সহকারী থানা শিক্ষা অফিসার (ATEO)

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা ৪১৩ থেকে যত বড় ৫৫১ থেকে তত ছোট। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে,
ক - ৪১৩ = ৫৫১ - ক
⇒ ক + ক = ৫৫১ + ৪১৩
⇒ ২ক = ৯৬৪
⇒ ক = ৯৬৪/২
∴ ক = ৪৮২
অতএব, সংখ্যাটি হলো ৪৮২

প্রশ্ন: তিনটি ঘণ্টা একত্রে বাজার পর তারা ২ ঘণ্টা, ৩ ঘণ্টা ও ৪ ঘণ্টা পরপর বাজতে থাকল। ১ দিনে তারা কতবার একত্রে বাজবে?

সমাধান:
২, ৩ ও ৪ এর ল.সা.গু = ১২
অতএব, তিনটি ঘণ্টা একত্রে বাজবে ১২ ঘণ্টা পর।

∴ ১ দিনে বা ২৪ ঘণ্টায় মোট বাজবে = (২৪/১২) বার
= ২ বার

[১ দিন বলতে যেহেতু ২৪ ঘণ্টাকে (০০:০০:০০-২৩:৫৯:৫৯) বুঝায়, তাই এই সময়ের মধ্যে ঘণ্টাটি সর্বোচ্চ ২ বার বাজবে।]

প্রশ্ন: কোনো ব্যক্তি তার সম্পত্তির ১/৮ অংশ স্ত্রীকে, ১/২ অংশ পুত্রকে, ও ১/৪ অংশ মেয়েকে দান করলেন। তাঁর অবশিষ্ট সম্পত্তির মূল্য ২০,০০০ টাকা। মোট সম্পত্তির মূল্য কত?

সমাধান:
মোট দান করলেন = (১/৮) + (১/২) + (১/৪) অংশ
= (১ + ৪ + ২)/৮ অংশ
= ৭/৮ অংশ

অবশিষ্ট রইলো = ১ - (৭/৮)অংশ
= (৮ - ৭)/৮ অংশ
= ১/৮ অংশ

১/৮ অংশ সম্পত্তির মূল্য = ২০,০০০ টাকা
∴১ বা সম্পূর্ণ অংশ সম্পত্তির মূল্য = (২০,০০০ × ৮) টাকা = ১৬০,০০০ টাকা

প্রশ্ন: ১৪৫৬২ কে কোন নির্দিষ্ট সংখ্যা দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল ৮৭ ও ভাগশেষ ৩৩ থাকে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ভাজ্য = ১৪৫৬২
ভাগশেষ = ৩৩
ভাগফল = ৮৭

আমরা জানি,
ভাজক = (ভাজ্য - ভাগশেষ)/ভাগফল
= (১৪৫৬২ - ৩৩)/৮৭
= ১৪৫২৯/৮৭
= ১৬৭

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার ল.সা.গু এবং গ.সা.গু যথাক্রমে ৬০ এবং ১০। একটি সংখ্যা অপর সংখ্যার দুই-তৃতীয়াংশ হলে বড় সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
বড় সংখ্যাটি = ৩ক
তাহলে ছোট সংখ্যাটি = ২ক

আমরা জানি,
দুইটি সংখ্যার গুণফল = ল.সা.গু × গ.সা.গু
∴ ৩ক × ২ক = ৬০ × ১০
⇒ ৬ক^২ = ৬০০
⇒ ক^২ = ১০০
∴ ক = ১০
অতএব, বড় সংখ্যাটি = ৩ × ১০ = ৩০

প্রশ্ন: কত টাকার ৩/৭ অংশ ৫৪ টাকার ৪/৯ অংশের সমান?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে,
ক এর ৩/৭= ৫৪ এর ৪/৯
⇒ ৩ক/৭ = (৫৪ × ৪)/৯
⇒ ৩ক/৭ = ২৪
⇒ ৩ক = ১৬৮
⇒ ক = ১৬৮/৩
∴ ক = ৫৬

অতএব, ৫৬ টাকার ৩/৮ অংশ ৪৫ টাকার ৩/৫ অংশের সমান।

প্রশ্ন: একটি লোহার পাত ও একটি তামার পাতের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ২২৪ সে.মি. ও ৩২০ সে.মি. । পাত দুইটি থেকে কেটে নেওয়া একই মাপের সবচেয়ে বড় টুকরার দৈর্ঘ্য কত হবে?

সমাধান:
একই মাপের সবচেয়ে বড় টুকরার দৈর্ঘ্য হবে ২২৪ সে.মি. ও ৩২০ সে.মি. এর গ.সা.গু।
২২৪ ও ৩২০ এর গ.সা.গু = ৩২

∴ সবচেয়ে বড় টুকরার দৈর্ঘ্য হবে = ৩২ সে.মি.

প্রশ্ন: a একটি জোড় সংখ্যা এবং b একটি বিজোড় সংখ্যা হলে নিচের কোনটি অবশ্যই জোড় সংখ্যা হবে?

সমাধান:
• a + b : জোড় সংখ্যা + বিজোড় সংখ্যা = বিজোড় সংখ্যা [যেমন ২ + ৩ = ৫]
• a - b : জোড় সংখ্যা - বিজোড় সংখ্যা = বিজোড় সংখ্যা [যেমন ২ - ১ = ১]
• ab : জোড় সংখ্যা × বিজোড় সংখ্যা = জোড় সংখ্যা [যেমন ২ × ৩ = ৬]
• ab + 3 : (জোড় সংখ্যা × বিজোড় সংখ্যা) + 3 = জোড় সংখ্যা + 3 = বিজোড় সংখ্যা [যেমন (২ × ৩) + ৩ = ৯]

প্রশ্ন: 

সমাধান:

প্রশ্ন: কোন বৃহত্তম সংখ্যা দিয়ে ৪০০৩, ৪১২৬ এবং ৪২৪৯ কে ভাগ করলে প্রতিক্ষেত্রে একই ভাগশেষ থাকবে?

সমাধান:
এখানে,
৪১২৬ - ৪০০৩ = ১২৩
৪২৪৯ - ৪১২৬ = ১২৩
৪২৪৯ - ৪০০৩ = ২৪৬
তাহলে বৃহত্তম সংখ্যাটি হবে ১২৩, ১২৩ ও ২৪৬ এর গ.সা.গু.
১২৩, ১২৩ ও ২৪৬ এর গ.সা.গু = ১২৩

[১২৩ দ্বারা উল্লিখিত সংখ্যাগুলোকে ভাগ করলে প্রতিবার একই (৬৭) ভাগশেষ থাকবে] 

প্রশ্ন: ২০ থেকে ৬৫ এর মধ্যবর্তী বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যার অন্তর কত?

সমাধান:
২০ থেকে ৬৫ এর মধ্যবর্তী মৌলিক সংখ্যাসমূহ = ২৩, ২৯ ৩১, ৩৭, ৪১, ৪৩, ৪৭, ৫৩, ৫৯ ও ৬১

এদের মধ্যে ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যা = ২৩
এদের মধ্যে বৃহত্তম মৌলিক সংখ্যা = ৬১

∴ এদের অন্তর = ৬১ - ২৩
= ৩৮

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার অনুপাত ৩ : ২ এবং তাদের গ.সা.গু ১০ হলে সংখ্যা দুটির ল.সা.গু কত?

সমাধান:
ল.সা.গু = অনুপাতের গুণফল × গ.সা.গু
= ২ × ৩ × ১০
= ৬০

প্রশ্ন: কোন সংখ্যার ৩০% এর সাথে ৩৫ যোগ করলে যোগফল যদি ঐ সংখ্যাটিই হয়, তাহলে সংখ্যাটির দ্বিগুণ কত?

সমাধান:
ধরি, সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে,
ক এর ৩০% + ৩৫ = ক
⇒ ০.৩ক + ৩৫ = ক
⇒ ক - ০.৩ক = ৩৫
⇒ ০.৭ক = ৩৫
⇒ ক = ৩৫/০.৭
∴ ক = ৫০

সংখ্যাটির দ্বিগুণ = (৫০ × ২)= ১০০

প্রশ্ন: নিচের কোন ভগ্নাংশটি ক্ষুদ্রতম?

সমাধান:
৭/১৩ = ০.৫৪
৩/৭ = ০.৪৩
৫/৯ = ০.৫৬
৩/৪ = ০.৭৫

এখানে,
০.৪৩ < ০.৫৪ < ০.৫৬ < ০.৭৫
∴ ক্ষুদ্রতম ভগ্নাংশটি = ৩/৭

প্রশ্ন: একটি স্কুলে যদি আরও ৯জন শিক্ষার্থী থাকতো, তবে তাদেরকে ২০, ৪০, ৫০ ও ৬০ সারিতে দাঁড় করানো যেত। ঐ স্কুলের শিক্ষার্থী সংখ্যা কত?

সমাধান:
প্রশ্নমতে,
শিক্ষার্থী সংখ্যা = (২০, ৪০, ৫০ ও ৬০ এর ল. সা. গু) - ৯
২০, ৪০, ৫০ ও ৬০ এর ল. সা. গু = ৬০০

∴ শিক্ষার্থী সংখ্যা = ৬০০ - ৯ জন
= ৫৯১ জন

প্রশ্ন: নিচের কোন সংখ্যাটি ৩ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য? 

সমাধান:
৩ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্যতার নীতি: কোন সংখ্যার অঙ্কদ্বয়ের যোগফল ৩ দ্বারা বিভাজ্য হলে , প্রদত্ত সংখ্যাটি ৩ দ্বারা বিভাজ্য হবে।

এখানে,
৩৫৮৪ = ৩ + ৫ + ৮ + ৪ = ২০ ; যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য নয়
৫২৪২ = ৫ + ২ + ৪ + ২ = ১৩ ; যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য নয়
১২৩৪ = ১ + ২ + ৩ + ৪ = ১০ ; যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য নয়
৪৮২১ = ৪ + ৮ + ২ + ১ = ১৫ ; যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য

∴ ৪৮২১/৩ = ১৬০৭ ; যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য

প্রশ্ন: একজন কৃষক তাঁর জমির ১/২ অংশে আলু, ১/৪ অংশে বেগুন, ১/৫ অংশে বাঁধাকপি এবং বাকি অংশে মুগ ডাল চাষ করেন। তিনি তাঁর জমির কত অংশে মুগ ডাল চাষ করেন?

সমাধান:
আলু, বেগুন এবং বাঁধাকপি চাষ করেন = (১/২) + (১/৪) + (১/৫) অংশে
= (১০ + ৫ + ৪)/২০ অংশে
= ১৯/২০ অংশে

∴ মুগ ডাল চাষ করেন = ১ - (১৯/২০) অংশে
= (২০ - ১৯)/২০ অংশে
= ১/২০ অংশে

প্রশ্ন: ৪টি বাস সায়েদাবাদ থেকে চক্রাকার রাস্তায় সকাল ৬টায় একই দিকে যাত্রা শুরু করে। বাসগুলো প্রতি ঘণ্টায় যথাক্রমে ১০, ২০, ২৪ ও ৩২ কিলোমিটার পথ অতিক্রম করে। কমপক্ষে কত দূর পথ অতিক্রম করার পরে বাসগুলো আবার একত্রে মিলিত হবে?

সমাধান:
১০, ২০, ২৪ ও ৩২ এর ল.সা.গু'ই হবে নির্ণেয় দূরত্ব।
১০, ২০, ২৪ ও ৩২ এর ল.সা.গু = ৪৮০

অর্থাৎ, ৪৮০ কিলোমিটার পথ অতিক্রম করলে বাসগুলো পুনরায় একত্রে মিলিত হবে।

প্রশ্ন: ১ থেকে ১০০ পর্যন্ত লিখতে '৫' সংখ্যাটি কতবার আসে?

সমাধান:
১ থেকে ১০০ পর্যন্ত লিখতে অথবা গুণতে:
- ২, ৩, ৪, ৫, ৬, ৭, ৮, ৯ সংখাগুলো আছে ২০ বার করে।
- ১ সংখ্যাটি আছে ২১ বার।
- ০ সংখ্যাটি আছে ১১ বার।

প্রশ্ন: একটি খুঁটির 1/3 অংশ মাটির নিচে পুঁতে রাখা আছে। মাটির নিচে যতটুকু আছে তার 1/2 অংশ পানিতে আছে এবং বাকি অংশ পানির উপরে আছে। যদি পানির উপরে থাকা অংশটির দৈর্ঘ্য 12 ফুট হয়, পানিতে থাকা অংশটির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি,
খুঁটির দৈর্ঘ্য = r মিটার
মাটির নিচে আছে খুঁটিটির = r × (1/3) = r/3 অংশ
পানিতে আছে খুঁটিটির = (r/3) × (1/2) = r/6 অংশ
বাকি অংশ বা পানির উপরে আছে = r - (r/3) - (r/6)
= (6r - 2r - r)/6
= 3r/6
= r/2

প্রশ্নমতে,
r/2 = 12
∴ r = 24 ফুট
অতএব, খুঁটিটির পানিতে থাকা অংশটির দৈর্ঘ্য = 24/6 = 4 ফুট

প্রশ্ন: কতজন বালককে ১২৫ টি আপেল ও ১৪৫ টি কমলা সমানভাবে ভাগ করে দেয়া যাবে?

সমাধান:
এখানে,
১২৫ ও ১৪৫ এর গ.সা.গু'ই হবে নির্ণেয় বালকের সংখ্যা।

১২৫ ও ১৪৫ এর গ.সা.গু = ৫

∴ ৫ জন বালককে ১২৫ টি আপেল ও ১৪৫ টি কমলা সমানভাবে ভাগ করে দেয়া যাবে।

প্রশ্ন: দুটি ক্রমিক পূর্ণ সংখ্যার বর্গের অন্তর ৪৫। ছোট সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
ছোট সংখ্যাটি = ক
বড় সংখ্যাটি = ক + ১

প্রশ্নমতে,
(ক + ১)^২ - ক^২ = ৪৫
⇒ ক^২ + ২ক + ১ - ক^২ = ৪৫
⇒ ২ক = ৪৫ - ১
⇒ ২ক = ৪৪
⇒ ক = ৪৪/২
∴ ক = ২২

প্রশ্ন: নিচের কোনটি প্রকৃত ভগ্নাংশ?

সমাধান:
প্রকৃত ভগ্নাংশ: যে ভগ্নাংশের লব ছোট এবং হর বড় সেইসকল ভগ্নাংশকে প্রকৃত ভগ্নাংশ বলে।
যেমন - ৩/৫, ৪/৭ ইত্যাদি।

অপ্রকৃত ভগ্নাংশ: যে ভগ্নাংশের লব বড় এবং হর ছোট সেইসকল ভগ্নাংশকে অপ্রকৃত ভগ্নাংশ বলে।
যেমন - ৫/৩, ৯/৫ ইত্যাদি।

মিশ্র ভগ্নাংশ: পূর্ণ সংখ্যা এবং ভগ্নাংশ মিলে যে ভগ্নাংশ হয় তাকে মিশ্র ভগ্নাংশ বলে।
যেমন - 

প্রশ্ন: কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা থেকে ১ বিয়োগ করলে বিয়োগফল ৮, ১২ ও ১৬ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে?

সমাধান:
এখানে,
৮, ১২ ও ১৬ এর ল.সা.গু = ৪৮

∴ ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ল.সা.গু + ১
= ৪৮ + ১
= ৪৯

প্রশ্ন: কোনো বিক্রেতাকে ৩.২৫ টাকা, ৪.৭৫ টাকা ও ১১.৫০ টাকা একই ধরণের মুদ্রা দ্বারা পরিশোধ করতে হলে সবচেয়ে বড় কত পয়সার মুদ্রা প্রয়োজন?

সমাধান:
৩.২৫ টাকা = ৩২৫ পয়সা
৪.৭৫ টাকা = ৪৭৫ পয়সা
১১.৫০ টাকা = ১১৫০ পয়সা

এখন,
৩২৫, ৪৭৫ ও ১১৫০ এর গ.সা.গু = ২৫
অতএব, সবচেয়ে বড় ২৫ পয়সার মুদ্রার প্রয়োজন।

প্রশ্ন: কোন বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ৪৮, ৬০ এবং ১৩২ নিঃশেষে বিভাজ্য?

সমাধান:
৪৮, ৬০ এবং ১৩২ এর গ.সা.গু'ই হবে নির্ণেয় সংখ্যা।
৪৮, ৬০ এবং ১৩২ এর গ.সা.গু = ১২

∴ বৃহত্তম সংখ্যাটি = ১২

প্রশ্ন: 


সমাধান:

প্রশ্ন: দুইটি ভগ্নাংশের গুণফল ২০/৩৯। এদের একটি ৪/৩ হলে, অপর ভগ্নাংশটি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
দুইটি ভগ্নাংশের গুণফল = ২০/৩৯
এবং, একটি ভগ্নাংশ = ৪/৩

∴ অপর ভগ্নাংশটি = (২০/৩৯)/(৪/৩)
= (২০/৩৯) × (৩/৪)
= ৫/১৩

প্রশ্ন: কোন বৃহত্তম সংখ্যা দিয়ে ৫/৩২, ৭/৮০ এবং ৮৭/১৬ কে ভাগ করলে, প্রত্যেক ক্ষেত্রে ভাগফল পূর্ণসংখ্যা হবে?

সমাধান:
নির্ণেয় সংখ্যাটি হবে ৫/৩২, ৭/৮০ এবং ৮৭/১৬ এর গ.সা.গু.।
ভগ্নাংশগুলোর লব ৫, ৭, ৮৭ এর গ.সা.গু. = ১
এবং হর ৩২, ৮০, ১৬ এর ল.সা.গু. = ১৬০

∴ ভগ্নাংশগুলোর গ.সা.গু. = লবগুলোর গ.সা.গু./হরগুলোর ল.সা.গু.
= ১/১৬০
অতএব, নির্ণেয় বৃহত্তম সংখ্যাটি হলো ১/১৬০।

প্রশ্ন: নিচের কোনটি মূলদ সংখ্যা?

সমাধান:
মূলদ সংখ্যা: যে সকল সংখ্যাকে ভগ্নাংশ আকারে প্রকাশ করা যায় তাই মূলদ সংখ্যা। অর্থাৎ, যে সকল সংখ্যাকে p/q আকারে প্রকাশ করা যায়, সে সকল সংখ্যাকে মূলদ সংখ্যা বলা হয়। যেখানে p এবং q উভয়ই পূর্ণসংখ্যা এবং q শূন্য নয় এমন সংখ্যা। সকল পূর্ণ সংখ্যা মূলদ সংখ্যা।

এখানে,
√5/2 ; একটি অমূলদ সংখ্যা। [√5 পূর্ণ সংখ্যা নয়]
√7/3 ; একটি অমূলদ সংখ্যা। [√7 পূর্ণ সংখ্যা নয়]
√5/8 ; একটি অমূলদ সংখ্যা। [√5 পূর্ণ সংখ্যা নয়]

√9/3 = 3/3 = 1 ; একটি মূলদ সংখ্যা। [সংখ্যাটিকে ভগ্নাংশ আকারে প্রকাশ করা যায়, এবং 1 একটি পূর্ণ সংখ্যা]