নতুনদের বিসিএস প্রস্তুতি - ২০০ দিনে পুরো সিলেবাস

প্রশ্ন: 2^{2x + 2} = 16^{x + 3} হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
2^{2x + 2} = 16^{x + 3} 
⇒ 2^{2x + 2} = 2^{4x + 12}
⇒ 2x + 2 = 4x + 12
⇒ 4x - 2x = 2 - 12
⇒ 2x = - 10
∴ x = - 5

প্রশ্ন: 5, 9, 13, 17 ....... অনুক্রমটির প্রথম 18টি পদের যোগফল কত?

সমাধান:
এখানে, ১ম পদ, a = 5
সাধারণ অন্তর, d = (9 - 5) = 4
পদ সংখ্যা, n = 16

∴ ১ম 18টি পদের যোগফল, S_n = (n/2){2a + (n - 1)d}
= (18/2){2 · 5 + (18 - 1)4}
= (18/2)\{10 + (17 · 4)}
= (18/2)(10 + 68)
= (18/2) × 78
= 9 × 78
= 702

প্রশ্ন: a এবং b দুটি ধনাত্মক সংখ্যা হলে (1/5)(3ab)⁰ এর মান কত?

সমাধান:
(1/5)(3ab)⁰
= (1/5) × 1 [যেহেতু, (3ab)⁰ = 1]
= (1/5)
= 5^{- 1}

প্রশ্ন: 2 + 4 + 8 + 16 +...... ধারাটির 11 তম পদ কত?

সমাধান:
এখানে,
১ম পদ, a = 2
সাধারণ অনুপাত, r = 4/2 = 2

আমরা জানি,
n তম পদ = ar^{n - 1}
∴ 10 তম পদ = 2 × 2^{11 - 1}
= 2 × 2¹⁰ 
= 2 × 1024
= 2048

প্রশ্ন: (256)^0.16 × (256)^0.09 = কত?

সমাধান:
(256)^0.16 × (256)^0.09
= 256^{0.16 + 0.09}
= (256)^0.25
= (256)^(25/100)
= (256)^(1/4)
= (4⁴)^(1/4)
= 4^4(1/4)
= 4¹
= 4

প্রশ্ন: log₂(1/32) = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
log2(1/32)
= log₂(1/2⁵)
= log₂(2^{- 5})
= - 5 × log₂2
= - 5 × 1
= - 5

প্রশ্ন: 1³ + 2³ + 3³ +.......+ 14³ = ?

সমাধান:
n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি = {n(n + 1)/2}²
= {14(14 + 1)/2}
= {(14 × 15)/2}²
= (210/2)²
= (105)²
= 11025

প্রশ্ন: যদি (125)^2/3 + (49)^1/2 = 3k হয় তবে k = কত?

সমাধান:
(125)^2/3 + (49)^1/2 = 3k
⇒ (5³)^2/3 + (7²)^1/2 = 3k
⇒ 5^{{3 × (2/3)}} + 7^{{2 × (1/2)}} = 3k
⇒ 5² + 7 = 3k
⇒ 25 + 7 = 3k
⇒ 32 = 3k
∴ k = 32/3
∴ k = 10.67

প্রশ্ন: 6 + x + y + 384 + ........ গুণোত্তর ধারাভুক্ত হলে, y এর মান কত?

সমাধান:
এখানে,
প্রথম পদ, a = 6

ধরি,
সাধারণ অনুপাত, r
চতুর্থ পদ = 384

∴ ar^{4 - 1} = 384
⇒ ar³ = 384
⇒ 6 · r³ = 384
⇒ r³ = 64
⇒ r³ = 4³
⇒ r = 4

এখন, y হলো তৃতীয় পদ = ar^{n - 1}
= 6 · 4^{3 - 1}
= 6 · 4²
= 6 · 16
= 96

প্রশ্ন: (log√11)/(log11) = কত?

সমাধান:
log√11/log11 
= log(11)^1/2/log11 
= (1/2)log11/log11
= (1/2) × 1
= 1/2

প্রশ্ন: 8 + 11 + 14 + 17 + ......... ধারাটির কোন পদ 404?

সমাধান:
ধারাটির প্রথম পদ, a = 8
সাধারণ অন্তর, d = 11 - 8 = 3

মনেকরি,
ধারাটির n তম পদ = 404

আমরা জানি,
সমান্তর ধারার nতম পদ= a + (n - 1)d
a + (n - 1)d = 404
⇒ 8 + (n - 1)3 = 404
⇒ 8 + 3n - 3 = 404
⇒ 3n + 5 = 404
⇒ 3n = 404 - 5
⇒ 3n = 399
⇒ n = 133

প্রশ্ন: a^{- 3} = 0.2 হলে, a¹⁵ = কত?

সমাধান:
a^{- 3} = 0.2
⇒ 1/a³ = 2/10
⇒ a³ = 10/2
⇒ a³ = 5
⇒ (a³)⁵ = 5⁵
⇒ a¹⁵ = 5⁵
∴ a¹⁵ = 3125

প্রশ্ন: log₁₀5 + log₁₀(5x + 1) = log₁₀(x + 5) + 1 হলে, 3x এর মান কত?

সমাধান:
log₁₀5 + log₁₀(5x + 1) = log₁₀(x + 5) + 1 
⇒ log₁₀{5(5x + 1)} = log₁₀{10(x + 5)}
⇒ 5(5x + 1) = 10(x + 5)
⇒ 5x + 1 = 2x + 10
∴ 3x = 9

প্রশ্ন: (1/4) + (1/4²) + (1/4³) + ......... অনন্ত গুণোত্তর ধারাটির অসমীতক সমষ্টি কত?

সমাধান:
এখানে,
ধারাটির ১ম পদ, a = 1/4
সাধারণ অনুপাত, r = (1/4²) ÷ (1/4)
= 1/4

সুতরাং,
অসমীতক সমষ্টি = a/(1 - r)
= (1/4)/{1 - (1/4)}
= (1/4)/(3/4)
= 1/3

প্রশ্ন: যদি 9^p = 27^q হয়, তবে p/q এর মান নির্ণয় করুন।

সমাধান:
9^p = 27^q
⇒ (3²)^p = (3³)^q
⇒ 3^2p = 3^3q
⇒ 2p = 3q
∴ p/q = 3/2

প্রশ্ন: log₂{log₃(log₂x)} = 1 হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
log₂{log₃(log₂x)} = 1
⇒ log₃(log₂x) = 2¹
⇒ log₂x = 3²
⇒ log₂x = 9
⇒ x = 2⁹
∴ x = 512

প্রশ্ন: 0.18 + 0.0018 + 0.000018 +.......... ধারাটির অসীম পদ পর্যন্ত যোগফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
১ম পদ, a = 0.18
সাধারণ অনুপাত, r = 0.0018/0.18
= 0.01

সুতরাং, ধারাটির অসমীতক সমষ্টি = a/(1 - r)
= 0.18/(1 - 0.01)
= 0.18/0.99
= 18/99
= 2/11

প্রশ্ন: [(3^{n + 4} - 3 · 3ⁿ)/(3 · 3^{n + 3})] + 3^-3 এর মান নির্ণয় করুন।

সমাধান:
[(3^{n + 4} - 3 · 3ⁿ)/(3 · 3^{n + 3})] + 3^-3 
= [(3ⁿ . 3⁴ - 3 . 3ⁿ)/(3 . 3ⁿ . 3³)] + (1/3³)
= [(3⁴ - 3)/(3^{1 + 3})] + (1/27)
= (78/81) + (1/27)
= (78/81) + (3/81)
= (78 + 3)/81
= 1

প্রশ্ন: 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + ........ + 38 = কত?

সমাধান:
পদ সংখ্যা = {(শেষ পদ ১ম পদ)/ সাধারণ অন্তর} + 1
= {(38 - 2)/2} + 1
= (36/2) + 1
= 19

আবার,
n সংখ্যক জোড় সংখ্যার সমষ্টি = n(n + 1)
= 19(19 + 1)
= 19 × 20
= 380

প্রশ্ন: (25)^7.5 × (5)^2.5 ÷ (125)^1.5 = 5^?

সমধান:

প্রশ্ন: যদি (p/q)^{y - 3} = (q/p)^{y - 7} হয় তবে y এর মান কত?

সমাধান:
⇒ (p/q)^{y - 3} = (q/p)^{y - 7}
⇒ (p/q)^{y - 3} = (p/q)^{- y + 7}
⇒ y - 3 = - y + 7
⇒ y + y = + 7 + 3
⇒ 2y = 10
⇒ y = 10/2
∴ y = 5

প্রশ্ন: 2 + 4 + 8 + 16 + ...... ধারাটির n সংখ্যক পদের সমষ্টি 4094 হলে n এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
১ম পদ, a = 2
সাধারণ অনুপাত, r = 2

আমরা জানি,
n তম পদের সমষ্টি= {a(rⁿ - 1)/(r - 1)}
⇒ {2(rⁿ - 1)/(r - 1)} = 4094
⇒ 2ⁿ - 1 = 4094/2
⇒ 2ⁿ = 2047 + 1
⇒ 2ⁿ = 2048
⇒ 2ⁿ = 2¹¹
∴ n = 11

প্রশ্ন: কোনো ধারার n তম পদ n . 2^{n - 1}হলে ধারাটির ১ম পাঁচটি পদের যোগফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
n তম পদ = n · 2^{n - 1}

সুতরাং,
১ম পদ = 1 · 2^{1 - 1} = 1 · 1 = 1
২য় পদ = 2 · 2^{2 - 1} = 2 · 2 = 4
৩য় পদ = 3 · 2^{3 - 1} = 3 · 4 = 12
৪র্থ পদ = 4 · 2^{4 - 1} = 4 · 8 = 32
৫ম পদ = 5 · 2^{5 - 1} = 5 · 16 = 80

∴ সমষ্টি = (1 + 4 + 12 + 32 + 80) = 129

প্রশ্ন: a² + b² = c² হলে, (1/log_{c + a}b) + (1/log_{c - a}b) = কত?

সমাধান:
a² + b² = c²
⇒ b² = c² - a²

এখন,
(1/log_{c + a}b) + (1/log_{c - a}b)
= log_b(c + a) + log_bc - a
= log_b(c² - a²)
= log_bb²
= 2log_bb
= 2 × 1
= 2

প্রশ্ন: 1 + (1/2) + (1/4) + ......... প্রথম 6টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
১ম পদ, a = 1
সাধারণ অনুপাত, r = (1/2)/1
= 1/2

∴ S₆ = {1 × (1 - rⁿ)/(1 - r)}
= [1 × {1 - (1/2)⁶}/{1 - (1/2)}]
= {1 - (1/64)}/{1 - (1/2)}
= {(64 - 1)/64}/{(2 - 1)/2}
= (63/64)/(1/2)
= (63/64) × (2/1)
= 63/32

প্রশ্ন: (19)¹² × (19)⁸ ÷ (19)⁴ = (19)^?

সমাধান:
(19)¹² × (19)⁸ ÷ (19)⁴ = 
= (19)^{12 + 8}/19⁴ = (19)^?
= 19²⁰/19⁴ = (19)^?
= 19^{20 - 4} = (19)^?
= 19¹⁶= (19)^?
? = 16

প্রশ্ন: 1² + 2² + 3² + ....... + 16² = কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি = {n(n + 1)(2n + 1)}/6
= {16(16 + 1)(2 · 16 + 1)}/6
= (16 . 17 . 33)/6
= 8976/6
= 1496

প্রশ্ন: log_√32a = 6/5 হলে, a এর মান কত?

সমাধান:
log_√32a = 6/5
⇒ x = (√32)^6/5
⇒ x = (√2⁵)^6/5
= (2^5/2)6/5
= 2^{(5/2) × (6/5)}
= 2³
= 8

প্রশ্ন: 

সমাধান:

প্রশ্ন: 3, 9, 27, 81, ......... 729 প্রদত্ত অনুক্রমটি কোন ধরনের ধারা নির্দেশ করে?

সমাধান:
- কোনো ধারার যেকোনো পদ ও এর পূর্ববর্তী পদের অনুপাত সব সময় সমান হলে অর্থাৎ, যেকোনো পদকে এর পূর্ববর্তী পদ দ্বারা ভাগ করে ভাগফল সর্বদা সমান পাওয়া গেলে, সে ধারাটিকে গুণোত্তর ধারা বলে এবং ভাগফলকে সাধারণ অনুপাত বলে।

এখানে,
9/3 = 3
27/9 = 3
81/27 = 3

যার প্রত্যেকটির সাধারণ অনুপাত 3 অর্থাৎ সাধারণ অনুপাত সমান যা গুণোত্তর ধারা নির্দেশ করে।

প্রশ্ন: log_4√3(2304) = x হলে x এর মান কত?

সমাধান:
log_4√3(2304)
= log_4√3(4√3)⁴
= 4 log_4√34√3
= 4 × 1
= 4

প্রশ্ন: x^2/3/42 = 5/x^1/3 হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
x^2/3/42 = 5/x^1/3 
⇒ x^2/3 · x^1/3 = 42 × 5
⇒ x^{(2/3) + (1/3)} = 210
⇒ x^{(2 + 1)/3} = 210
⇒ x^3/3 = 210
∴ x = 210

প্রশ্ন: 4, 6, 8, ....... সমান্তর অনুক্রমটির কত তম পদ 410?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
১ম পদ, a = 4
সাধারণ অন্তর, d = 6 - 4 = 2

মনে করি,
r তম পদ = 410
a + (r - 1) · d = 410
⇒ 4 + (r - 1) · 2 = 410
⇒ 4 + 2r - 2 = 410
⇒ 2r + 2 = 410
⇒ 2r = 410 - 2
⇒ 2r = 408
⇒ r = 204

প্রশ্ন: 3log2 - log4 = কত?

সমাধান:
3log2 - log4
= 3log2 - log2²
= 3log2 - 2log2
= (3 - 2)log2
= 1log2
= log2

প্রশ্ন: কোনো গুণোত্তর ধারার ২য় পদ b এবং সাধারণ অনুপাত r. যদি গুণোত্তর ধারার প্রথম তিনটি পদের গুণফল 64 হয়, তবে b = কত?

সমাধান:
ধরি,
ধারার ১ম পদ = a
সুতরাং, ২য় পদ = b = ar
৩য় পদ = ar²
সাধারণ অনুপাত = r

সুতরাং, তিনটি পদের গুণফল, a · ar · ar² = 64
⇒ a³ · r³ = 64
⇒ (ar)³ = 64
⇒ b³ = 64
⇒ b³ = 4³
∴ b = 4

প্রশ্ন: 

সমাধান:

প্রশ্ন: log3 + log9 + log27 + ……… ধারাটির প্রথম 10টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
log3 + log9 + log27 + ……… ১ম 10টি পদ
= log3 + log3² + log3³ + log3⁴ + …… + log3¹⁰
= log3 + 2log3 + 3log3 + 4log3 + …… + 10log3
= {1 + 2 + 3 + 4 + …… + 10}log3 
= log3 × {(10(10 + 1)}/2}
= 55 × log3
= 55log3

প্রশ্ন: 2^{n - 1} + 2^{n + 1} = 320 হলে, n = কত?

সমাধান:
2^{n - 1} + 2^{n + 1} = 320
⇒ 2^{n - 1}(1 + 2²) = 320
⇒ 2^{n - 1} · 5 = 320
⇒ 2^{n - 1} = 64
⇒ 2^{n - 1} = 2⁶
⇒ n - 1 = 6
∴ n = 7

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার সাধারণ অন্তর 9 এবং ৭ম পদ 60 হলে 18 তম পদটি কত?

সমাধান:
ধরি,
ধারার ১ম পদ = a
সাধারণ অন্তর, d = 9

সুতরাং, ৭ম পদ = a + (7 - 1)d
⇒ 60 = a + 6 · 9
⇒ 60 = a + 54
⇒ a = 60 - 54
⇒ a = 6

সুতরাং, 18 তম পদ = a + (18 - 1)d
= 6 + 17 · 9
= 6 + 153
= 159

প্রশ্ন: log_√24 × log_√33 = কত?

সমাধান:
log_√24 × log_√33
= log_√2(√2)⁴ × log_√3(√3)²
= 4 log_√2√2 × 2 log_√3√3
= 4 · 1 × 2 · 1
= 8

প্রশ্ন: 

সমাধান:

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর অনুক্রমে ৩য় পদটি 20 এবং ৬ষ্ঠ পদটি 160 হলে ১ম পদটি কত?

সমাধান:
ধরি,
গুণোত্তর অনুক্রমে ১ম পদ a এবং সাধারণ অনুপাত r

প্রশ্নমতে,
ar² = 20 ............. (1)
ar⁵ = 160 ........... (2)

(2)/(1) নং হতে পাই,
ar⁵/ar² = 160/20
⇒ r³ = 8
⇒ r³ = 2³
⇒ r = 2

(1) নং হতে পাই, 
a · 2² = 20
⇒ 4a = 20
∴ a = 5

প্রশ্ন: 36√6 এর 6 ভিত্তিক লগ কত?

সমাধান:
36√6 এর 6 ভিত্তিক লগ
= log₆36√6
= log₆(6².6^1/2)
= log₆6^5/2
= (5/2)log₆6
= 5/2

প্রশ্ন: 6 + 36 + 216 + ........ ধারাটির পরবর্তী পদটি কত?

সমাধান:
উল্লিখিত ধারাটি একটি গুণোত্তর ধারা।
সাধারণ অনুপাত, d = 36/6 = 6

এখন,
ধারাটির ১ম পদ = 6
ধারাটির ২য় পদ = 6 · 6 = 36
ধারাটির ৩য় পদ = 36 · 6 = 216
ধারাটির ৪র্থ পদ = 216 · 6 = 1296

প্রশ্ন: log(a²/bc) + log(b²/ac) + log(c²/ab) = কত?

সমাধান:
log(a²/bc) + log(b²/ac) + log(c²/ab)
= log{(a²/bc) × log(b²/ac) × log(c²/ab)}
= log 1
= 0

প্রশ্ন: 2 + 4 + 8 + 16 +........ ধারাটির কত তম পদ 256?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
১ম পদ, a = 2
সাধারণ অনুপাত, r = 4/2 = 2

আমরা জানি,
n তম পদ = ar^{n - 1}
∴ ar^{n - 1} = 256
⇒ 2 · 2^{n - 1} = 256
⇒ 2^{n - 1} = 128
⇒ 2^{n - 1} = 2⁷
⇒ n - 1 = 7
⇒ n = 7 + 1
⇒ n = 8