১৪০ দিনে ৫১তম বিসিএস প্রস্তুতি

মূল প্রশ্নে ভুলে চিত্র বাদ গিয়েছিল তাই বাতিল করা হল।
চিত্র থেকে,
2x+x = 180° [সম্পূরক কোণ]
⇒ 3x = 180°
∴ x = 60°
আবার,
x = 2y [বিপ্রতীপ কোণ]
⇒ 2y = 60°
∴ y = 30°

আমরা জানি,
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি ১৮০°।
দুইটি কোণের সমষ্টি ১০০° হলে তৃতীয় কোণের মান (১৮০-১০০)° = ৮০°।

ত্রিভুজের যে কোন দুইবাহুর দৈর্ঘ্য তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর।
কিন্তু এখানে (৬+৪) = ১০ যা তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য ১২ অপেক্ষা বৃহত্তর নয়। তাই এ ত্রিভুজ গঠন সম্ভব নয়।

অতিভুজ = √(৩²+৪²)
= √(৯+১৬)
= √২৫
= ৫ মিটার

ধরি, ভূমির দৈর্ঘ্য x সেমি
তাহলে, লম্বের দৈর্ঘ্য x-2 সেমি
এবং অতিভুজের দৈর্ঘ্য x+2 সেমি
এখন,
x² + (x-2)² = (x+2)²
⇒ x² + x² - 4x +4 = x² + 4x + 4
⇒ x² = 8x
⇒ x = 8
∴ অতিভুজের দৈর্ঘ্য 8+2 = 10 সেমি।

সমকোণী ত্রিভুজের লম্ব a, ভূমি b এবং অতিভুজ c = 13 সেমি হলে,
a+b+13 = 30
⇒ a+b = 17 ------------ (i)
আবার,
a² + b² = 13²
⇒ (a+b)² - 2ab = 169
⇒ (17)² - 2ab = 169
⇒ 2ab = 289 - 169
⇒ ab = 120/2
∴ ab = 60 -------------- (ii)
এখন, ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = 1/2 × ab
= 1/2 × 60
= 30 বর্গসেমি

ধরি, অপর বাহু দুইটির দৈর্ঘ্য 3x এবং 4x ফুট
তাহলে,
(3x)² + (4x)² = 25²
⇒ 9x² + 16x² = 25²
⇒ 25x² = 25²
⇒ x² = 25
∴ x = 5
∴ অপর বাহু দুইটির দৈর্ঘ্য (3×5)= 15 ফুট এবং (4×5)= 20 ফুট

সমান সমান বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য x সেমি হলে পিথাগোরাসের সূত্র অনুসারে-
x² + x² = 10²
⇒ 2x² = 100
⇒ x² = 50
∴ ক্ষেত্রফল = 1/2 × 50 = 25 বর্গসেমি

দেওয়া আছে,
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি, a = 16 মি. এবং সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য, b = 10 মি.
আমরা জানি,
∴ সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = a/4 √(4b²-a²)
= 16/4 √(4×10²-16²)
= 4√(400-256)
= 4×12
= 48 বর্গ মি.

সমকোণী ত্রিভুজ ABC এর ক্ষেত্রে ভূমি BC = √(10²-6²)
= √(100 - 36)
= √64
= 8
∴ ABCD এর পরিসীমা = 2(6+8) = 28

বর্গের পরিসীমা ৪৪ মিটার হলে এক বাহুর দৈর্ঘ্য ৪৪/৪ = ১১ মিটার
∴ ক্ষেত্রফল = ১১×১১ = ১২১ বর্গমিটার

রম্বসের ক্ষেত্রফল = ১/২ × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
= ১/২ × ৪ × ৬
= ১২ বর্গসেমি

আমরা জানি,
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = ১/২ × সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের যোগফল × সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব
⇒ সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব = ২ × ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল/ সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের যোগফল
= ২ × ২০/(৭+৩)
= ৪ সেমি

বৃত্তের ব্যাস 2r = 56 ফুট
∴ বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r = 28 ফুট
∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr² = 22/7 × 28 × 28 = 2464 বর্গফুট
তাহলে বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ২৪৬৩ বর্গ
∴ বর্গক্ষেত্রের একবাহুর দৈর্ঘ্য = √২৪৬৩ = ৪৯.৬৪ ফুট

চিত্র থেকে পিথাগোরাসের সূত্র অনুসারে বৃত্তের ব্যাসার্ধ -
OB = √(12²+5²)
= √(144+25)
= √169
= 13

আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = ৪৮/৩ মিটার = ১৬ মিটার
∴ আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = ২(৪৮+১৬) = ১২৮ মিটার
∴ বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ১২৮ মিটার
∴ বর্গক্ষেত্রের একবাহুর দৈর্ঘ্য = ১২৮/৪ মিটার = ৩২ মিটার

রাস্তা বাদে পার্কের ব্যাসার্ধ r = 100/2 = 50 মিটার
∴ রাস্তা বাদে পার্কের ক্ষেত্রফল πr² = π.50² = 2500π বর্গমিটার
আবার, রাস্তা সহ পার্কের ব্যাসার্ধ a = 50+2 = 52 মিটার
∴ রাস্তাসহ পার্কের ক্ষেত্রফল πa² = π.52² = 2704π বর্গমিটার
∴ রাস্তার ক্ষেত্রফল = 2704π - 2500π = 204π