Math Master

প্রশ্ন: log₁₀(x + 3) = log₁₀x + log₁₀3 হলে x = কত?

সমাধান:
log₁₀(x + 3) = log₁₀x + log₁₀3
বা, log₁₀(x + 3) = log₁₀(x × 3)
বা, log₁₀(x + 3) = log₁₀3x
বা, x + 3 = 3x
বা, 2x = 3
∴ x = 3/2

প্রশ্ন: 8 + 11 + 14 + 17 +........... ধারাটির কোন পদ 368?

সমাধান:
প্রথম পদ, a = 8
সাধারণ অন্তর, d = 11 - 8 = 3 
প্রদত্ত ধারাটি একটি সমান্তর ধারা।

ধরি,
ধারাটির n তম পদ = 368

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - 1)d
বা, 368 = 8 + (n - 1)3
বা, 368 = 8 + 3n - 3
বা, 3n + 5 = 368
বা, 3n = 368 - 5
বা, 3n = 363
বা, n = 363/3
∴ n = 121

∴ ধারাটির 121 তম পদ 368

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার চতুর্থ পদ 2 এবং অষ্টম পদ 8 হলে, ধারাটির প্রথম পদ কত?

সমাধান:
ধরি,
গুণোত্তর ধারার ১ম পদ a 
গুণোত্তর ধারার সাধারণ অনুপাত r 

দেওয়া আছে,
চতুর্থ পদ  = 2 
অষ্টম পদ  = 8

ar^{4 - 1} = ar³ = 2 ............... (1)
ar^{8 - 1} = ar⁷ = 8 ............ (2)

(2) ÷ (1)
ar⁷/ar³  = 8/2
⇒ r⁴ = 4
⇒ r⁴ = (√2)⁴
∴ r = √2

r এর মান (1) নং বসিয়ে পাই,
ar³ = 2
বা, a (√2)³ = 2
বা, a × 2√2 = 2
বা, a = 2/2√2
∴ a = 1/√2

∴ ধারার ১ম পদ = 1/√2

প্রশ্ন: ৩, ৪, ৮, ১৭, ৩৩, ............... ধারাটির পরবর্তী সংখ্যা কত?

সমাধান:
এখানে,
১ম পদ = ৩
২য় পদ = ৩ + ১^২ = ৪
৩য় পদ = ৪ + ২^২ = ৮
৪র্থ পদ = ৮ + ৩^২ = ১৭
৫ম পদ = ১৭ + ৪^২ = ৩৩
৬ষ্ঠ পদ = ৩৩ + ৫^২ = ৫৮

প্রশ্ন: x এর মান কত হলে √5(√5)^{x + 1} = (5^1/3)^{2x + 1} হবে? 

সমাধান: 
√5(√5)^{x + 1} = (5^1/3)^{2x + 1} 
⇒ 5^1/2 . 5^{(x + 1)/2} = 5^{(2x + 1)/3}
⇒ 5^{(1 + x + 1)/2} = 5^{(2x + 1)/3}
⇒ 5^{(x + 2)/2} = 5^{(2x + 1)/3}
⇒ (x + 2)/2 = (2x + 1)/3
⇒ 4x + 2 = 3x + 6
⇒ x = 6 - 2
∴ x = 4

প্রশ্ন: log₁₀₀₀₀₀x = - 1/5 হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
log₁₀₀₀₀₀x = - 1/5
⇒ x = (100000) ^{- 1/5}
⇒ x = (10⁵) ^{- 1/5}
⇒ x = 10 ^{- 1}
∴ x = 1/10

প্রশ্ন: কোনো অনুক্রমের n তম পদ হলে 28 তম পদ কোনটি?

সমাধান:
n তম পদ = {1 - (- 1)ⁿ}/2
= {1 - ( - 1)²⁸}/2
= (1 - 1)/2
= 0/2
= 0

প্রশ্ন: 3 - 6 + 12 - 24 + ........ ধারাটির প্রথম 9 টি পদের সমষ্টি কত? 

সমাধান:
প্রথম পদ, a = 3
সাধারণ অনুপাত, r = - 6/3 = - 2
পদ সংখ্যা, n = 9

আমরা জানি,
গুণোত্তর ধারার n সংখ্যক পদের সমষ্টি = a(1 - rⁿ)/(1 - r)

৯টি পদের সমষ্টি = 3{1 - (- 2)⁹}/{1 - (- 2)}
= 3(1 + 512)/(1 + 2)
= (3 × 513)/3
= 513

প্রশ্ন: = কত?

সমাধান:

প্রশ্ন: ১ম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার গড় কত?

সমাধান: 
আমরা জানি,
n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি = n(n + 1)/2
আবার, 
গড় = সংখ্যার সমষ্টি/মোট সংখ্যা

∴ n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার গড় = {n (n + 1)/2}/n
= {n(n + 1)/2} × 1/n
= (n + 1)/2

প্রশ্ন: যদি 3^3m = 729 হয় তবে 3^m = কত?

সমাধান:
3^3m = 729
⇒ 3^3m = 3⁶
⇒ 3m = 6
∴ m = 2

এখন,
3^m = 3² = 9

প্রশ্ন: 1 থেকে 8 পর্যন্ত স্বাভাবিক সংখ্যাগুলির ঘনের সমষ্টি কত?

সমাধান:
এখানে,
শেষ বিজোড় সংখ্যা, n = 8

আমরা জানি,
n সংখ্যক বিজোড় সংখ্যাগুলির ঘনের সমষ্টি = {n(n + 1)/2}²
= {8(8 + 1)/2}²
= {(8 × 9)/2}²
= (36)²
= 1296

প্রশ্ন: ১৬, ৩৩, ৬৭, ১৩৫, ........... ধারাটির পরবর্তী পদ কত?

সমাধান:
এখানে,
১ম সংখ্যা × ২ = ২য় সংখ্যা
১৬ × ২ + ১ = ৩৩
৩৩ × ২ + ১ = ৬৭
৬৭ × ২ + ১ = ১৩৫
১৩৫ × ২ + ১ = ২৭১

প্রশ্ন: 7 + 13 + 19 + ……… একটি ধারা। ধারাটির প্রথম 15 টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
ধরি,
প্রথম পদ, a = 7
সাধারণ অন্তর, d = 13 - 7 = 6
প্রদত্ত ধারাটি একটি সমান্তর ধারা।

আমরা জানি,
n সংখ্যক পদের সমষ্টি, ‍S = (n/2) × {2a + (n - 1)d}
∴ প্রথম 15 টি পদের সমষ্টি = (15/2) × {(2 × 7) + (15 - 1) × 6}
= (15/2) × (14 + 84)
= (15/2) × 98
= 15 × 49
= 735

প্রশ্ন: একটি অনন্ত গুণোত্তর ধারা এবং x = 3/2 হলে ধারাটির অষ্টম পদ কত?

সমাধান:


ধারাটির ১ম পদ, a = 1/4
সাধারণ অনুপাত, r = (1/4²)/(1/4) = 1/4

ধারাটির ৮ম পদ = ar^{8 - 1} = ar⁷
= 1/4 × (1/4)⁷
= 1/4⁸

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার প্রথম পদ এবং শেষ পদ যথাক্রমে 7 এবং 46 । যদি সাধারণ অন্তর 3 হয় তবে পদ সংখ্যা কত?

সমাধান:
পদ সংখ্যা = {(শেষ পদ - প্রথম পদ)/সাধারণ অন্তর} + 1
= {(46 - 7)/3} + 1
= 13 + 1
= 14