১০০ দিনে বিসিএস প্রস্তুতি [বিষয়ভিত্তিক]

নিয়ম-১:
৭২ =২ × ২ × ২ × ৩ × ৩ = ২^৩ × ৩^২
৭২ সংখ্যাটির ভাজক = (৩ + ১) × (২ + ১)
                                 = ৪ × ৩
                                 = ১২টি
নিয়ম-২:
৭২  = ১ × ৭২
       = ২ × ৩৬
       = ৩ × ২৪
       = ৪ × ১৮
       = ৬ × ১২
       = ৮ × ৯

৩৬ সংখ্যাটির ভাজক = ১, ২, ৩, ৪, ৬, ৮,৯, ১২, ১৮, ,২৪,৩৬ ,৭২ = ১২টি।

এখানে
০.৫ এর a% = ০.০৫
০.৫ এর a/১০০ = ০.০৫
০.৫a/১০০ = ০.০৫
০.৫a = ০.০৫ × ১০০ 
a = (০.০৫ × ১০০)/০.৫
a = ১০

এখানে 
আসল P = ১০৪ টাকা 
সুদ I = ২৬ টাকা 
সময় n = ? 
মুনাফার হার r = (২৫/২)%
                       = (২৫/২) × (১/১০০)
                       = ১/৮

আমরা জানি,
I = Pnr 
Pnr = I
n =  I/Pr 
   = ২৬/{১০৪ × (১/৮)}
     = ২ 

ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি হবে ৬, ১২, ২৪ ও ৩০ ল.সা গু থেকে ৩ কম।  
৬, ১২, ২৪ ও ৩০ ল.সা গু = ১২০

নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি = ১২০ - ৩ = ১১৭

রিমি ও সিমি ১ দিনে করতে পারে কাজটির ১/১৬ অংশ  
রিমি ১ দিনে করতে পারে কাজটির ১/২৪ অংশ  

সিমি ১ দিনে করতে পারে কাজটির (১/১৬) - (১/২৪) অংশ 
                                                    = (৩ - ২)/৪৮ অংশ 
                                                    = ১/৪৮ অংশ  

সিমি ১/৪৮ অংশ কাজ করে ১ দিনে 
সিমি  ১/২ অংশ কাজ করে = (৪৮ × ১)/২ দিনে 
                                                        = ২৪ দিনে

2a² + a - 15 
2a² + 6a - 5a - 15
= 2a(a + 3) - 5(a + 3)
= (2a - 5)(a + 3)

হয় 
2a - 5 = 0 
2a = 5 
a = 5/2 

অথবা,
a + 3 = 0 
a = - 3 

১ম রাশি = x² + 3x
              = x(x + 3)
২য় রাশি = x² - 9
              = x² - 3² 
              = (x + 3)(x - 3)
৩য় রাশি = x² + 7x + 12
              = x² + 3x + 4x + 12 
              = x(x + 3) + 4(x + 3)
               = (x + 3)(x + 4)
নির্ণেয় গ.সা.গু = x + 3

 

ত্রিভুজের যেকোনাে দুই বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযােজক রেখাংশ তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল এবং দৈর্ঘ্যে তার অর্ধেক।
ΔABC এ AB ও AC বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D ও E, DE = 5 সে. মি.

BC = 2DE
BC = 2 × 5 = 10 

দেয়া আছে,
3x + 2y = 13............. (1)
3x - y = 7...........(2)

(1)নং - (2)নং ⇒
3x + 2y - (3x - y) = 13 - 7
3x + 2y - 3x + y = 6
3y = 6
y = 2

y এর মান (2)নং সমীকরণে বসিয়ে পাই, 
3x - y = 7 
3x - 2 = 7
3x = 7 + 2
3x = 9
x = 3

∴ নির্ণেয় সমাধান (x , y) = (3, 2)

মনেকরি 
শ্রেণির ছাত্র সংখ্যা x  জন 

5 জন বসতে বেঞ্চ লাগে 1টি  
x জন বসতে বেঞ্চ লাগে x/5 টি
মোট বেঞ্চ = 5 + x/5

আবার 
3 জন বসতে বেঞ্চ লাগে 1টি 
x - 9 জন বসতে বেঞ্চ লাগে (x - 9)/3

প্রশ্নমতে, 
5 + x/5 = (x - 9)/3
(25 + x)/5 = (x - 9)/3
5x- 45 = 75 + 3x 
5x - 3x = 75 + 45 
2x = 120
x = 60

শ্রেণির ছাত্র সংখ্যা 60 জন 

mx² + (m² + 2)x + 2m 
mx² + m²x + 2x + 2m
mx(x + m) + 2 (x + m)
(x + m) (mx + 2)

x² - 4x + 4 = 0 সমীকরণ ax² + bx + c = 0 এর সহিত তুলনা করে পাই,
a = 1; b = - 4; c = 4

b² - 4ac
= (- 4)² - 4 × 1 × 4
= 16 - 16 
= 0


নিশ্চায়কের অবস্থাভেদে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয়ের ধরন ও প্রকৃতি
ধরি a, b, c মূলদ সংখ্যা। তাহলে
ক) b² – 4ac > 0 এবং পূর্ণবর্গ হলে সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও মূলদ হবে।
খ) b² - 4ac > 0 কিন্তু পূর্ণবর্গ না হলে সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও অমূলদ হবে।
গ) b² – 4ac = 0 হলে সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব ও পরস্পর সমান হবে
ঘ) b² – 4ac < 0 অর্থাৎ ঋণাত্মক হলে সমীকরণটির বাস্তব মূল নাই।

ধরি
ছাত্রছাত্রীর সংখ্যা x  জন।
প্রত্যেকের সহপাঠীর সংখ্যা হবে (x - 1) জন।
প্রশ্নমতে,
x(x - 1) = 650
বা, x² - x - 650 = 0
বা, x² - 26x + 25x - 650 = 0
বা, x(x - 26) + 25(x - 26) = 0
(x + 25)(x - 26) = 0

হয়                                     
x + 25 = 0                              
x =- 25   [মানুষের সংখ্যা ঋণাত্মক হতে পারে না]                              

অথবা 
 x - 26 = 0
x = 26

প্রত্যেকে চাঁদা দেয় = 25 টাকা

৯ জন মহিলা = ১২ জন বালক
১ জন মহিলা = ১২/৯ জন বালক
৩ জন মহিলা = (১২ × ৩)/৯ জন বালক
                     = ৪ বালক 

৩ জন মহিলা ও ১২ জন বালক = (৪ + ১২) জন বালক  
                                               = ১৬ জন বালক 


১২ জন বালক একটি কাজ শেষ করতে পারে ১৬ দিনে
১ জন বালক একটি কাজ শেষ করতে পারে ১৬ × ১২দিনে
১৬ জন বালক একটি কাজ শেষ করতে পারে (১৬ × ১২)/১৬ দিনে
                                                                 = ১২ দিনে

মনেকরি, 
সংখ্যা দুটি x এবং y 

১ম শর্তমতে
x² + y² = 41........... (1)

২য় শর্তমতে, 
x² - y² = 9 ............. (2)

(1)নং এবং (2)নং যোগ করে পাই, 
x² + y² + x² - y²  = 41 + 9 
2x² = 50 
x² = 25 
x² = 5² 
x = 5 

(1)নং এ x এর মান বসিয়ে পাই 
x² + y² = 41
5² + y² = 41 
25 + y² = 41 
y² = 41 - 25 
y² =16
y² = 4²
y = 4 

দেয়া আছে,
x+ y + z = 5
xy + yz + zx = 8

আমরা জানি,
(x + y + z)² = x² + y² + z² + 2(xy + yz + zx)
5² =  x² + y² + z² + 8 × 2 
25  =  x² + y² + z²  + 16
25 - 16 = x² + y² + z²
9 = x² + y² + z²
x² + y² + z² = 9

রাস্তাবাদে বৃত্তাকার মাঠের ব্যাসার্ধ = 28/2 মিটার
                                                  = 14 মিটার

রাস্তাসহ মাঠের ব্যাসার্ধ = (14 + 2)মিটার
                                   = 16 মিটার

অতএব, রাস্তাসহ মাঠের পরিধি = 2πr মিটার
                                                = 2 × π × 16 মিটার
                                                = 32π মিটার

x > 0 ,y > 0
এখানে,
1/x > y/1
1/x > y
1 > xy 
 xy < 1

মনে করি,
ত্রিভুজের বাহুদ্বয় যথাক্রমে a = 7 সে.মি. ও b = 8 সে.মি. এবং এদের অন্তর্ভুক্ত কোণ θ = 60°

আমরা জানি, 
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (1/2)absinθ
                               = (1/2) × 7 × 8 × sin60°
                               = (1/2) × 7 × 8 × (√3/2)
                               = 14√3

দেয়া আছে, 
x² - y² = 21
x - y = 3.................. (1)

এখানে, 
x² - y² = 21
(x + y)(x - y) = 21 
3(x + y) =21 
x + y = 7.................. (2)

(1) নং এবং (2) নং যোগ করে পাই, 
x - y + x + y = 3 + 7 
2x = 10 
x = 5 

x এর মান সমীকরণে বসিয়ে পাই, 
5 + y = 7
y = 7 - 5 
y = 2

এখানে,
(- 3 + 7)/ 2 = 4/2 = 2

- 3 < 2x - 1 < 7
- 3 -  2 < 2x - 1 -  2 < 7 - 2
- 5 < 2x - 3 < 5 
।2x - 3। < 5 

ঘনকের ধার a হলে,
ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য = √3a
ঘনক আকৃতির পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল= 6a²

প্রশ্নানুসারে,
√3a = 8√3
a = 8

ঘনকের পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল= 6a²
                                          = 6 × 8²
                                          = 384 বর্গ সে. মি.
                           

দেয়া আছে,
৪ বছর পূর্বে মাতা পুত্রের বয়সের অনুপাত ছিল ৩ : ১

ধরি
৪ বছর পূর্বে মাতার বয়স = ৩ক বছর 
৪ বছর পূর্বে পুত্রের বয়স = ক বছর 

মাতার বর্তমান বয়স = ৩ক + ৪ বছর 
পুত্রের বর্তমান বয়স = ক + ৪ বছর 

প্রশ্নমতে,
(৩ক + ৪ + ১৬)/(ক + ৪ + ১৬) = ২/১
(৩ক + ২০)/(ক + ২০) = ২/১
৩ক + ২০ = ২ক + ৪০ 
৩ক - ২ক = ৪০ - ২০ 
ক = ২০ 

মাতার বর্তমান বয়স = ৩ক + ৪ বছর 
                               =  (৩ × ২০ + ৪) বছর 
                               = (৬০ + ৪) বছর 
                              = ৬৪  বছর 

পুত্রের বর্তমান বয়স =(২০ + ৪) বছর 
                                  = ২৪ বছর  

মাতা ও পুত্রের বর্তমান বয়সের সমষ্টি = (৬৪ + ২৪) বছর  
                                                         = ৮৮ বছর

x + 5 > 2x + 1 
2x + 1 < x + 5 
2x - x + 1 < x + 5 - x
x + 1 < 5
x - 1 + 1 < 5 - 1
x < 4 

 নির্ণেয় সমাধান সেট (- ∞ , 4)

আমরা জানি,
যদি উপাত্তের সংখ্যা n হয় আর n যদি জোড় হয় তবে মধ্যক হবে n/2 তম ও {(n/2) + 1} তম পদ দুইটির সাংখ্যিক মানের গড়।

উপাত্তগুলোকে মানের উর্ধক্রম অনুসারে সাজিয়ে পাই- 
11,15, 16, 17, 18, 20, 22, 23, 24, 33, 37, 39
 উপাত্ত সংখ্যা = 12

মধ্যক হবে 12/2 তম ও {(12/2) + 1)} তম পদ দুইটির সাংখ্যিক মানের গড়
  = 6 তম ও 7 তম পদ দুইটির সাংখ্যিক মানের গড়

∴ মধ্যক = (20 + 22)/2 = 21

ধরি,
বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ৩x সে.মি.; ৫x সে.মি. এবং ৭x সে.মি.

শর্তমতে,
৩x + ৫x + ৭x = ৬০
বা, ১৫x = ৬০
∴ x = ৪
∴ বাহুগুলো যথাক্রমে ১২ সে. মি.; ২০ সে. মি. ও ২৮ সে. মি.

নীল বল = 5টি 
সাদা বল = 6টি
কালো বল = 9টি 

মোট বল = (5 + 6 + 9)টি 
              = 20 টি 

নীল হওয়ার সম্ভাবনা = 5/20
                                 = 1/4 

নীল না হওয়ার সম্ভাবনা = 1 - 1/4
                                     = (4 - 1)/4
                                      = 3/4

প্রার্থীর সংখ্যা n = 2 জন 
ভোটার  সংখ্যা r = 5 জন 

তাঁরা ভোট দিতে পারবেন =n^r
                                        = 2⁵
                                        = 32

সুষম বহুভুজের বাহুর সংখ্যা n হলে তার কোণগুলোর সমষ্টি (2n - 4) সমকোণ।

সুতরাং পঞ্চভুজের পাঁচটি কোণের সমষ্টি = (2 × 5 - 4) সমকোণ
                                                                = (10 - 4) × 90°
                                                                = 6 × 90°
                                                                = 540°

পঞ্চভুজের পাঁচটি কোণের সমষ্টি  = ৬ সমকোণ

আমরা জানি,
দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করলে কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব বৃত্ত দুইটির ব্যাসার্ধের যোগফলের সমান।

এখানে ১ম বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 8/2 = 4 সে.মি.
এবং ২য় বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 6/2 = 3 সে.মি. 

সুতরাং কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব = 4 + 3 = 7 সে.মি

১৫% ক্ষতিতে বিক্রয়মূল্যে = ১০০ - ১৫ = ৮৫ টাকা
৮% লাভে বিক্রয়মূল্যে = ১০০ + ৮ = ১০৮ টাকা
বিক্রয়মূল্যের পার্থক্য = ১০৮ - ৮৫ = ২৩ টাকা

বিক্রয়মূল্য ২৩ টাকা বেশি হয় যখন ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা
বিক্রয়মূল্য ১ টাকা বেশি হয় যখন ক্রয়মূল্য ১০০/২৩ টাকা
বিক্রয়মূল্য ৪৮৩ টাকা বেশি হয় যখন ক্রয়মূল্য (১০০/২৩)×৪৮৩ = ২১০০ টাকা

3^{x + 2} = 27
3^{x + 2} = 3³
x + 2 = 3 
x= 3 - 2 
x = 1 

এখন 
2^{x - 2} = 2^{1 - 2}
         = 2^{- 1}
         = 1/2  

এখানে
১ম পদ a =3,
সাধারণ অন্তর d =9 - 3 = 6

আমরা জানি,
 n তম পদ = a + (n - 1)d
বা, 69 = 3 +(n - 1)×(6)
বা, 69 =3 + 6n - 6
বা, 69 = 6n - 3
বা 6n = 69 + 3
বা  6n = 72
বা n = 72/6
   n  = 12

মনে করি,
একক স্থানীয় অঙ্ক = x 
দশক স্থানীয় অঙ্ক = y  
সংখ্যাটি x + 10y 

প্রশ্নমতে,
x + y =11 .......... (1)
x - y = 1  .......... (2)

(1)নং ও (2) নং যোগ করে পাই
x + y + x - y = 11 + 1
2x = 12
x= 6

(1) নং এ x  এর মান বসিয়ে পাই 
6 + y = 11
y = 11 - 6 
y = 5

সংখ্যাটি = 6 + (10 × 5) = 56

সঠিক উত্তর: ১,২৯৩.৭৫ টাকা।
অপশনে সঠিক উত্তর না থাকায় বাতিল করা হয়েছে।
------------------------------

ধরি, 
মোট লাভের পরিমাণ = a টাকা 

ক, খ এবং গ এর বিনিয়োগের অনুপাত = ৭ : ৮ : ৯
অনুপাতের রাশিগুলোর যোগফল = ৭ + ৮ + ৯ 
                                                   = ২৪

প্রশ্নমতে,
a  এর ৮/২৪ = ১১৫০
a এর ১/৩ = ১১৫০
a/৩ = ১১৫০
a = ১১৫০ × ৩ 
a = ৩৪৫০ টাকা

গ এর লভ্যাংশের পরিমাণ
= ৩৪৫০ এর ৯/২৪
= ১২৯৩.৭৫
 

ধরি 
সংখ্যাটি 'ক'
প্রশ্নমতে 
 ক - ৪৫০ = ৬২০ - ক
বা, ২ক = ৬২০ + ৪৫০
বা, ২ক = ১০৭০
বা, ক = ৫৩৫

'AUCTION' শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে 7টি 
Vowel আছে 4টি 
Vowel চারটিকে একটি ধরে মোট বর্ণ 4টি 
4টি বর্ণকে সাজানো যায় = 4!
Vowel  চারটিকে সাজানো যায় =4!

স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে মোট সাজানো যাবে = 4! × 4! 
                                                                           =24× 24 
                                                                            = 576 

ধরি,
 উভয় দ্রব্যের ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা 
১ম দ্রব্য ২০% লাভে, 
ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = (১০০ + ২০) টাকা = ১২০ টাকা 
২য় দ্রব্য ১০% ক্ষতিতে, 
ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = (১০০ - ১০) টাকা = ৯০ টাকা 

মোট ক্রয়মূল্য = (১০০ + ১০০) টাকা = ২০০ টাকা 
মোট বিক্রয়মূল্য = (১২০ + ৯০) টাকা = ২১০ টাকা 


লাভ = (২১০ - ২০০) টাকা = ১০ টাকা 

শতকরা লাভ = {(১০/২০০) × ১০০}% = ৫%

গণিতে পাশ = ৮৫%
শুধু গণিতে পাশ = (৮৫ - ৬৫)% = ২০%
বাংলায় পাশ = ৭৫%
শুধু বাংলায় পাশ = (৭৫ - ৬৫)% = ১০%
এক এবং উভয় বিষয়ে পাশ = (২০ + ১০ + ৬৫)% = ৯৫%
∴ উভয় বিষয়ে ফেল = (১০০ - ৯৫)% = ৫%

সুষম বহুভুজের একটি অন্তঃস্থ কোণের পরিমাণ ১২০° 
সুতরাং সুষম বহুভুজের প্রতিটি বহিস্থঃ কোণ = ১৮০° - ১২০° 
                                                                   = ৬০°
আমরা জানি,
সুষম বহুভুজের বহিস্থঃ কোণের সমষ্টি = ৩৬০°

সুতরাং বহুভুজটির বাহুর সংখ্যা হবে = ৩৬০°/৬০°
                                                       = ৬

ধরি,
১ম পদ a,
সাধারণ অনুপাত = r

৩য় পদ ar^{3 - 1} = ar² = 18............(1) এবং
 ষষ্ঠ পদ = ar^{6 - 1} = ar⁵ = 144 ............(2)

(2) নং ÷ (1) নং দ্বারা পাই,
 ar⁵/ar² = 144/18
r³ = 8
∴ r = 2

ধরি
স্থানটির  দূরত্ব x  কি.মি. 

স্রোতের অনুকূলে নৌকার বেগ = 5 + 1 = 6 কি.মি./ঘণ্টা 
স্রোতের প্রতিকূলে  নৌকার বেগ = 5 - 1 = 4 কি.মি./ঘণ্টা 

প্রশ্নমতে, 
(x/6) + (x/4) = 2
(2x + 3x)/12 = 2 
5x/12 = 2 
5x = 12 × 2 
5x = 24 
x = 24/5 
x = 4.8 কি.মি.

 
√(y⁴/x⁴).√(z⁴/y⁴).√(x⁴/z⁴).
√{(y²/x²)²}.√{(z²/y²)²}.√{(x²/z²)²}
(y²/x²). (z²/y²) .(x²/z²)
= 1