সহকারী থানা শিক্ষা অফিসার (ATEO)

প্রশ্ন: যদি 2^{x + 3} = 4^{x + 1} হয়, তবে x এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
2^{x + 3} = 4^{x + 1}
⇒ 2^{x + 3} = (2²)^{x + 1}
⇒ 2^{x + 3} = 2^{2x + 2}
⇒ x + 3 = 2x + 2
⇒ 2x - x = 3 - 2
∴ x = 1

প্রশ্ন: A = {5, a, b} হলে P(A) কোনটি?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
 A = {5, a, b}
∴ P(A) = {∅, {5}, {a}, {b}, {5, a}, {5, b}, {a, b}, {5, a, b}}

উল্লেখ্য যে, 
n উপাদানবিশিষ্ট একটি প্রদত্ত সেটের উপসেটের সংখ্যা = 2ⁿ ।

 প্রশ্ন: একটি বাক্সে ৩টি লাল, ৭টি হলুদ ও ২টি নীল মার্বেল আছে। দৈবভাবে বাক্সটি হতে একটি মার্বেল নিলে সেটি হলুদ না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
লাল মার্বেলের সংখ্যা = ৩টি
হলুদ মার্বেলের সংখ্যা = ৭টি
নীল মার্বেলের সংখ্যা = ২টি

∴ মোট মার্বেলের সংখ্যা = ৩ + ৭ + ২ = ১২টি

∴ দৈবভাবে একটি মার্বেল নিলে সেটি হলুদ হওয়ার সম্ভাবনা = (হলুদ মার্বেলের সংখ্যা)/(মোট মার্বেলের সংখ্যা)
= ৭/১২

সুতরাং, মার্বেলটি হলুদ না হওয়ার সম্ভাবনা = ১ - (৭/১২) = ৫/১২

প্রশ্ন: log₇49√7 এর মান কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
log₇49√7
= log₇(7² × 7^1/2)
= log₇7^{(2 + 1/2)}
= log₇7^(5/2)
= 5/2 × log₇7
= 5/2

প্রশ্ন: f(x) = x² - 7x + 12 এবং f(x) = 0 হলে x = কত?

সমাধান:
f(x) = x² - 7x + 12
আবার,
f(x) = 0

∴ x² - 7x + 12 = 
⇒ x² - 4x - 3x + 12 = 0
⇒ x(x - 4) - 3(x - 4) = 0
⇒ (x - 4)(x - 3)= 0
∴ x = 4, 3

 প্রশ্ন: ঢাকা শহরে জুন মাসে ১৬ দিন বৃষ্টি হয়েছে। তাহলে ২৫ জুন বৃষ্টি হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
বৃষ্টি হওয়ার দিনের সংখ্যা = ১৬ দিন
জুন মাসের মোট দিন সংখ্যা = ৩০ দিন

সুতরাং, ২৫শে জুন বৃষ্টি হওয়ার সম্ভাবনা = (জুন মাসে বৃষ্টি হওয়ার দিনের সংখ্যা)/(জুন মাসের মোট দিন সংখ্যা)
= ১৬/ ৩০
= ৮/১৫

অতএব, ২৫শে জুন বৃষ্টি হওয়ার সম্ভাবনা ৮/১৫

প্রশ্ন: {(16^x - 64)/(4^x + 8)} + 8 = ?

সমাধান:
{(16^x - 64)/(4^x + 8)} + 8
= {(4^x)² - (8)²/(4^x + 8)} + 8
= [{(4^x + 8)(4^x - 8)}/(4^x + 8)] + 8
= (4^x - 8) + 8
= 4^x - 8 + 8
= 4^x
= 2^2x

প্রশ্ন: n(U) = 100, n(A) = 40, n(B) = 35 এবং n(A ∩ B) = 10 হলে, n(A ∪ B)′ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
n(U) = 100
n(A) = 40
n(B) = 35
এবং n(A ∩ B) = 10

আমরা জানি,
n(A ∪ B) = 40 + 35 - 10
= 65

∴ n(A ∪ B)′ = n(U) - n(A ∪ B)
= 100 - 65
= 35​

 প্রশ্ন: একটি ছক্কা দুইবার নিক্ষেপ করলে যোগফল ১১ হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
একটি ছক্কার প্রতি নিক্ষেপে ফলাফল হতে পারে ১ থেকে ৬ পর্যন্ত।
তাই দুইবার নিক্ষেপে মোট সম্ভাব্য ঘটনা = ৬ × ৬ = ৩৬
এবং
যোগফল ১১ পাওয়ার উপায়গুলো = (৫, ৬), (৬, ৫) = ২ টি

∴ সম্ভাবনা = ২/৩৬ = ১/১৮

প্রশ্ন: log_k(aⁿ/bⁿ) + log_k(bⁿ/cⁿ) + log_k(cⁿ/aⁿ) = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
log_k(aⁿ/bⁿ) + log_k(bⁿ/cⁿ) + log_k(cⁿ/aⁿ)
= log_kaⁿ - log_kbⁿ + log_kbⁿ - log_kcⁿ + log_kcⁿ - log_kaⁿ
= 0

প্রশ্ন: P(X) = 2/5 এবং P(Y) = 4/7; X ও Y দুটি স্বাধীন ঘটনা হলে P(Y/X) = কত? 

সমাধান: 
X ও Y স্বাধীন ঘটনা, 
∴ P(X ∩ Y) = P(X) × P(Y) 
= (2/5) × (4/7) 
= 8/35 

∴ P(Y/X) = P(X ∩ Y)/P(X) 
= (8/35)/(2/5) 
= 4/7

 প্রশ্ন: একটি মুদ্রা ও একটি ছক্কা একত্রে নিক্ষেপ করা হলো। মুদ্রায় টেইল এবং ছক্কায় বিজোড় সংখ্যা আসার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
একটি নিরপেক্ষ ছক্কা ও একটি মুদ্রা একবার নিক্ষেপ করা হলে নমুনা ক্ষেত্র গুলো
{1H, 1T, 2H, 2T, 3H, 3T, 4H, 4T, 5H, 5T, 6H, 6T} = 12টি

মুদ্রায় টেইল এবং ছক্কায় বিজোড় সংখ্যা আসার অনুকূল ফলাফল ={1T, 3T, 5T} = 3টি

∴ নির্ণেয় সম্ভাবনা = 3/12 = 1/4

প্রশ্ন: A = {x ∈ N : 2 < x ≤ 12} এবং B = {x ∈ N : x জোড় এবং x ≤ 12} হলে, A - B = কত?

সমাধান:
A = {x ∈ N : 2 < x ≤ 12}
এখানে x হলো স্বাভাবিক সংখ্যা, এবং x এর মান 2-এর চেয়ে বড় ও 12-এর সমান বা ছোট হতে পারে।
A = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}

B = {x ∈ N : x জোড় এবং x ≤ 12}
অর্থাৎ, 12-এর চেয়ে ছোট বা সমান সকল জোড় সংখ্যার সেট ।
B = {2, 4, 6, 8, 10, 12}

সুতরাং, A - B = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} - {2, 4, 6, 8, 10, 12}
= {3, 5, 7, 9, 11}

 প্রশ্ন: একটি স্কুলে ৭৫% ছাত্র নিয়মিত হোমওয়ার্ক করে এবং যেসব ছাত্র নিয়মিত হোমওয়ার্ক করে তাদের মধ্যে ৮০% ছাত্র পরীক্ষায় উত্তীর্ণ হয়। তাহলে দৈবভাবে নির্বাচিত একজন ছাত্র পরীক্ষায় উত্তীর্ণ হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
ধরি,
মোট ছাত্র = ১০০ জন
নিয়মিত হোমওয়ার্ক করে এমন ছাত্র = ৭৫% = ৭৫ জন
তাদের মধ্যে ৮০% উত্তীর্ণ হয় অর্থাৎ = (৮০/১০০) × ৭৫ = ৬০ জন

সুতরাং, উত্তীর্ণ ছাত্র = ৬০ জন

∴ একজন দৈবচয়নে নেওয়া ছাত্র উত্তীর্ণ হওয়ার সম্ভাবনা = ৬০/১০০ = ৩/৫ = ০.৬

প্রশ্ন: log_3√254√2 + log_2√264 = ?

সমাধান:
log_3√254√2 + log_2√264
= log_3√2(3√2)³ + log_2√2(2√2)⁴
= 3 + 4
= 7

এখানে
54√2 = 27 × 2√2
= 3³ ×(√2)³
= (3√2)³

64 = 2⁶
= 2⁴ × {(√2)²}²
= 2⁴ × (√2)⁴
= (2√2)⁴

প্রশ্ন: (3^{5x - 6} · b^{4x - 7})/3^{(x + 2)} = b^{(4x - 7)} এবং b > 0 হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
(3^{5x - 6} · b^{4x - 7})/3^{(x + 2)} = b^{(4x - 7)}
⇒ (3^{5x - 6}/3^{(x + 2)} = b^{(4x - 7)}/b^{(4x - 7)}
⇒ 3^{(5x - 6)} = 3^{(x + 2)}
⇒ 5x - 6 = x + 2
⇒ 5x - x = 2 + 6
⇒ 4x = 8
∴ x = 2

প্রশ্ন: ৯০ জন শিক্ষার্থীর মধ্যে কোনো পরীক্ষায় ৬৪ জন ইংরেজি, ৫৮ জন গণিতে এবং ৪৮ জন উভয় বিষয়ে পাশ করেছে। কতজন শিক্ষার্থী উভয় বিষয়ে ফেল করেছে?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
মোট শিক্ষার্থী = ৯০
ইংরেজিতে পাশ করেছেন = ৬৪
গণিতে পাশ করেছেন = ৫৮
উভয় বিষয়ে পাশ করেছে = ৪৮

∴ শুধু ইংরেজিতে পাশ = (৬৪ - ৪৮) জন = ১৬ জন
∴ শুধু গণিতে পাশ = (৫৮ - ৪৮) জন = ১০ জন

সুতরাং কমপক্ষে একটি বিষয়ে পাশ করেছে = (১৬ + ১০ + ৪৮) জন
= ৭৪ জন

∴ উভয় বিষয়ে ফেল করেছে = (৯০ - ৭৪) জন
= ১৬ জন

প্রশ্ন: একটি নিরপেক্ষ ছক্কা নিক্ষেপে ১২ এর গুণনীয়ক পাওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
ছক্কা নিক্ষেপ মোট নমুনা বিন্দু = {১, ২, ৩, ৪, ৫, ৬} = মোট ৬ টি
১২ এর গুণনীয়ক = {১, ২, ৩, ৪, ৬, ১২}
১২ এর গুণনীয়ক যা ছক্কায় বিদ্যমান = {১, ২, ৩, ৪, ৬} = ৫ টি  [ছক্কায় সর্বোচ্চ সংখ্যা ৬, তাই ১২ বাদ যাবে]

∴ সম্ভাবনা = ৫/৬

প্রশ্ন: যদি log₂​x + log₂​(x - 2) = 3 হয়, তবে x এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া  আছে,
log₂​x + log₂​(x - 2) = 3
⇒ log_2​[x(x - 2)] = 3
⇒ x(x - 2) = 2³ = 8
⇒ x² - 2x = 8
⇒ x² - 2x - 8 = 0
⇒ x² - 4x + 2x - 8 = 0
⇒ x(x - 4) + 2(x - 4) = 0
⇒ (x - 4)(x + 2) = 0

হয়,
(x - 4) = 0
∴ x = 4

অথবা,
(x + 2) = 0
∴ x = - 2 [যা গ্রহণযোগ্য নয়]

∴ নির্ণয়ে x এর মান 4

প্রশ্ন: C = {x ∈ N : x ≤ 4} হলে, P(C) = ?

সমাধান:
x হলো স্বাভাবিক সংখ্যা যা 4 এর সমান বা ছোট।
C = {1, 2, 3, 4}
∴ C সেটে উপাদান সংখ্যা = 4

একটি সেটের উপাদান সংখ্যা n হলে, তার শক্তি সেটে থাকবে 2ⁿ টি উপসেট।
∴ P(C) = 2⁴ =16

প্রশ্ন: ১ থেকে ১৫ রোল পর্যন্ত ছাত্র-ছাত্রীর মধ্য থেকে দৈবভাবে ২ জন ছাত্র নির্বাচন করলে, ২ জনের রোল নম্বর জোড় হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
১ থেকে ১৫ পর্যন্ত জোড় সংখ্যা = ২, ৪, ৬, ৮, ১০, ১২, ১৪ = ৭ টি

∴ প্রথম ছাত্রের রোল জোড় হওয়ার সম্ভাবনা = ৭/১৫
∴ দ্বিতীয় ছাত্রের রোল জোড় হওয়ার সম্ভাবনা = ৬/১৪

∴ ২ জনেরই রোল জোড় হওয়ার সম্ভাবনা = (৭/১৫) × (৬/১৪)
= ১/৫

প্রশ্ন: p^{- 4} = 0.20 হলে p¹² মান কত?

সমাধান:
p^{- 4} = 0.20
⇒ (1/p)⁴ = 0.20
⇒ p⁴ = 1/0.20
⇒ p⁴ = 5
⇒ (p⁴)³ = 5³
∴ p¹² = 125

প্রশ্ন: Q = {a² > 8, a³ < 30} হলে, a এর সঠিক মান কোনটি?

সমাধান:
a এর এমন একটি মান বসাতে হবে যাহাকে বর্গ করলে 8 অপেক্ষে বড় এবং ঘন করলে 30 অপেক্ষা ছোট হবে ।
a = 2 হলে, a² = 2² = 4 এবং a³ = 2³ = 8  ; যা শর্তসিদ্ধ করে না ।
a = 3 হলে, a² = 3² = 9 এবং a³ = 3³ = 27  ; যা শর্তসিদ্ধ করে ।
a = 4 হলে, a² = 4² = 16 এবং a³ = 4³ = 81  ; যা শর্তসিদ্ধ করে না

∴ a = 3

প্রশ্ন: ১ থেকে ৬৪ পর্যন্ত সংখ্যাগুলো থেকে দৈবভাবে একটি সংখ্যা নেওয়া হলো। সংখ্যাটি বর্গ সংখ্যা হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
১ থেকে ৬৪ পর্যন্ত মোট সংখ্যা = ৬৪ টি

১ থেকে ৬৪ এর মধ্যে বর্গ সংখ্যা গুলো হলো
১^২ = ১, ২^২ = ৪, ৩^২ = ৯, ৪^২ = ১৬, ৫^২ = ২৫, ৬^২ = ৩৬, ৭^২ = ৪৯, ৮^২ = ৬৪
∴ মোট বর্গ সংখ্যা = ৮টি

∴ সম্ভাবনা = বর্গ সংখ্যা/মোট সংখ্যা = ৮/৬৪ = ১/৮

প্রশ্ন: 125 এর 5 ভিত্তিক লগ কত ?

সমাধান:
log₅125
= log₅5³
= 3 log₅5
= 3 × 1 [log_aa = 1 ]
= 3

প্রশ্ন: এক প্যাকেট তাস থেকে দৈবভাবে একটি তাস নেয়া হলো। তাসটি রুইতন হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
এক প্যাকেট তাসে মোট ৫২টি তাস থাকে।
তার মধ্যে রুইতন থাকে ১৩টি।

∴ P(রুইতন হওয়ার সম্ভাবনা) = অনুকূল ঘটনা সংখ্যা​/মোট ঘটনা সংখ্যা
= ১৩/৫২
= ১/৪