Math Master

প্রশ্ন: একটি সুষম সপ্তভুজের অন্তঃস্থ কোণের মান কত?

সমাধান: 
বাহু সংখ্যা, n = 7

অন্তঃস্থ কোণ = 180° - (360°/7)
= 128.57°

Alternative rule:
মোট অন্তঃস্থ কোণ = (n - 2) × 180°
= 900°

∴ প্রতিটি অন্তঃস্থ কোণ = 900°/7
= 128.57°

প্রশ্ন: ৮ সে.মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট একটি বৃত্তের অন্তঃস্থ সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা কত?

সমাধান: 

বৃত্তের অন্তর্লিখিত সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য, a = √3 × বৃত্তের ব্যাসার্ধ
= 8√3 cm

পরিসীমা = 3a
= 3 × 8√3
= 24√3 cm

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল চারগুণ করা হলে, পরিসীমা কতগুণ হবে?

সমাধান: 
ধরি,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r
পরিবর্তী ব্যাসার্ধ = R
∴ πR² = 4πr²
বা, R² = 4r²
বা, R = 2r

∴ পরিসীমা = 2πR
= 2π(2r)
= 2 × 2πr
= 2 × পূর্বের পরিসীমা
 

প্রশ্ন: ৬ সে.মি. ব্যাস বিশিষ্ট একটি বৃত্তের কেন্দ্র হতে ৫ সে.মি. দূরত্বে অংকিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান: 

দেওয়া আছে,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ BC = ৬/২ = ৩ সে.মি.
AB = ৫ সে.মি.

AC = √(AB² - BC²)
= √(৫^২ - ৩^২)
= ৪ সে.মি.

প্রশ্ন: ২৪ মি. পরিসীমা বিশিষ্ট একটি বর্গক্ষেত্র একটি বৃত্তে অন্তর্লিখিত আছে। বৃত্তের পরিসীমা কত?

সমাধান: 

ধরি,
বর্গের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = a
বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r 

∴ 4a = 24
a = 6

বৃত্তের ব্যাস = বর্গের কর্ণ = √2a = 6√2
∴ বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 6√2/2 = 3√2

∴ বৃত্তের পরিসীমা = 2πr
= 2π(3√2)
= 6√2π মি.

প্রশ্ন: ABC সমবাহু ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র O হলে, ∠BOC এর নাম কত?

সমাধান: 

এখানে, ∠BOC = 60°
∴ ∠BOC = 2 × ∠BAC
= 2 × 60°
= 120°

একটি সরলরেখা যদি দুইটি বৃত্তের স্পর্শক হয় তবে তাকে বৃত্তের সাধারণ স্পর্শক বলে।
ক) সরল সাধারণ স্পর্শক: দুইটি বৃত্তের কেন্দ্র যদি স্পর্শকের একই পাশে অবস্থান করে তবে তাকে সরল সাধারণ স্পর্শক বলে।
খ) তির্যক সাধারণ স্পর্শক: দুইটি বৃত্তের কেন্দ্র যদি স্পর্শকের বিপরীত পাশে অবস্থান করে তবে তাকে তির্যক সাধারণ স্পর্শক বলে।

প্রশ্ন: দুইটি বৃত্তের ব্যাসার্ধের অনুপাত ৩ : ৫ হলে তাদের ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত?

সমাধান: 
ধরি,
ব্যাসার্ধ যথাক্রমে ৩ক ও ৫ক

ক্ষেত্রফলের অনুপাত = π(৩ক)^২ : π(৫ক)^২
= ৯ : ২৫

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল ও পরিধি যথাক্রমে ১৩৮৬ বর্গসেন্টিমিটার ও ১৩২ সেন্টিমিটার। বৃত্তটির বৃহত্তম জ্যা এর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
বৃত্তের ব্যাসই হচ্ছে বৃত্তের বৃহত্তম জ্যা।
আমরা জানি,
বৃত্তের পরিধি = 2πr

প্রশ্নমতে,
2πr = 132 
বা, 2r = 132/π
= 132/(22/7)
= 132 × (7/22)
= 42 সে.মি.

প্রশ্ন: একটি সুষম বহুভুজের অন্তঃস্থ কোণ ১৭০° হলে, বহুভুজটির বাহুর সংখ্যা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সুষম বহুভুজের একটি অন্তঃকোণের পরিমাণ = ১৭০°
সুষম বহুভুজের বহিস্থঃকোণ = (১৮০° - ১৭০°) = ১০°

আমরা জানি,
সুষম বহুভুজের বহিস্থঃকোণের সমষ্টি = ৩৬০°
∴ বহুভুজটির বাহুর সংখ্যা হবে = ৩৬০°/১০°
= ৩৬ টি

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের কেন্দ্র হতে ১০ সে.মি. দূরে উৎপন্ন স্পর্শকের দৈর্ঘ্য ৭ সে.মি. হলে ঐ বৃত্তের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান: 

বৃত্তের ব্যসার্ধা AC = √{(AB)² - (BC)²}
= √{(10)² - (7)²}
= √51

ক্ষেত্রফল = π(√51)²
= 51π বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন: a এর মান কত?

সমাধান:
∠BCD = ∠BOD/2
= 176°/2
= 88°

যেহেতু a ও ∠BCD বৃত্তের অন্তর্লিখিত চতুর্ভুজের দুইটি বিপরীত কোণ, সেহেতু 
∠BCD + ∠a = 180°
বা, ∠a = 180° - 88°
∠a  = 92°

প্রশ্ন: বৃত্তের ব্যাসার্ধ ও পরিসীমার অনুপাত কত?

সমাধান:
ধরি,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r
আমরা জানি,
বৃত্তের পরিসীমা = 2πr

∴ ব্যাসার্ধ : পরিসীমা = r : 2πr
= 1 : 2π
= 1 : 2(22/7)
= 1 : 44/7
= 7/44

প্রশ্ন: একটি সুষম ষড়ভুজের বহিঃস্থ কোণ কত?

সমাধান: 
এখানে, বাহু সংখ্যা, n = 6
বহিঃস্থ কোণ = 360°/6
= 60°

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাস ভিন্ন একটি জ্যা এর মধ্যবিন্দু ও কেন্দ্র যুক্ত করে ঐ বাহুকে সাধারণ বাহু বিবেচনা করে কয়টি সমকোণী ত্রিভুজ আঁকা যাবে?

সমাধান:
- বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাস ভিন্ন কোনো জ্যা-এর মধ্যবিন্দুর সংযোজক রেখাংশ ঐ জ্যা এর উপর লম্ব।
তাই ২টি সমকোণী ত্রিভুজ তৈরী হবে।


বৃত্ত সম্পর্কিত উপপাদ্য ও অনুসিদ্ধান্ত:
- বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা।
- বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাস ভিন্ন কোনো জ্যা-এর মধ্যবিন্দুর সংযোজক রেখাংশ ঐ জ্যা এর উপর লম্ব।
- বৃত্তের যেকোনো জ্যা এর লম্ব-দ্বিখণ্ডক কেন্দ্রগামী।
- যেকোনো সরলরেখা একটি বৃত্তকে দুইয়ের অধিক বিন্দুতে ছেদ করতে পারে না।
- বৃত্তের কেন্দ্র থেকে ব্যাস ভিন্ন অন্য কোনো জ্যা এর ওপর অঙ্কিত লম্ব ঐ জ্যাকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
- দুইটি পরস্পরছেদী বৃত্তের কেন্দ্রদ্বয়ের সংযোজক রেখাংশ তাদের সাধারণ জ্যা-কে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
- বৃত্তের সকল সমান জ্যা কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী।
- বৃত্তের কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী সকল জ্যা পরস্পর সমান।
- কোনো বৃত্তের দুইটি ভিন্ন বিন্দুর সংযোজক রেখাংশকে বৃত্তটির একটি জ্যা বলা হয়।
- বৃত্তের কেন্দ্রগামী যেকোনো জ্যা হলো ব্যাস।

প্রশ্ন: একটি বহুভুজের বাহুর সংখ্যা ৮ হলে, বহুভুজের কর্ণের সংখ্যা কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
বহুভুজের বাহুর সংখ্যা n হলে কর্ণের সংখ্যা = {n(n - ৩)}/২
= ৮(৮ - ৩)/২
= ২০ টি

প্রশ্ন: বৃত্তের অন্তঃস্থ একটি সমবাহু ত্রভুজের ক্ষেত্রফল ৪√৩ বর্গ মি. হলে বৃত্তের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান: 
ধরি,
সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য = a
বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r 
∴ √3a²/4 = 4√3
বা, a² = 16
∴ a = 4

∴ বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r = a/√3
= 4/√3

∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = π(r)²
= π(4/√3)²
= 16π/3

প্রশ্ন: ৮ সে.মি. এবং ১২ সে.মি. ব্যাস বিশিষ্ট দুইটি বৃত্ত পরস্পর যুক্ত। তাদের কেন্দ্রের মধ্যবর্তী দূরত্বের অর্ধেক দৈর্ঘ্য বিশিষ্ট একটি বর্গের ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.?

সমাধান: 
প্রথম বৃত্তের ব্যাসার্ধ = ৮/২ = ৪ সে.মি.
দ্বিতীয় বৃত্তের ব্যাসার্ধ = ১২/২ = ৬ সে.মি.

মধ্যবর্তী দূরত্ব = (৪ + ৬) = ১০ সে.মি.

∴ বর্গের একবাহুর দৈর্ঘ্য = ১০/২ = ৫ সে.মি.

ক্ষেত্রফল = (৫)^২ = ২৫ বর্গ সে.মি.