নতুনদের বিসিএস প্রস্তুতি - ২০০ দিনে পুরো সিলেবাস

প্রশ্ন: a + b = √13 এবং a - b = √11 হলে 8ab(a² + b²) এর মান কত? 

সমাধান: 
a + b = √13
a - b = √11

প্রদত্ত রাশি = 8ab(a² + b²)
= 4ab.2(a² + b²)
= {(a + b)² - (a - b)²}{(a + b)² + (a - b)²}
={(√13)² - (√11)²}{(√13)² + (√11)²}
= (13 - 11)(13 + 11)
= 2 × 24
= 48

প্রশ্ন: a² - b² + 2bc - c² কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ হলো-

সমাধান:  
 a² - b² + 2bc - c² 
= a² - (b² - 2bc + c²)
= a² - (b - c)²
= {a + (b - c)}{a - (b - c)}
= (a + b - c)(a - b + c)

প্রশ্ন: √a + 1/√a = 2 হলে, a + 1/a এর মান কত? 

সমাধান: 
√a + 1/√a = 2
(√a + 1/√a)² = 2²
(√a)² + 2.√a.1/√a + (1/√a)² = 4
a + 2 + 1/a = 4
a + 1/a = 4 - 2
a + 1/a = 2

প্রশ্ন: 9x² - 9x - 4 এর সঠিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ হলো- 

সমাধান: 
9x² - 9x - 4 
=9x² - 12x + 3x - 4
= 3x(3x - 4) + 1(3x - 4)
= (3x - 4)(3x + 1)

প্রশ্ন: x + 1/x = 2 হলে x³⁰ + 1/x³⁰ এর মান কত? 

সমাধান: 
x + 1/x = 2
(x² + 1)/x = 2
x² + 1 = 2x
x² - 2x + 1 = 0
x² - 2.x.1 + 1² = 0
(x - 1)² = 0
x - 1 = 0
x = 1

এখন 
x³⁰ + 1/x³⁰ = 1³⁰ + 1/1³⁰
= 1 + 1/1
= 1 + 1
= 2

প্রশ্ন: a² + 7ab + 12b² এর সঠিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ হলো-  

সমাধান: 
a² + 7ab + 12b²
= a² + 3ab + 4ab + 12b²
= a(a + 3b) + 4b(a + 3b)
= (a + 3b)(a + 4b)

প্রশ্ন: a² + b² + c² = 9 এবং ab + bc + ca = 8 হলে, (a + b + c)² এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
a² + b² + c² = 9
ab + bc + ca = 8 

আমরা জানি
(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca)
(a + b + c)² = 9 + 2 × 8
(a + b + c)² = 9 + 16
(a + b + c)² = 25

প্রশ্ন: 6x² - x - 15 এর একটি উৎপাদক (2x + 3) হলে অপরটি হবে-

সমাধান: 
6x² - x - 15
= 6x² - 10x + 9x - 15
= 2x(3x - 5) + 3(3x - 5)
 = (3x - 5) (2x + 3)

প্রশ্ন: a = √7 + √6 হলে a³ - 1/a³ এর মান কত? 

সমাধান: 
a = √7 + √6 
1/a = 1/(√7 + √6)  
      = (√7 - √6)/(√7 + √6)(√7 - √6)
      = (√7 - √6)/(√7)² - (√6)²
      = (√7 - √6)/(7 - 6)
      =√7 - √6 

a - 1/a = √7 + √6 - √7 + √6
           = 2√6

 a³ - 1/a³ = (a)³ - (1/a)³
                 = (a - 1/a)³ + 3a(1/a)(a - 1/a)
                 = (2√6)³ + 3 × 2√6
                 = 8 × 6√6 + 6√6 
                 = 48√6 + 6√6
                  = 54√6

প্রশ্ন: x³ + 6x² + 11x + 6 এর একটি উৎপাদক হলো- 

সমাধান:
এখানে,
f(x) = x³ + 6x² + 11x + 6
f(-1) = (-1)³ + 6 × (-1)² + 11 × (-1) + 6
f(- 1) = - 1 + 6 - 11 + 6
      =12 - 12
       = 0

∴ (x + 1) f(x) এর উৎপাদক ।

প্রশ্ন: 6x - y = 1, 3x + 2y = 13 হলে (x, y) এর মান কত?

সমাধান: 
6x - y = 1.........(1)
3x + 2y = 13.........(2)

(1) × 2 + (2) ⇒
12x - 2y + 3x + 2y = 2 + 13
15x = 15
x = 1

(2) নং সমীকরণ হতে পাই,
3x + 2y = 13
3 × 1 + 2y = 13
3 + 2y = 13
2y = 13 - 3
2y = 10
y = 5 

নির্ণেয় সমাধান (x, y) = (1, 5)

প্রশ্ন: (a/b) + (b/a) = 3 হলে (a/b)² + (b/a)² এর মান কত? 

সমাধান: 
দেয়া আছে,
(a/b) + (b/a) = 3 

(a/b)² + (b/a)² = {(a/b) + (b/a)}² - 2(a/b). (b/a) 
= 3² - 2
= 9 - 2
= 7

প্রশ্ন: a + b = 11 এবং a- b = 3 হলে 4ab এর মান কত? 

সমাধান: 
a + b = 11 
a- b = 3 

4ab = (a + b)² - (a + b)²
       = 11² - 3²
      =121 - 9
      = 112

প্রশ্ন: 3x - y - 7 = 0, 2x + y - 3 = 0 হলে x + y এর মান কত? 
সমাধান:
দেওয়া আছে,
3x - y - 7 = 0
3x - y = 7...............(1)
2x + y - 3 = 0
2x + y = 3...................(2)

(1) + (2) ⇒ 
3x - y + 2x + y = 7 + 3
5x = 10
x = 2
 
(2) নং হতে পাই 
2x + y = 3
2 × 2 + y = 3
4 + y = 3
y = 3 - 4
y = - 1

x + y = 2 + (- 1)  = 2 - 1 = 1

প্রশ্ন: ।2x - 5। ≤ 3 অসমতাটির সমধান হলো-

সমাধান: 
।2x - 5। ≤ 3
- 3 ≤ 2x - 5  ≤ 3 
- 3 + 5 ≤ 2x - 5 + 5 ≤ 3 + 5
2 ≤ 2x ≤ 8
2/2 ≤ 2x/2 ≤ 8/2
1 ≤ x ≤ 4

প্রশ্ন: 2x² - 3x = 2 হলে (x - 1/x)² এর মান কত? 

সমাধান: 
2x² - 3x = 2
2x² - 2 = 3x
2(x² -1) = 3x
x² - 1 = 3x/2
x²/x - 1/x = 3x/2x
x - 1/x = 3/2
(x - 1/x)² = (3/2)²
(x - 1/x)² = 9/4

প্রশ্ন: দুই অঙ্কবিশিষ্ট একটি সংখ্যার অঙ্কদ্বয়ের অন্তর 1। সংখ্যাটির অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করলে যে সংখ্যা পাওয়া যায়, তার ও মূল সংখ্যাটির যোগফল 121। সংখ্যাটি কত?

সমাধান: 
একক স্থানীয় অংক = x 
দশক স্থানীয় অংক = x + 1

সংখ্যাটি = 10(x + 1) + x
= 10x + 10 + x
= 11x + 10

অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করলে যে সংখ্যা পাওয়া যায় = 10x + x + 1 
= 11x + 1

প্রশ্নমতে,
11x + 10 + 11x + 1 = 121 
22x + 11 = 121 
22x = 121 - 11
22x = 110
x = 110/22
x = 5

সংখ্যাটি = 11 × 5  + 10
= 55 + 10 
 = 65 

প্রশ্ন: x⁴ + 6x² - 7 এর উৎপাদক কত? 

সমাধান: 
    x⁴ + 6x² - 7
= (x²)² + 2.x².3 + 3² - 16
= (x² + 3)² - 4²
= (x² + 3 + 4)(x² + 3 - 4)
= (x² + 7)(x² - 1)
= (x² + 7)(x² - 1²)
= (x² + 7)(x + 1)(x - 1)

প্রশ্ন: x + 9/x = 6 হলে x এর মান কত?

সমাধান: 
x + 9/x = 6
বা, (x² + 9)/x = 6
বা, x² + 9 = 6x
বা, x² - 6x + 9 = 0
বা, x² - 2.x.3 + 32 = 0
বা, (x - 3)² = 0
বা,  x - 3 = 0
x = 3

প্রশ্ন: । 2x + 7। < 11 অসমতাটির সমাধান কত? 

সমাধান: 
। 2x + 7। < 11
- 11 <  2x + 7 < 11
- 11 - 7 <  2x + 7 - 7 < 11 - 7
- 18 < 2x < 4
- 18/2 < 2x/2 < 4/2
- 9 < x < 2

প্রশ্ন: 2x² - 5xy + 2y² এর উৎপাদকগুলো হলো- 

সমাধান: 
2x² - 5xy + 2y²
= 2x² - 4xy - xy + 2y²
= 2x(x - 2y) - y(x - 2y)
=(x - 2y)(2x - y)

প্রশ্ন: x⁴ - 3x² + 1 = 0 হলে (x + 1/x) এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
x⁴ - 3x² + 1 = 0
x⁴ + 1 = 3x²
x⁴/x² + 1/x² = 3x²/x²
x² + 1/x² = 3
(x + 1/x)² - 2x.1/x =3
(x + 1/x)² - 2 = 3
(x + 1/x)² = 3+ 2
(x + 1/x)² = 5
(x + 1/x) = √5

প্রশ্ন: {1/।3x + 1।} ≥ 5 অসমতাটির সমাধান হলো- 

সমাধান: 
1/।3x + 1। ≥ 5
বা, ।3x + 1। ≤ 1/5
বা, - 1/5 ≤ 3x + 1 ≤ 1/5
বা, - (1/5) - 1 ≤ 3x + 1 - 1 ≤ (1/5) - 1
বা, (- 1 - 5)/5 ≤ 3x ≤ (1 - 5)/5
বা, - 6/5 ≤ 3x ≤ - 4/5
বা, - 6/(5 × 3) ≤ 3x/3 ≤ - 4/(5 × 3)
       - 2/5 ≤ x ≤ - 4/15

প্রশ্ন: x² - y² + 2x + 1 এর একটি উৎপাদক কোনটি? 

সমাধান: 
x² - y² + 2x + 1
= x² + 2x + 1 - y²
= (x + 1)² - y²
= {(x + 1) + y}{(x + 1)- y}
= (x + y + 1)(x - y + 1)

প্রশ্ন: একটি শ্রেণিতে যতজন ছাত্র-ছাত্রী পড়ে, প্রত্যেকে তত পয়সার চেয়ে আরও 30 পয়সা বেশি করে চাঁদা দেওয়াতে মোট 70 টাকা উঠল। ঐ শ্রেণির ছাত্র-ছাত্রীর সংখ্যা কত?

সমাধান: 
মনে করি,
ছাত্র-ছাত্রী সংখ্যা x জন

প্রশ্নমতে,
x(x + 30) = 70 × 100               [∵ 70 টাকা = 7000 পয়সা]
⇒ x² + 30x - 7000  = 0
⇒ x² +100x - 70x - 7000 = 0
⇒ x(x + 100) - 70(x + 100) = 0

হয়                             
x - 70 = 0                         
∴ x = 70                              

অথবা
x + 100=0
x = -100 [ গ্রহণযোগ্য নয়]

∴ ঐ শ্রেণিতে 70 জন ছাত্র ছাত্রী আছে।

প্রশ্ন: x² - 13x + 42 < 0 হলে -

সমাধান: 
x² - 13x + 42 < 0
x² - 6x - 7x + 42< 0
x(x - 6) - 7 (x - 6) < 0
∴ (x - 6)(x - 7) < 0

x² - 13x + 42 < 0 সত্য হবে যদি x - 6 < 0 এবং x - 7 > 0 হয়।
এখন, x - 6 < 0 এবং x - 7 > 0
অর্থাৎ,  x < 6 এবং x > 7
6 এর চেয়ে ছোট এবং 7 এর চেয়ে বড় x এর কোন মান নাই।
এক্ষেত্রে অসমতাটির কোন সমাধান পাওয়া যাবে না।

আবার,
x² - 13x + 42 < 0 সত্য হবে যদি x - 6 > 0 এবং x - 7 < 0 হয়।
এখন,  x - 6 > 0 এবং x - 7 < 0
অর্থাৎ x > 6 এবং x <7
x এর মান 6 এর চেয়ে বড় এবং7 এর চেয়ে ছোট।
সুতরাং অসমতাটির সমাধান পাওয়া যাবে.  

সুতরাং নির্ণেয় সমাধানঃ 6 < x < 7