প্রাইমারি শিক্ষক নিয়োগ প্রস্তুতি [লং কোর্স]

নাম প্রকৃতির সাথে যেসব প্রত্যয় যুক্ত হয় সেসব প্রত্যয় কে তদ্ধিত প্রত্যয় বলে।
প্রত্যয় কে প্রধানত দুই ভাগে ভাগ করা যায়। যথা : 

 • কৃৎ প্রত্যয় ⇒ ক্রিয়ামুল বা ধাতুর সঙ্গে যেস বর্ণ বা বর্ণসমষ্টি যুক্ত সেসব বর্ণ বা বর্ণসমষ্টিকে কৃৎ প্রত্যয় 
বলে। যেমন:
√ চল্‌ + অন্ত = চলন্ত 
√কর্‌ + আ = করা 

 • তদ্ধিত প্রত্যয় ⇒ নামশব্দ বা নাম প্রকৃতির সাথে যেসব প্রত্যয় যুক্ত সেসব প্রত্যয় কে তদ্ধিত প্রত্যয় বলে। যেমন:
ঢাকা + আই = ঢাকাই
সাহিত্য + ইক = সাহিত্যিক 

উৎস: প্রমিত বাংলা ব্যাকরণ ও নির্মিতি - ড. হায়াৎ মামুদ ও ড. মোহাম্মদ আমীন।

খুব সাবধানে থেকো - ভাব বিশেষ্যের উদাহরণ 

ভাববিশেষণ পদকে বিশেষিত করে।
যেমন - খুব ভালো ছাত্র।

• ভাববিশেষণ দুরকম: 

১. বিশেষণের বিশেষণ:
⇒ দারুণ সুন্দর দেখতে!

২. ক্রিয়া বিশেষণের বিশেষণ:
⇒ খুব সাবধানে থেকো।                    
⇒ গাড়িটা বেশ জোরে চলছে।

উৎস: বাংলা ভাষার ব্যাকরণ ও নির্মিতি (নবম-দশম শ্রেণি)

বাক্য:
ভাষার মূল উপকরণ বাক্য এবং বাক্যেরে মৌলিক উপাদান শব্দ।
যে সুবিন্যস্ত পদসমষ্টি দ্বারা কোনো বিষয়ে বক্তার মনোভাব সম্পূর্ণরূপে প্রকাশ পায় তাকে বাক্য বলে।

অংশ অনুসারে বাক্য ২ প্রকার।
যথা: 
১. উদ্দেশ্য বা কর্তা - যাকে উদ্দেশ্য করে বা যার সম্পর্কে কিছু বলা হয় তাকে উদ্দেশ্য বা কর্তা বলে।
যেমন - রাফিন বই পড়ছে।

২. বিধেয় বা সমাপিকা ক্রিয়া: বাক্যে উদ্দেশ্য সম্পর্কে যা কিছু বলা হয় তাকে বিধেয় বলে।
যেমন - কোমল গান গায়।

উৎস : প্রমিত বাংলা ব্যাকরণ ও নির্মিতি - ড. হায়াৎ মামুদ ও ড. মোহাম্মদ আমীন।

“ বাহ ! সুন্দর লাগছে এই প্রাকৃতিক দৃশ্য”- বাক্যটি আবেগ অর্থে আবেগসূচক বাক্য।

আবেগসূচক বাক্য:
যে বাক্য দ্বারা মনের আবেগ ও আকস্মিক ভাব প্রকাশ পায় তাকে আবেগসূচক বাক্য বলে।
যেমন- 
- বিস্ময় : কী বীভৎস, এই নারকীয় হত্যাকাণ্ড
- হর্ষ : বাহ্! আরিফের বউ খুব সুন্দরী তো
- বিষাদ: হায় হায়! বিয়ের পরদিনই স্বামী মারা গেল!
- ঘৃণা : ছিঃ ছিঃ! তুই মেয়েদের সঙ্গে খারাপ আচরণ করিস। তুই এত নীচ
- শোক : হায় হায়! তোমার বাবা মারা গেলেন, এখন তোমরা চলবে কী করে
- ক্রোধ : এত বড়ো স্পর্ধা! শিক্ষকের মুখের ওপর কথা বলো
- ভয় : ওরে বাপরে, কত বড়ো সাপ রে!
- আবেগ : বাহ্! সুন্দর লাগছে এই প্রাকৃতিক দৃশ্য।

উৎস : প্রমিত বাংলা ব্যাকরণ ও নির্মিতি - ড. হায়াৎ মামুদ ও ড. মোহাম্মদ আমীন।

উপরিউক্ত ক ও খ দুটি বাক্যই জটিল বাক্য। 

‘ভিক্ষুক কে দান কর’- বাক্যটি সরল বাক্য 

উৎস : প্রমিত বাংলা ব্যাকরণ ও নির্মিতি - ড. হায়াৎ মামুদ ও ড. মোহাম্মদ আমীন।

ভাষাবিজ্ঞানীদের মতে, বাক্যের গুণগত বিভাগকে তিন ভাগে দেখানো যায়।
যথা : 
- ওজনগুণ
- প্রসাদগুণ
- মাধুর্যগুন

ওজনগুণ: 
• বাক্যে জোরালো বক্তব্য, বলিষ্ঠ ভাব ও সহজবোধ্য শব্দের মাধ্যমে যে উচ্চারঙ্গত সৌষ্ঠব ও হৃদয়গত আবেশ সৃষ্টি হয় তাকে বাক্যের ওজনগুণ বলে।
যেমন -
- হে দারিদ্র, তুমি মোরে করেছ মহান।
 
প্রসাদগুণ:
• বাক্যে সহজ,সরল ও অলংকারসমৃদ্ধ পদের সুষম ও আকর্ষনীয় সমন্বয়কে ওই বাক্যের প্রসাদগুণ বলে।
যেমন - 
- চোখের পলকে হারিয়ে গেল বিমানটি

মাধুর্যগুণ:
• বাক্যে ব্যবহৃত শব্দসমূহের মধ্যে কোমল, কাব্যিক,মোহনীয় ও হৃদয়গ্রাহী রূপের সাবলীল সমন্বয়কে ওই বাক্যের মাধুর্যগুন বলে।
যেমন-
- ফটিক বলল : মা, আমার ছুটি হয়েছে। আমি বাড়ি যাচ্ছি 

উৎস: প্রমিত বাংলা ব্যাকরণ ও নির্মিতি - ড. হায়াৎ মামুদ ও ড. মোহাম্মদ আমীন।

বাচ্য:
'বাচ্য' বাংলা ব্যাকরণে বহুল পরিচিত একটি পরিভাষা। ইংরেজি Voice শব্দের বাংলা পরিভাষা হলো বাচ্য। বাক্যে অবস্থিত ক্রিয়ার কার্যের সঙ্গে বিশেষ সম্বন্ধযুক্ত পদকে বাচ্য বলা হয়।

- বাচ্য হলো বাক্যের প্রকাশভঙ্গির স্বরূপ নির্ধারক পাঠ। তাই বাক্যের বিভিন্ন ধানের প্রকাশভঙ্গিকে বাচা বলা যায়।
যেমন-
- হেরা ফুটবল খেলতে পারে না।

উৎস : প্রমিত বাংলা ব্যাকরণ ও নির্মিতি - ড. হায়াৎ মামুদ ও ড. মোহাম্মদ আমীন।

বাক্যটির কর্মবাচ্যের রূপ - তারা বাড়িটি তৈরী করেছে

• কর্তাবাচ্যের বাক্যকে কর্মবাচ্যে পরিবর্তিত করতে হলে কর্তার সঙ্গে দ্বারা, দিয়ে, কর্তৃক ইত্যাদি অনুসর্গ যোগ করতে হয় এবং ক্রিয়ারূপকে কর্মের অনুসারী করতে হয়।

যেমন –
- কর্তাবাচ্য: জাহানারা ইমাম একাত্তরের দিনগুলি রচনা করেছেন।
- কর্মবাচ্য: জাহানারা ইমাম কর্তৃক একাত্তরের দিনগুলি রচিত হয়েছে।

- কর্তাবাচ্য: তারা বাড়িটি তৈরি করেছে।
- কর্মবাচ্য: তাদের দ্বারা বাড়িটি তৈরি হয়েছে।

উৎস: বাংলা ভাষার ব্যাকরণ ও নির্মিতি (নবম -দশম শ্রেণি)

বাক্যের প্রকাশভঙ্গিকে বাচ্য বলে।
বাক্যের মধ্যে ক্রিয়ার ভূমিকা বদলে গিয়ে একই বক্তব্যের প্রকাশভঙ্গি আলাদা হয়ে যায়।

• ক্রিয়া কখনো কর্তাকে অনুসরণ করে, ক্রিয়া কখনো কর্মকে অনুসরণ করে, আবার ক্রিয়াই কখনো বাক্যের মধ্যে মুখ্য হয়ে ওঠে।
যেমন –
- সে বাজারে যায় ।
- সাহসী ছেলেটিকে পুরস্কৃত করা হয়েছে।
- কোথায় যাওয়া হচ্ছে?

উপরের,
- প্রথম বাক্যে যায়' ক্রিয়াটি ‘সে' কর্তার অনুসারী।
- দ্বিতীয় বাক্যে ‘করা হয়েছে’ ক্রিয়াটি ‘সাহসী ছেলেটিকে’ কর্মের অনুসারী।
- তৃতীয় বাক্যে ‘যাওয়া হচ্ছে' ক্রিয়াই মুখ্য।

উৎস: বাংলা ভাষার ব্যাকরণ ও নির্মিতি (নবম -দশম শ্রেণি)

বাক্যের অর্থ সঙ্গতি রক্ষার জন্য পরোক্ষ উক্তিতে ক্রিয়াপদের পরিবর্তন করতে হয়।
যেমন - 
প্রত্যক্ষ উক্তি : হিরণ বলল, “আমি এক্ষুণি আসছি।” 
পরোক্ষ উক্তি : হিরণ বলল যে, সে তক্ষুণি যাচ্ছে। 

উৎস : বাংলা দ্বিতীয় পত্র, উন্মুক্ত বিশ্ববিদ্যালয় ।

Present Indefinite tense এর ক্ষেত্রে passive voice কে active এ রূপান্তর এর নিয়ম: 
- subject এর objective form হবে
- am/is/are বাদ যাবে
- past participle এর পরিবর্তে subject অনুযায়ী মূল verb বসে
- by বাদ যাবে
- object এর subjective form বসে
Structure: subject এর objective form + am/is/are বাদ + past participle এর পরিবর্তে subject অনুযায়ী মূল verb + by বাদ + object এর subjective form.

উল্লেখিত প্রশ্নের সঠিক Active form হলো- He was helping me.
Past continuous এর ক্ষেত্রে active voice কে passive voice এ রূপান্তর করার নিয়ম:
- Subject এর objective form বসে
- was/were বসে
- being বাদ যায়
- মূল verb এর সাথে ing বসে
- by বাদ যায়
- object এর subjective form বসে
Structure: Subject এর objective form + was/were + being বাদ + মূল verb + ing + by বাদ + object এর subjective form.

Source:  Advanced Learner’s by Chowdhury & Hossain

প্রশ্নে উল্লেখিত অপশন গুলোর মধ্যে সঠিক উত্তরটি হলো- Jerin said that she was reading a book.
Assertive sentence কে Indirect speech এ রুপান্তর এর সময়: 
- Reporting verb say/said or tell/told(object যদি থাকে) বসে
- Inverted comma উঠে গিয়ে conjunction ‘that’ বসে
- Reported speech এর subject বসে
- verb বসে
- বাকী অংশ বসে
Structure: Subject + say/said/tell/told + object + that + Reported Speech এর subject + verb + বাকী অংশ 
Direct: Jerin said, ‘I am reading a book.’
Indirect: Jerin said that she was reading a book.

Source:  Advanced Learner’s by Chowdhury & Hossain

প্রশ্নে উল্লেখিত অপশন গুলোর মধ্যে সঠিক উত্তরটি হলো:
Father wished that Allah might bless me.
Optative sentence কে Indirect speech এ রুপান্তর এর সময়:
- Reporting verb এর পরিবর্তে wish/ pray বসে
- Inverted Comma উঠে গিয়ে that বসে
- Reported Speech এর subject বসে
- may/might বসে
- Reported speech এর মূল verb থেকে শেষ পর্যন্ত অংশ হয়
Structure: Subject + wish/pray + that + Reported Speech এর subject + may/might + মূল verb থেকে শেষ অংশ পর্যন্ত।
Direct: Father said to me, ‘May Allah bless you.’ 
Indirect: Father wished that Allah might bless me.

Source:  Advanced Learner’s by Chowdhury & Hossain

প্রশ্নে উল্লেখিত অপশন গুলোর মধ্যে সঠিক উত্তরটি হলো:
Addressing them as friends, he requested them to help him.
Imperative sentence এ direct speech এ কাউকে সম্বোধন করা হলে নীচের নিয়মের সাহায্যে Indirect speech এ রূপান্তর করা হয়:
- Addressing বসবে
- Reporting verb এর object (যদি থাকে)
- as বসে
- যাকে/যাদেরকে সম্বোধন করা হয়েছে সে শব্দটি বসবে
- Reporting verb এর subject বসবে
- Reporting verb বসবে
- to বসবে
- Reported speech এর মূল verb থেকে শেষ পর্যন্ত বসবে।
Structure: Addressing + Reporting verb এর object (যদি থাকে) + as + যাকে/যাদেরকে সম্বোধন করা হয়েছে সে শব্দটি + Reporting verb এর subject +  Reporting verb + to + Reported speech এর মূল verb থেকে শেষ পর্যন্ত।
Direct:  He said to them, ‘Friends, help me.’
Indirect: Addressing them as friends, he requested them to help him.

Source:  Advanced Learner’s by Chowdhury & Hossain

প্রশ্নে উল্লেখিত অপশন গুলোর মধ্যে Correct sentence টি হলো: He asked me if I was reading his book.
Interrogative sentence কে indirect speech এ রূপান্তর করার নিয়ম:
- Reporting verb টি ‘ask’, ‘enquire of’, ‘want to know’, ‘demand’ ইত্যাদিতে পরিণত হয়
- Reported speech এর পূর্বে that না বসিয়ে if/wether বসাতে হয়।
- Sentence টি Interrogative এর পরিবর্তে Assertive sentence এ পরিণত হয়।
Structure: Subject + ask/inquire of + object + if/wether + reported speech এর subject + verb + বাকী অংশ।

Source:  Advanced Learner’s by Chowdhury & Hossain

উল্লেখিত প্রশ্নের সঠিক উত্তর হলো- had finished
Complete sentence: As soon as they had finished the work, they went out.
- অতীতে দুটি কাজের মধ্যে প্রথম কাজটি হয়ে যাবার পর দ্বিতীয় কাজটি শুরু হয়েছিল বুঝালে till, until, now that, as soon as ইত্যাদি যুক্ত clause টি past perfect tense এ ব্যবহৃত হয়
Example: He refused to help me till he had known me well.
- অতীতে দুটি কাজের মধ্যে দ্বিতীয়টি শুরু হবার পূর্বে প্রথমটি শুরু হয়েছিলো বুঝাতে when এর পরে past perfect tense হয়।
Example: When she had sung her song, she sat down.
- অতীতে দুটি কাজের একটির পরে আরেকটি অব্যাহতভাবে সংঘটিত হলে দুটিই simple past tense হয়।
Example: When the teacher entered the class room, the students stood up.

Source:  Advanced Learner’s by Chowdhury & Hossain

উল্লেখিত প্রশ্নের সঠিক উত্তর হলো- revolves
Complete sentence: The earth revolves around the sun.
প্রশ্নে উল্লেখিত বাক্যটি হলো Simple present tense/present indefinite tense.
Present indefinite tense এর গঠন: 
- Subject Third person, Singular number হলে verb এর শেষে ‘s’ or ‘es’ বসে
Structure: Subject + মূল verb এর present form + object + বাকী অংশ
Present indefinite tense এর ব্যবহার: 
- চিরন্তন সত্য: The earth revolves around the sun.
- অভ্যাসগত কাজ: She goes to bed at 10pm everyday.
- ভবিষ্যতে কোন কাজ হবে বুঝাতে অনেক সময় এ tense ব্যবহার হয়: Ramadan begins at the next month.

Source:  Advanced Learner’s by Chowdhury & Hossain

উল্লেখিত প্রশ্নের correct ‘Future Perfect Continuous Tense’ হলো- I shall have been reading the book for two hours.
Future Perfect Continuous Tense: কোন কাজ ভবিষ্যতে কিছু সময় ধরে হতে থাকবে বা চলতে থাকবে এরূপ বুঝালে, তাকে Future Perfect Continuous Tense বলে।
বাংলায় চেনার উপায়: বাংলা বাক্যের শেষে থাকব, তে থাকবে, তে থাকবা, তে থাকবেন ইত্যাদি থাকে। 
Structure: Subject + shall have / will have + been + Verb+ ing+ Extension.

Source:  Advanced Learner’s by Chowdhury & Hossain

উল্লেখিত প্রশ্নের সঠিক উত্তর হলো- will miss.
Complete sentence:  If you go to the programme, you will miss the train.
- If যুক্ত clause টি যদি present indefinite tense হয় অপরটি future indefinite tense হয়।
-If+ present indefinite+ future indefinite.
Example: If you go to the programme, you will miss the train.
- If+ past Indefinite + past conditional (subject+would/might/could+ মূল verb এর present form)
Example: If he came, I would go.

Source:  Advanced Learner’s by Chowdhury & Hossain

উল্লেখিত প্রশ্নের সঠিক উত্তর হলো- had left.
Complete sentence: She had left before Runa came.
Beforeযুক্ত বাক্যে 
- Before এর পরের অংশ past indefinite হলে 
- Before এর আগের অংশ past perfect tense হয়
যেহেতু পরের অংশে past indefinite tense আছে তাই আগের অংশে past perfect tense হবে।

Source:  Advanced Learner’s by Chowdhury & Hossain

উল্লেখিত প্রশ্নের correct sentence টি হলো- He is not more than ten.
Affirmative sentence কে negative এ রুপান্তর এর নিয়ম:
- only দ্বারা যদি সংখ্যা নির্দেশ করে তাহলে only এর পরিবর্তে not more than / not less than বসে।
- উপরের বাক্যে only ten দ্বারা সংখ্যা নির্দেশ করেছে তাই নিয়মানুযায়ী only এর পরিবর্তে not more than বসেছে।

Source:  Advanced Learner’s by Chowdhury & Hossain

উল্লেখিত প্রশ্নের correct sentence টি হলো- Without studying hard, you will not pass the exam.
If দ্বারা গঠিত শর্তমূলক না বোধক complex sentence কে simple করার নিয়ম : 
- প্রথমে without বসে
- ‘if’ clause এর মূল verb এর present form এর সাথে ing যোগ করতে হয়
-  ক্রিয়ার পরের অংশ বসে
- comma (,) বসে
- অপর clause টি বসে।
Example:
Complex: if you do not read attentively, you will not pass the examination.
Simple: without reading attentively, you will not pass the examination.

Source:  Advanced Learner’s by Chowdhury & Hossain

উল্লেখিত প্রশ্নের correct sentence টি হলো- Since the man was poor, he could not taste the food.
Compound to complex: 
And যুক্ত Compound কে Complex করার নিয়ম
- Sentence এর প্রথমে since/as/when বসে
- প্রথম Sentence বসে
- and এর পরিবর্তে comma(,) বসে
- দ্বিতীয় sentence বসে
Structure: Since/As/When + প্রথম Sentence + and এর পরিবর্তে comma(,) + দ্বিতীয় sentence.

Source:  Advanced Learner’s by Chowdhury & Hossain

উল্লেখিত প্রশ্নের correct sentence টি হলো- Very few animals are so useful as the cow.
Comparative to Positive:
- প্রথমে Very frew বসে
- few other/most other এর পরের অংশ বসে
- verb এর plural বসে
- so বসে
- Comparative degree এর positive form বসে
- as বসে
- প্রদত্ত sentence এর subject বসে
Structure: Very few + few other/most other এর পরের অংশ + verb এর plural + so + Comparative degree এর positive form + as +  প্রদত্ত sentence এর subject 

Source:  Advanced Learner’s by Chowdhury & Hossain

প্রশ্ন: (1/3)(a + a^-1) = 1 হলে (a³ + a^-3) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
(1/3)(a + a^-1) = 1
বা, a + a^-1 = 3
বা, a + 1/a = 3

প্রদত্ত রাশি = a³ + a^-3
= a³ + 1/a³
= (a + 1/a)³ - 3 . a . 1/a (a + 1/a)
= (3)³ - 3 . 3
= 27 - 9
= 18

প্রশ্ন: a + b = 7 এবং a² + b² = 31 হলে, ab এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + b = 7
a² + b² = 31

আমরা জানি,
(a + b)² = a² + b² + 2ab
বা, 7² = 31 + 2ab
বা, 49 - 31 = 2ab 
বা, 2ab = 18
∴ ab = 9

প্রশ্ন: a² + 6a + 8 - y² + 2y এর উৎপাদক কত?

সমাধান:
a² + 6a + 8 - y² + 2y
= a² + 2 . a . 3 + 3² - 1 - y² + 2y
= (a + 3)² - (y² - 2y + 1)
= (a + 3)² - (y - 1)²
= (a + 3 + y - 1) (a + 3 - y + 1)
= (a + y + 2) (a - y + 4)

প্রশ্ন: a = 5 হলে a³ - 3a² + 3a - 1 এর মান কত?

সমাধান:
a³ - 3a² + 3a - 1
= ‍a³ - 3 . a² . 1 + 3 . a . 1² - 1³
= (a - 1)³
= (5 - 1)³
= 4³
= 64

প্রশ্ন: যদি (x + 3)² = 225 হয় তবে (x - 1) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
(x + 3)² = 225
বা, (x + 3)² = 15²
বা, x + 3 = 15
বা, x = 15 - 3
∴ x = 12

∴ x - 1 = 12 - 1 = 11

প্রশ্ন: a + 1/a = 9 হলে এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
 a + 1/a = 9
বা, (a² + 1)/a = 9
বা, a² + 1 = 9a
বা, a² + a + 1 = 9a + a
বা, a² + a + 1 = 10a

এখন,
= 5a/10a
= 1/2

প্রশ্ন: a + b = 11 এবং a - b = 7 হলে ‍2ab এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + b = 11
a - b = 7

আমরা জানি,
ab = {(a + b)/2}²  - {(a - b)/2}²
⇒ ab = (11/2)² - (7/2)²
⇒ ab = (121/4) - (49/4) 
⇒ ab = (121 - 49)/4
⇒ ab = 72/4 
⇒ ab = 18
⇒ 2ab = 18 × 2
∴ 2ab = 36

প্রশ্ন: হলে f(1) এর মান নিচের কোনটি ?

সমাধান:
 

প্রশ্ন: 35 - 2x - x² এর উৎপাদক কত?

সমাধান:
35 - 2x - x²
= 35 - 7x + 5x - x²
= 7(5 - x) + x(5 - x)
= (5 - x) (x + 7)

প্রশ্ন: 2a - b - [2b - {3c - (a - 3b + 3c)}] এর সরলমান কত?

সমাধান: 
2a - b - [2b - {3c - (a - 3b + 3c)}] 
= 2a - b - [2b - {3c - a + 3b - 3c}]
= 2a - b - [2b - 3c + a - 3b + 3c]
= 2a - b - [a - b]
= 2a - b - a + b
= a

প্রশ্ন: a√0.0016 = 4 হলে a = কত?

সমাধান:
a√0.0016 = 4
⇒ (a√0.0016)² = (4)²
⇒ a²(√0.0016)² = 16
⇒ a² × 0.0016 = 16
⇒ a² × 16/10000 = 16
⇒ a² = 10000
∴ a = ±100

প্রশ্ন: যদি (x - 5) (a + x) = x² - 25 হয় তবে 2a এর মান কত?

সমাধান:
(x - 5) (a + x) = x² - 25
বা, (x - 5) (a + x) = (x - 5)(x + 5)
বা, a + x = x + 5
বা, a = 5 
∴ 2a = 10

প্রশ্ন: যদি x = 3 + 2√2 হলে = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x = 3 + 2√2
বা, x = 2 + 1 + 2√2
বা, x = (√2 + 1)²
বা, √x = √2 + 1

এখন,
1/√x = 1/(√2 + 1)
= (√2 - 1)/(√2 + 1) (√2 - 1)
= (√2 - 1)/(2 - 1)
∴ 1/√x = √2 - 1

∴
= √2 + 1 - √2 + 1
= 2

প্রশ্ন: a³ - 6a² + 12a - 9 এর একটি উৎপাদক (a - 3) হলে অপর উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
a³ - 6a² + 12a - 9
= a³ - 3 . a² . 2 + 3 . a . 2² - 2³ - 1
= (a - 2)³ - 1³
= (a - 2 - 1) {(a - 2)² + (a - 2) . 1 + 1²}
= (a - 3) (a² - 4a + 4 + a - 2 + 1)
= (a - 3) (a² - 3a + 3)

প্রশ্ন: a⁴ - 2a² + 1 = 0 হলে = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a⁴ - 2a² + 1 = 0
বা, (a⁴ - 2a² + 1)/a² = 0
বা, a⁴/a² - 2a²/a² + 1/a² = 0
বা, a² - 2 + 1/a² = 0
∴ a² + 1/a² = 2

প্রশ্ন: 5a - 5b + 7c, 2a + 7b - 3c এবং 8a + 2b - 3c এর যোগফল কত?

সমাধান:
5a - 5b + 7c
2a + 7b - 3c
8a + 2b - 3c
15a + 4b + c

নির্ণেয় যোগফল: 15a + 4b + c

প্রশ্ন: x² - mx - 48 এর একটি উৎপাদক (x - 8) হলে m এর মান কত?

সমাধান:
ধরি,
f(x) = x² - mx - 48
(x - ৪), f(x) এর একটি উৎপাদক হলে f(8) = 0 হবে।

∴ f(8) = 8² - m × 8 - 48
= 64 - 8m - 48
= 16 - 8m

তাহলে,
16 - 8m = 0
⇒ 8m = 16
⇒ m = 16/8
∴ m = 2

প্রশ্ন: হলে = কত?

সমাধান:
a² + a + 1/a + 1/a²
= a² + 1/a² + a + 1/a
= (a + 1/a)² - 2 . a . 1/a + (a + 1/a)
= (√2)² - 2 + √2
= √2