সহকারী থানা শিক্ষা অফিসার (ATEO)

প্রশ্ন: a - b = 5 এবং ab = 50 হলে a² + b² এর মান নির্ণয় করুন।

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
a - b = 5 এবং ab = 50
∴ a² + b² এর মান নির্ণয় করতে হবে। 

∴ a² + b² = (a - b)² + 2ab 
= (5)² + (2 × 50)
= 25 + 100 
= 125 

∴ a² + b² এর মান = 125

প্রশ্ন: ।2x + 5। < 3 অসমতাটির সমাধান- 

সমাধান: 
।2x + 5। < 3
বা, - 3 < 2x + 5 < 3
বা, - 3 - 5 < 2x < 3 - 5
বা, - 8 < 2x < - 2
∴ - 4 < x < - 1

প্রশ্ন: যদি x⁴ - x² + 1 = 0 হয়, তবে x³ + (1/x³) = কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
x⁴ - x² + 1 = 0
⇒ x⁴ + 1 = x²
⇒ (x⁴ + 1)/x² = 1
⇒ x² + 1/x² = 1
⇒ (x + 1/x)² - 2 . x . 1/x = 1
⇒ (x + 1/x)² = 2 + 1
∴ x + (1/x) = √3

প্রদত্ত রাশি = x³ + (1/x³)
= {(x)³ + (1/x)³}
= [{x + (1/x)}³ - 3. x. 1/x {x + (1/x)}]
= {(√3)³ - 3 . √3}
= 3√3 - 3√3
= 0

প্রশ্ন: xy - y² + 3x - 3y এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ নিচের কোনটি?

সমাধান:
 xy - y² + 3x - 3y
= y(x - y) + 3(x - y)
= (x - y)(y + 3)

প্রশ্ন: সমাধান করুন: |2 + 2x| ≤ 8 

সমাধান: 
|2 + 2x| ≤ 8 
বা, - 8 ≤ 2 + 2x ≤ 8 
বা, - 8 - 2 ≤ 2 + 2x - 2 ≤ 8 - 2 
বা, - 10 ≤ 2x ≤ 6 
বা, - 10/2 ≤ 2x/2 ≤ 6/2 
∴ - 5 ≤ x ≤ 3

প্রশ্ন: যদি 2x - 1 ≥ - 3 হয়, তাহলে নিচের কোনটি সঠিক? 

সমাধান: 
2x - 1 ≥ - 3
⇒ 2x ≥ - 3 + 1
⇒ 2x ≥ - 2
∴ x ≥ - 1

প্রশ্ন: a = 1 + √2 হলে a³ - 5√2 = কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
a = 1 + √2 
বা, a³ = (1 + √2)³
বা, a³ = 1³ + 3 . 1² . √2 + 3 . 1 . (√2)² + (√2)³
বা, a³ = 1 + 3√2 + 6 + 2√2
বা, a³ = 7 + 5√2
∴ a³ - 5√2 = 7

প্রশ্ন: 8 ≥ 2 - 2a অসমতাটির সমাধান কত?

সমাধান:
8 ≥ 2 - 2a
⇒ 8 - 2 ≥ 2 - 2a - 2
⇒ 6 ≥ - 2a
⇒ - 6 ≤ 2a   [ উভয় পক্ষে - 1 দ্বারা গুণ করে]
⇒ 2a ≥ - 6
⇒ a ≥ (- 6/2)
⇒ a ≥ - 3

প্রশ্ন: a + a ^-1 = √3 হলে, a² + a ^-2 এর মান কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
a + a ^-1 = √3
∴ a + (1/a) = √3

এখন, 
a² + a ^-2 = a² + 1/a²
= {a + (1/a)}² - 2. a. 1/a
= {√3}² - 2
= 3 - 2
= 1

প্রশ্ন: p³ - 6p² + 11p - 6 এর উৎপাদক নয় নিচের কোনটি? 

সমাধান: 
p³ - 6p² + 11p - 6
= p³ - p² - 5p² + 5p + 6p - 6
= p²(p - 1) - 5p(p - 1) + 6(p - 1)
= (p - 1)(p² - 5p + 6)
= (p - 1)(p² - 3p - 2p +6)
= (p - 1){p(p - 3) - 2(p - 3)}
= (p - 1)(p - 2)(p - 3)

প্রশ্ন: বাস্তব সংখ্যায় {1/(3x - 7)} < (1/5) অসমতাটির সমাধান-

সমাধান:  
1/(3x - 7) < 1/5
⇒ 3x - 7 > 5
⇒  3x > 7 + 5
⇒  3x > 12
⇒ x > 4

অসমতাটির সমাধান: x > 4
অন্যভাবে, 4 < x

প্রশ্ন: 2x² - 5xy + 2y² এর একটি উৎপাদক হবে- 

সমাধান: 
2x² - 5xy + 2y²
= 2x² - 4xy - xy + 2y²
= 2x(x - 2y) - y(x - 2y)
= (x - 2y)(2x - y)

প্রশ্ন: (x - 2)(x - 3) < 0 এর সমাধান কত? 

সমাধান: 
(x - 2)(x - 3) < 0 সত্য হবে, যদি x - 2 < 0 এবং x - 3 > 0 হয়।
এখন,
x - 2 < 0 এবং x - 3 > 0
বা, x < 2 এবং x > 3
2 এর চেয়ে ছোট এবং 3 এর চেয়ে বড় x এর কোন মান নাই।
এক্ষেত্রে অসমতাটির কোন সমাধান পাওয়া যাবে না। 

আবার, 
(x - 2)(x - 3) < 0 সত্য হবে, যদি x - 2 > 0 এবং x - 3 < 0 হয়।
এখন,  x - 2 > 0 এবং x - 3 < 0
বা, x > 2 এবং x < 3
x এর মান 2 এর চেয়ে বড় এবং 3 এর চেয়ে ছোট।
সুতরাং অসমতাটির সমাধান পাওয়া যাবে - 

∴ নির্ণেয় সমাধান: 2 < x < 3

প্রশ্ন: x = √3 + √2 হলে, x³ - (1/x³) এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
x = √3 + √2
∴ 1/x = 1/(√3 + √2)
= (√3 - √2)/{(√3 + √2)(√3 - √2)}
= (√3 - √2)/{(√3)² - (√2)²}
= (√3 - √2)/(3 - 2)
∴ 1/x = √3 - √2

∴ x - 1/x
= √3 + √2 - √3 + √2
= 2√2

এখন, 
x³ - 1/x³
= (x - 1/x)³ + 3.x.1/x (x - 1/x)
= (2√2)³ + (3 × 2√2)
= 16√2 + 6√2
= 22√2

প্রশ্ন: x² - 5ax - 66a² এর উৎপাদক কোনটি?

সমাধান: 
x² - 5ax - 66a²
= x² - 11ax + 6ax - 66a²
= x(x - 11a) + 6a(x - 11a)
= (x - 11a)(x + 6a)
= (x + 6a)(x - 11a)

প্রশ্ন: {(a + b)² - (a - b)²} = কত? 

সমাধান: 
{(a + b)² - (a - b)²}
= {(a² + 2ab + b²) - (a² - 2ab + b²)}
= (a² + 2ab + b² - a² + 2ab - b²) 
= (2ab + 2ab) 
= 4ab 

প্রশ্ন: (a + b + c)(x + y) + (a + b + c)(y + z) + (a + b + c)(z + x) -এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ কোনটি? 

সমাধান: 
(a + b + c)(x + y) + (a + b + c)(y + z) + (a + b + c)(z + x)
= (a + b + c){(x + y) + (y + z) + (z + x)} 
= (a + b + c) (x + y + y + z + z + x)
= (a + b + c)(2x + 2y + 2z)
= 2(a + b + c)(x + y + z)

প্রশ্ন: পরমমান চিহ্ন ব্যবহার করে নিম্নের অসমতাটি প্রকাশ করুন। 
- 3 < x < 2 

সমাধান: 
- 3 < x < 2 
বা, - 3 ও 2 এর গড় = (- 3 + 2)/2 = - 1/2 

∴ - 3 + 1/2 < x + 1/2 < 2 + 1/2
⇒ - 5/2 < (2x + 1)/2 < 5/2
⇒ - 5 < 2x + 1 < 5
∴ |2x + 1| < 5

প্রশ্ন: a = 5 হলে, a³ - 3a² + 3a - 1 এর মান কত? 

সমাধান:
a³ - 3a² + 3a - 1
= a³ - 3.a².1 + 3.a.1² - 1³
= (a - 1)³
= (5 - 1)³
= (4)³
= 64

প্রশ্ন: x³ - 8 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ কোনটি?

সমাধান: 
x³ - 8
= x³ - 2³
= (x - 2)(x² + 2x + 2²)
= (x - 2)(x² + 2x + 4)

প্রশ্ন: |x - 3| = 2 হলে x এর মান কত? 

সমাধান: 
|x - 3| = 2
⇒ (|x - 3|)² = 2²
⇒ (x - 3)² = 4
⇒ x² - 6x + 9 = 4
⇒ x² - 6x + 5 = 0
⇒ x² - 5x - x + 5 = 0
⇒ x(x - 5) - 1(x - 5) = 0
⇒ (x - 5)(x - 1) = 0
হয়,
x - 5 = 0
∴ x = 5

অথবা,
x - 1 = 0
∴ x = 1

প্রশ্ন: a² + 6a + 8 - y² + 2y কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করুন।

সমাধান: 
a² + 6a + 8 - y² + 2y
= a² + 2.a.3 + (3)² - y² + 2.y.1 - (1)²
= (a + 3)² - (y - 1)²
= {(a + 3) + (y - 1)} {(a + 3) - (y - 1)}
= (a + 3 + y - 1)(a + 3 - y + 1)
= (a + y + 2)(a - y + 4)

প্রশ্ন: 2(x - 4) ≥ 3x - 5 হলে x এর বৃহত্তম মান কোনটি?

সমাধান: 
2(x - 4) ≥ 3x - 5 
⇒ 2x - 8 ≥ 3x - 5 
⇒ 2x - 3x ≥ - 5 + 8 
⇒ - x ≥ 3 
∴ x ≤ - 3 

∴ x এর বৃহত্তম মান হবে - 3  ।