ডেইলি কুইজ [২০০ দিন]

প্রশ্ন: 3 মিটার, 4 মিটার ও 5 মিটার বাহু বিশিষ্ট তিনটি ঘনক গলিয়ে নতুন একটি ঘনক তৈরি করা হলে নতুন ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান: 
 নতুন ঘনকের আয়তন = ঘনক তিনটির আয়তনের সমষ্টি
= 3³ + 4³ + 5³
= 27 + 64 + 125
= 216 ঘন মিটার

নতুন ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য = 3√216
= (6³)^1/3
= 6 মিটার

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজাকৃতি জমির ক্ষেত্রফল ১৪৪ বর্গমিটার। এর উচ্চতা ১২ মি. হলে ভূমির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ত্রিভুজাকৃতি জমির ক্ষেত্রফল ১৪৪ বর্গমিটার
ত্রিভুজাকৃতি জমির উচ্চতা ১২ মি.

আমরা জানি 
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (১/২) × ভূমি × উচ্চতা
⇒ ১৪৪ = (১/২) × ১২ × ভূমি
⇒  ৬ × ভূমি = ১৪৪
⇒  ভূমি = ১৪৪/৬
⇒  ভূমি = ২৪ মি.

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমির দৈর্ঘ্য 60 সে.মি.। এর ক্ষেত্রফল 1200 বর্গ সে.মি. হলে সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করুন।

সমাধান:
(b/4) √(4a² - b²) = 1200 
⇒ (60/4) √(4 × a² - 602) = 1200 
⇒ √(4 × a² - 3600) = 80
⇒ 4a² - 3600 = 6400
⇒ 4a²  = 6400 + 3600
⇒ a² = 10000/4 = 2500
∴ a = √2500
= 50 সে.মি.

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য ২ মিটার বাড়ালে ক্ষেত্রফল ৩√৩ বর্গমিটার বৃদ্ধি পায়। ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান: 
মনেকরি,
সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য a মিটার
ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = √3a²/4
ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য 2 মিটার বাড়ালে ক্ষেত্রফল= √3(a + 2)²/4

প্রশ্নমতে,
{√3(a + 2)²/4} - {√3a²/4} = 3√3
⇒ (√3/4){(a + 2)² - a²} = 3√3
⇒ a²+ 4a + 4 - a² =12
⇒ 4a + 4 = 12
⇒ 4a = 12 - 4
⇒ 4a = 8
a = 2

সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য ২ মিটার

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজাকৃতি কক্ষের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 15 মি. 20 মি. 25 মি. হলে এর ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
ধরি, বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য a = 15 মি. B = 20 মি. C = 25 মি.
পরিসীমা, 2s = (15 + 20 + 25) মি.
বা, s = 60/2 মি. = 30 মি.

আমরা জানি, 
ক্ষেত্রফল = √{s(s - a) (s - b) (s - c)}
= √{30 (30 - 15) (30 - 20) (30 - 25)} বর্গমিটার
= √(30 x 15 x 10 x 5) বর্গমিটার
= √22500 বর্গমিটার
= 150 বর্গমিটার

প্রশ্ন: একটি ঘনক আকৃতিবস্তুর পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল 2904 বর্গ সে.মি. হলে, এর কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ঘনকের ধার a হলে,
ঘনক আকৃতির পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল= 6a²

প্রশ্নানুসারে,
6a² = 2904
⇒ a² = 2904/6
⇒ a²= 484
⇒ a = 22

∴ ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য = √3a
= 22√3 সে.মি.

প্রশ্ন: একটি রম্বসের কর্ণদ্বয় যথাক্রমে ৫ মিটার ও ৮ মিটার হলে, রম্বসটির ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান: 
রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২) × কর্নদ্বয়ের গুণফল 
= ১/২  × ৮ × ৫
= ২০ বর্গমিটার 

প্রশ্ন: কোনো ত্রিভুজের দুই বাহুর দৈর্ঘ্য যথক্রমে 9 সে.মি. ও 10 সে.মি. এবং এদের অন্তর্ভুক্ত কোণ 30°। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান: 
ত্রিভুজের দুটি বাহু a ও b হলে, এবং তাদের অন্তর্ভুক্ত কোণ θ হলে, 
ক্ষেত্রফল = (1/2) absinθ

কোনো ত্রিভুজের দুই বাহুর দৈর্ঘ্য যথক্রমে 9 সে.মি. ও 10 সে.মি. এবং এদের অন্তর্ভুক্ত কোণ 60°।
ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল =  (1/2) × 9 × 10 × sin30°
=  (1/2) × 9 × 10 × (1/2)
= 22.5 বর্গসে.মি. 

প্রশ্ন: রম্বসের একটি কর্ণ আরেকটি কর্ণের দ্বিগুন। রম্বসের ক্ষেত্রফল 64 বর্গমিটার হলে এর বৃহত্তম কর্ণের দৈর্ঘ্য কত মিটার?

সমাধান:
আমরা জানি,
রম্বসের দুটি কর্ণ d1 এবং d2 হলে এর ক্ষেত্রফল (½) × d1 × d2

ধরি,
রম্বসটির ক্ষুদ্রতম কর্ণের দৈর্ঘ্য x মিটার,
বৃহত্তম কর্ণের দৈর্ঘ্য 2x মিটার

রম্বসটির ক্ষেত্রফল = (1/2) × x × 2x
= x²

শর্তমতে,
x² = 64
বা, x = 8

তাহলে বৃহত্তম কর্ণের দৈর্ঘ্য 2 × 8 মিটার
= 16 মিটার

প্রশ্ন: একটি সিলিন্ডারের উচ্চতা সিলিন্ডারের ব্যাসার্ধের চারগুণ। সিলিন্ডারের আয়তন 256π সেমি ³ হলে, সিলিন্ডারের ব্যাসার্ধ কত?

সমাধান:
সিলিন্ডারের ব্যাসার্ধ  r  সেমি
সিলিন্ডারের উচ্চতা 4r সেমি

আমরা জানি,
সিলিন্ডারের আয়তন= πr²h ঘন সেমি 

প্রশ্নমতে,
  πr²× 4r = 256π
⇒  4r³ = 256
⇒  r³= 64 
⇒  r³ = 4³
⇒  r = 4

প্রশ্ন: একটি বাগানের দৈর্ঘ্য 30 মিটার ও প্রস্থ 20 মিটার। বাগানের বাইরে চারদিকে 3 মিটার চওড়া একটি রাস্তা আছে। রাস্তার ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
বাগানের দৈর্ঘ্য 30 মিটার
বাগানের প্রস্থ 20 মিটার
বাগানের ক্ষেত্রফল = (দৈর্ঘ্য  × প্রস্থ) বর্গ একক
= (30 × 20) বর্গ মিটার
= 600 বর্গ মিটার

যেহেতু, বাগানের বাইরে চারদিকে 3 মিটার চওড়া একটি রাস্তা আছে।
রাস্তাসহ বাগানের দৈর্ঘ্য = 30 +(3 + 3) মিটার = 36 মিটার
রাস্তাসহ বাগানের প্রস্থ = 20 + (3 + 3) মিটার = 26 মিটার
রাস্তাসহ বাগানের ক্ষেত্রফল = (36 × 26) বর্গ মিটার
= 936 বর্গ মিটার

∴ রাস্তার ক্ষেত্রফল = (936 - 600) বর্গ মিটার
= 336 বর্গ মিটার

প্রশ্ন: একটি ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য ৮ মিটার, প্রস্থ ৬ মিটার, উচ্চতা ৩ মিটার হলে এর সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য ৮ মিটার
ঘনবস্তুর প্রস্থ ৬ মিটার
ঘনবস্তুর উচ্চতা ৩ মিটার

ঘনবস্তুর সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = ২× (৮ × ৬ + ৬ × ৩ + ৩ × ৮) বর্গমিটার
= ২ × ( ৪৮ + ১৮ + ২৪) বর্গমিটার
= ২ × ৯০ বর্গমিটার
= ১৮০ বর্গমিটার

সমাধান: একটি বর্গাকৃতি বাগানের ক্ষেত্রফল ১ হেক্টর। বাগানটির কর্ণের দৈর্ঘ্য -

সমাধান:
১ হেক্টর = ১০,০০০ বর্গমিটার
∴ এক বাহু = √১০০০০ বর্গ মি. = ১০০ মি.
∴ কর্ণের দৈর্ঘ্য = ১০০√২ মি.

প্রশ্ন: ১০ সে.মি. বাহু বিশিষ্ট কয়টি ছোট ঘনক ১ মি: বাহুবিশিষ্ট একটি ঘনকের মধ্যে স্থাপন করা সম্ভব?

সমাধান:
১ মি. বা, ১০০ সে.মি. বাহুবিশিষ্ট ঘনকের আয়তন = (১০০)^৩ = ১০০০০০০
আবার,
১০ সে.মি. বাহুবিশিষ্ট ঘনকের আয়তন (১০)^৩ = ১০০০ ঘনসে.মি.
∴ ছোট ঘনকের সংখ্যা = ১০০০০০০/১০০০
= ১০০০টি

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ও একটি রম্বসের ক্ষেত্রফলের সমান। বর্গক্ষেত্রের একবাহুর দৈর্ঘ্য 12 সে.মি. এবং রম্বসের একটি কর্ণ 16 সে.মি. হলে রম্বসটির অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য কত? 

সমাধান: 
মনেকরি 
রম্বসটির অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য = x সে.মি. 

বর্গক্ষেত্রের একবাহুর দৈর্ঘ্য 12 সে.মি. 
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল =  144 বর্গ সে.মি. 
রম্বসের ক্ষেত্রফল =  144 বর্গ সে.মি. 

আমরা জানি 
রম্বসের ক্ষেত্রফল  = (1/2) (কর্ণদ্বয়ের গুণফল)
144 = (1/2)(x  × 16)
8x = 144
x = 18 সে.মি. 

[লাইভ পরীক্ষার প্রশ্নের অপশনে মিটারের স্থলে বর্গমিটার হওয়ার কথা ছিল, অপশনে ভুলক্রমে মিটার চলে এসেছে। তবে অপশন দ্বারা কনফিউশন সৃষ্টি না হওয়ায় প্রশ্নটি বাতিল করা হলো না।]

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা 16 মিটার। এর সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য ভূমির 5/6 অংশ হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় করুন।

সমাধান:
ধরি, ভূমির দৈর্ঘ্য x মিটার 
সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য = 5x/6 মিটার

x + (5x/6) + (5x/6) = 16 
⇒ (6x + 5x + 5x)/6 = 16
⇒ 16x/6 = 16 
⇒ x = 6

সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য = 6 × 5/6 = 5 মিটার 

ক্ষেত্রফল = (b/4) √(4a² - b²)
= (6/4) √(100 - 36)
= (6/4) √64
= 12 বর্গমিটার

প্রশ্ন: দুটি ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্যের অনুপাত 2 : 1 হলে, আয়তনের অনুপাত কত?

সমাধান: 
ধরি,
ঘনক দুটির বাহুর দৈঘ্যের অনুপাত যথাক্রমে 2a, a
∴ ঘনকদুটির আয়তনের অনুপাত = (2a)³ : a³
= 8a³ : a³
= 8 : 1