9 + (a + 1)³
= a³ - 9 + a³ + 3a² + 3a + 1
= 2a³ - 2a² + 5a² - 5a + 8a - 8
= 2a²(a - 1) + 5a(a - 1) + 8(a - 1)
= (a - 1)(2a² + 5a + 8)

প্রশ্ন: একটি সংখ্যার এক-চতুর্থাংশের সঙ্গে ১২ যোগ করলে সংখ্যাটির তৃতীয়াংশের সমান হয়। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে,
(ক/৪) + ১২ = ক/৩
⇒ (ক + ৪৮)/৪ =  ক/৩
⇒ ৩(ক + ৪৮) = ৪ক
⇒ ৩ক + ১৪৪ = ৪ক
⇒ ক = ১৪৪

সংখ্যাটি হলো ১৪৪

প্রশ্ন: |5x - 4| ≤ 11 অসমতাটির সমাধান নিচের কোনটি?

সমাধান:
|5x - 4| ≤ 11
⇒ - 11 ≤ 5x -  4 ≤ 11
⇒ - 11 + 4 ≤ 5x - 4 + 4 ≤ 11 + 4
⇒ - 7 ≤ 5x ≤ 15
∴ - 7/5 ≤ x ≤ 3 

প্রশ্ন: একটি লঞ্চে যাত্রী সংখ্যা ৫০ জন। মাথাপিছু কেবিনের ভাড়া ডেকের ভাড়ার দ্বিগুণ। ডেকের ভাড়া মাথাপিছু ২০ টাকা। মোট ভাড়া আদায় ১৬০০ টাকা হলে ডেকের যাত্রী সংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি,
ডেকের যাত্রী সংখ্যা = ক জন
∴ কেবিনের যাত্রী সংখ্যা = ৫০ - ক জন

ডেকের ভাড়া মাথাপিছু ২০ টাকা
∴ কেবিনের ভাড়া (২০× ২) টাকা = ৪০ টাকা

প্রশ্নমতে,
২০ক + ৪০(৫০ - ক) = ১৬০০ 
⇒ ২০ক + ২০০০ - ৪০ক = ১৬০০
⇒ - ২০ক = - ৪০০
∴ ক = ২০

∴ ডেকের যাত্রী সংখ্যা = ২০ জন

প্রশ্ন: রুমির বয়স তুলির বয়সের 1/2 অংশ। লিনা তুলির চেয়ে 3 বছরের বড়। তাদের বয়সের সমষ্টি অনূর্ধ্ব 25 বছর হলে, লিনার বয়স অসমতার মাধ্যমে প্রকাশ করুন।

সমাধান:
ধরি, তুলির বয়স x বছর
রুমির বয়স x/2 বছর
লিনার বয়স x + 3 বছর

প্রশ্নমতে,
x + (x/2) + (x + 3) ≤ 25
⇒ 2x + (x/2) + 3 ≤ 25 
⇒ (4x + x + 6)/2 ≤ 25
⇒ 5x + 6 ≤ 25 × 2
⇒ 5x ≤ 50 - 6
⇒ x ≤ 44/5
⇒ x ≤ 8.8
⇒ x + 3 ≤ 8.8 + 3
∴ x + 3 ≤ 11.8

অতএব, লিনার বয়স ≤ 11.8 বছর

প্রশ্ন: রাহিমের বর্তমান বয়স তার মায়ের বয়সের দুই পঞ্চমাংশ। 10 বছর পর তার বয়স, তার মায়ের বয়সের অর্ধেক হবে। 5 বছর পর তার মায়ের বয়স কত হবে?

সমাধান:
ধরি,
মায়ের বর্তমান বয়স x বছর
∴ রাহিমের বর্তমান বয়স = 2x/5 বছর

∴ 10 বছর পর তার মায়ের বয়স = (x + 10) বছর
 10 বছর পর রাহিমের বয়স = (2x/5) + 10 বছর

প্রশ্নমতে,
(x + 10)/2 = (2x/5) + 10
⇒ (x + 10)/2 = (2x + 50)/5
⇒ 5(x + 10) = 2(2x + 50)
⇒ 5x + 50 = 4x + 100
⇒ 5x - 4x = 100 - 50
∴ x = 50

∴ মায়ের বর্তমান বয়স 50 বছর
∴ 5 বছর পর তার মায়ের বয়স = 50 + 5 = 55 বছর

প্রশ্ন: x = √3 + √2 হলে, x³ - (1/x³) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x = √3 + √2
∴ 1/x = 1/(√3 + √2)
= (√3 - √2)/{(√3 + √2)(√3 - √2)}
= (√3 - √2)/{(√3)² - (√2)²}
= (√3 - √2)/(3 - 2)
∴ 1/x = √3 - √2

∴ x - 1/x = √3 + √2 - √3 + √2
= 2√2

এখন,
x³ - 1/x³
= (x - 1/x)³ + 3.x.1/x (x - 1/x)
= (2√2)³ + (3 × 2√2)
= 16√2 + 6√2 = 22√2

প্রশ্ন: 6 < x < 18 হলে, পরমমান চিহ্নের সাহায্যে অসমতাটির প্রকাশ হবে?

সমাধান:
অসমতাটির উর্ধ্বসীমা ও নিম্নসীমার গড় = (6 + 18) / 2 = 24/2 = 12

এখন,
6 < x < 18
⇒ 6 - 12 < x - 12 < 18 - 12
⇒ -6 < x - 12 < 6
∴ |x - 12| < 6

প্রশ্ন: 9 ≥ 3 - 3a হলে, অসমতাটির সমাধান কী?

সমাধান:
9 ≥ 3 - 3a
⇒ 9 - 3 ≥ 3 - 3a - 3
⇒ 6 ≥ - 3a
⇒ - 6 ≤ 3a [ উভয়পক্ষকে - 1 দ্বারা গুণ করে]
⇒ 3a ≥ - 6
⇒ a ≥ - 6/3
⇒ a ≥ - 2

প্রশ্ন: দুই অঙ্ক বিশিষ্ট একটি সংখ্যার অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টি 6, অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করলে যে সংখ্যা পাওয়া যায়, তা প্রদত্ত সংখ্যা থেকে 18 বেশি। সংখ্যাটির এক চতুর্থাংশের মান কত?

সমাধান:

ধরি, একক স্থানীয় অঙ্ক = a
∴ দশক স্থানীয় অঙ্ক = 6 - a

∴ সংখ্যাটি = 10(6 - a) + a
= 60 - 9a

∴ অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করলে সংখ্যাটি = 10a + (6 - a)
= 9a + 6

প্রশ্নমতে,
9a + 6 = 60 - 9a + 18
⇒ 9a + 9a = 60 + 18 - 6
⇒ 18a = 72
∴ a = 4

∴ সংখ্যাটি = 60 - (9 × 4) = 24
অতএব, সংখ্যাটির এক চতুর্থাংশের মান = 24/4 = 6