Math Master

Question: sin²60° + 2tan45° - cos²30° - 2 =?

Solution: 
sin²60° + 2tan45° - cos²30° - 2
= (sin60°)² + 2 × 1 - (cos30°)² - 2
= (√3/2)² + 2 - (√3/2)² - 2 
= 0

প্রশ্ন: নিচের কোনটি সঠিক? 

সমাধান: 
বিভিন্ন কোণের ত্রিকোনমিতিক অনুপাতের ক্ষেত্রে:
⇒ sin(- θ) = - sinθ
⇒ cos(- θ) = cosθ
⇒ tan(- θ) = - tanθ
⇒ cosec(- θ) = - cosecθ
⇒ sec(- θ) = secθ
⇒ cot( - θ) = - cotθ

প্রশ্ন: যদি sinx = 1 - cosy, x = 30° এবং y সুক্ষ্মকোণ হয়, তবে y এর মান কত? 

সমাধান:  
sinx = 1 - cosy
⇒ cosy = 1 - sinx
⇒ cosy = 1 - sin30°
⇒ cosy = 1 - (1/2)
⇒ cosy = 1/2
⇒ cosy = cos60°
∴ y = 60°

প্রশ্ন: cotθ = 4/3 হলে, cosecθ এর মান কত?

সমাধান: 
cotθ = 4/3 = ভূমি/লম্ব 

ভূমি = 4, লম্ব = 3

অতিভুজ^২ = 4² + 3²
= 16 + 9 
= 25
∴ অতিভুজ = 5 

cosecθ = অতিভুজ/লম্ব 
= 5/3

প্রশ্ন: cot3A = 0 হলে, tanA এর মান কত? 

সমাধান: 
cot3A = 0
⇒ cot3A = 0
⇒ cot3A = cot90°
⇒ 3A = 90°
⇒ A = 30°

tanA
= tan30°
= 1/√3

প্রশ্ন: নিম্নের সমকোণী ত্রিভুজ ABC এ, AB = 2 cm হলে, AC = ? 


সমাধান: 
∠ACB = 180° - 135°
= 45°

sin∠ACB = AB/AC
⇒ sin45° = 2/AC
⇒ 1/√2 = 2/AC
⇒ AC = 2√2

প্রশ্ন: cosec315° এর মান কত?

সমাধান: 
cosec315°
= cosec (4 × 90° - 45°)
= - cosec45°
= - √2

প্রশ্ন: যদি tan28° = m/n হয়, তাহলে tan62° এর মান কত?

সমাধান: 
 tan28° = m/n 
⇒ tan(90° - 62°) = m/n
⇒ cot62° = m/n
∴ tan62° = n/m 

প্রশ্ন: একটি খুঁটির দৈর্ঘ্য 5 মিটার। এর ছায়ার দৈর্ঘ্য কত মিটার হলে উন্নতি কোণ 45° হবে?

সমাধান: 

খুঁটির দৈর্ঘ্য AB = 5 মিটার
ছায়ার দৈর্ঘ্য BC = ?
সূর্যের উন্নতি কোণ ∠ACB = θ = 45°
ΔABC এ 
tanθ = AB/BC
⇒ tan45° = 5/BC
⇒ 1 = 5/BC
⇒ BC = 5

∴ ছায়ার দৈর্ঘ্য = 5 মিটার

প্রশ্ন: x/siny = 1 হলে, x এর সর্বোচ্চ মান কত? 

সমাধান: 
x/siny = 1
⇒ x = siny 

-1 ≤ siny ≤ 1

∴ x এর সর্বোচ্চ মান 1

প্রশ্ন:

সমাধান: 

প্রশ্ন: অবনতি কোণের মান কত হলে খুঁটির দৈর্ঘ্য ও ছায়ার দৈর্ঘ্য সমান হবে? 

সমাধান: 

AB খুঁটির দৈর্ঘ্য হলে, অবনতি কোণ ∠A = θ
সমান্তরাল রেখাদ্বয়ের ক্ষেত্রে, ∠ACB = θ

ছায়ার দৈর্ঘ্য = BC 

tanθ = AB/BC
⇒ tanθ = AB/AB
⇒ tanθ = 1
⇒ tanθ = tan45
⇒ θ = 45°