Math Master

প্রশ্ন: একটি ট্যাংকের ২/৫ অংশ পানি পূর্ণ আছে। ট্যাংকটিতে আরও ১৬ লিটার পানি যোগ করা হলে এটি ৬/৭ অংশ পূর্ণ হবে। ট্যাংকটির ধারণ ক্ষমতা কত?

সমাধান:
ধরি,
 ট্যাংকটির ধারণ ক্ষমতা = x লিটার 

প্রশ্নমতে,
(২x/৫) + ১৬ = (৬x /৭)
১৬ = (৬x/৭) - (২x/৫)
১৬ = (৩০x - ১৪x)/৩৫
১৬ = ১৬x/৩৫
১ = x/৩৫
x  = ৩৫ 

প্রশ্ন: নদীতে লঞ্চ ও স্রোতের গতিবেগ যথাক্রমে ঘণ্টায় ১৫ কি.মি. ও ৫ কি.মি.। নদীপথে ৮০ কি.মি. দূরত্ব অতিক্রম করে পুনরায় ফিরে আসতে কত ঘণ্টা সময় লাগবে? 

সমাধান: 
স্রোতের অনুকূলে লঞ্চের গতিবেগ = (১৫ + ৫) কি.মি./ঘণ্টা
= ২০ কি.মি./ঘণ্টা

২০ কি.মি. যেতে সময় লাগে = ১ ঘণ্টা
∴ ৮০ কি.মি. যেতে সময় লাগে = ৮০/২০ ঘণ্টা
= ৪ ঘণ্টা

আবার,
স্রোতের প্রতিকূলে লঞ্চের গতিবেগ = (১৫ – ৫) কি.মি./ঘণ্টা
= ১০ কি.মি. /ঘণ্টা

১০ কি.মি. যেতে সময় লাগে = ১ ঘণ্টা
∴ ৮০ কি.মি. যেতে সময় লাগে = ৮০/১০ ঘণ্টা
= ৮ ঘণ্টা

∴ মোট সময় লাগবে = (৪ + ৮) ঘণ্টা
= ১২ ঘণ্টা

প্রশ্ন: ৩০ জন শ্রমিক কোনো কাজ ১২ দিনে সম্পূর্ণ করতে পারে। কাজ শুরু করার ৮ দিন পর ১৫ জন শ্রমিক চলে গেলে বাকি শ্রমিক কতদিনে কাজটি শেষ করতে পারবে?

সমাধান:
যেহেতু, কাজ শুরু করার ৮ দিন পর ১৫ জন শ্রমিক চলে যায়।
∴ অবশিষ্ট শ্রমিক = (৩০ - ১৫) জন
= ১৫ জন

∴ অবশিষ্ট দিন = (১২ - ৮) দিন
= ৪ দিন

৩০ জনে কাজটি সম্পূর্ণ করে = ৪ দিনে
∴ ১ জনে কাজটি সম্পূর্ণ করে = (৩০ × ৪) দিনে
∴ ১৫ জনে কাজটি সম্পূর্ণ করে = (৩০ × ৪)/১৫ দিনে
= ৮ দিন

প্রশ্ন: ৮০ মিটার দীর্ঘ একটি ট্রেনের গতিবেগ ঘণ্টায় ৩৬ কি.মি.। রেললাইনের পাশের একটি ল্যাম্পপোষ্টকে অতিক্রম করতে ট্রেনটির কত সময় লাগবে?

সমাধান:
খুঁটিটি অতিক্রম করতে ট্রেনটিকে নিজের দৈর্ঘ্যের সমান দূরত্ব অতিক্রম করতে হবে।
৩৬ কি.মি. = (৩৬ x ১০০০) মিটার
= ৩৬০০০ মিটার

ট্রেনটি ৩৬০০০ মি. অতিক্রম করে = ১ ঘণ্টায়
∴ ট্রেনটি ১ মি. অতিক্রম করে = (১/৩৬০০০) ঘণ্টায়
∴ ট্রেনটি ৮০ মি. অতিক্রম করে = (১ × ৮০)/৩৬০০০ ঘণ্টায়
= (১ × ৬০ × ৬০ × ৮০)/৩৬০০০ সেকেন্ড
= ৮ সেকেন্ড

প্রশ্ন: ৬৮ জন শ্রমিক একটি কাজ ২৩ দিনে শেষ করতে পারে। ১৭ দিনে কাজটি শেষ করতে হলে নতুন কতজন শ্রমিক নিয়োগ করতে হবে?

সমাধান:
২৩ দিনে কাজটি শেষ করতে পারে = ৬৮ জন
∴ ১ দিনে কাজটি শেষ করতে পারে = (৬৮ × ২৩) জন
∴ ১৭ দিনে কাজটি শেষ করতে পারে = (৬৮ × ২৩)/১৭ জন
= ৯২ জন

∴ নতুন শ্রমিক লাগবে = (৯২ - ৬৮) জন
= ২৪ জন

প্রশ্ন: 5 কি.মি./ঘণ্টা বেগে চললে কোন স্থানে পৌঁছতে যে সময় লাগে 6 কি.মি./ঘণ্টা বেগে চললে তার চেয়ে 1 ঘণ্টা কম সময় লাগে। স্থানটির দূরত্ব কত?

সমাধান:
মনে করি,
স্থানটির দূরত্ব = x কি.মি.
5 কি.মি./ঘণ্টা বেগে চললে কোন স্থানে পৌঁছতে সময় লাগে = x/5 ঘণ্টা
আবার,
6 কি.মি./ঘণ্টা বেগে চললে কোন স্থানে পৌঁছতে সময় লাগে = x/6 ঘণ্টা

প্রশ্নমতে,
x/5 - x/6 = 1
বা, (6x - 5x)/30 = 1
বা, x/30 = 1
∴ x = 30

∴ স্থানটির দূরত্ব = 30 কি.মি.

প্রশ্ন: ৩ দিনে একটি কাজের ১/৯ অংশ শেষ হলে ঐ কাজের ৩ গুন কাজ করতে কত দিন লাগবে?

সমাধান:
১/৯ অংশ কাজ করে ৩ দিনে
∴ ১ বা সম্পূর্ণ অংশ কাজ করে = (৯ × ৩) দিনে
= ২৭ দিনে।

সুতরাং, তিন গুণ কাজ করে = (২৭ × ৩) দিনে
= ৮১ দিনে

প্রশ্ন: ১২০ মিটার ও ১৩০ মিটার দীর্ঘ দু’টি ট্রেন যথাক্রমে ঘণ্টায় ৩৫ কি.মি. ও ৬৫ কি.মি. বেগে বিপরীত ‍দিক থেকে সমান্তরালভাবে আসতে থাকলে কতক্ষণ পর ট্রেন দু’টি পরস্পরকে অতিক্রম করবে?

সমাধান:
ট্রেন দু’টির মোট দৈর্ঘ্য = (১২০ + ১৩০) মিটার
= ২৫০ মিটার

ট্রেন দু’টির গতিবেগ = (৩৫ + ৬৫) কি.মি.
= ১০০ কি.মি.
= (১০০ × ১০০০) মিটার
= ১০০০০০ মিটার

১০০০০০ মিটার যায় ৩৬০০ সেকেন্ডে
∴ ১ মিটার যায় = ৩৬০০/১০০০০০ সেকেন্ডে
∴ ২৫০ মিটার যায় = (৩৬০০ × ২৫০)/১০০০০০ সেকেন্ডে
= ৯ সেকেন্ড

প্রশ্ন: দুইটি নল দ্বারা একটি খালি চৌবাচ্চা যথাক্রমে ২০ মিনিটে ও ২৫ মিনিটে পানি পূর্ণ করা হয়। চৌবাচ্চাটি খালি থাকা অবস্থায় দুইটি নল এক সঙ্গে খুলে দেওয়া হলো। প্রথম নলটি কখন বন্ধ করলে চৌবাচ্চাটি ১৫ মিনিটে পানি পূর্ণ হবে?

সমাধান:
২য় নল দ্বারা ২৫ মিনিটে চৌবাচ্চাটি পূর্ণ হয় ১ অংশ
∴ ২য় নল দ্বারা ১ মিনিটে চৌবাচ্চাটি পূর্ণ হয় ১/২৫ অংশ
∴ ২য় নল দ্বারা ১৫ মিনিটে চৌবাচ্চাটি পূর্ণ হয় ১৫/২৫ অংশ
= ৩/৫ অংশ

∴ অবশিষ্ট থাকে = (১ - ৩/৫) অংশ
= ২/৫ অংশ

১ম নল দ্বারা ১ বা সম্পূর্ণ অংশ পূর্ণ হয় ২০ মিনিটে
∴ ১ম নল দ্বারা ২/৫ অংশ পূর্ণ হয় (২০ × ২)/৫ মিনিটে
= ৮ মিনিটে

∴ ৮ মিনিট পর প্রথম নলটি বন্ধ করতে হবে।