Math Master

(ay/b) - (by/a) = a² - b² 
y{(a/b) - (b/a)} = a² - b² 
y{(a² - b²)/ab} = a² - b²
y/ab = 1
y = ab  

।5 - 2x। ≤ 9 
 - 9 ≤ 5 - 2x ≤ 9
- 9 - 5 ≤ 5 - 2x - 5 ≤ 9 - 5
- 14 ≤ - 2x ≤ 4
- 14/2 ≤ - 2x/2 ≤ 4/2
- 7 ≤ - x ≤ 2
(- 7) (- 1) ≥ (- x)(- 1) ≥ 2(- 1)
7 ≥ x ≥ - 2 
- 2 ≤ x ≤ 7

ধরি,
পঞ্চাশ পয়সার মুদ্রার সংখ্যা = x
পঁচিশ পয়সার মুদ্রার সংখ্যা = 120 - x

শর্তমতে,
50x + 25(120 - x) = 3500
50x + 3000 - 25x = 3500
25x = 3500 - 3000
25x = 500
x = 500/25
x = 20

পঞ্চাশ পয়সার মুদ্রার সংখ্যা 20

2x² + 5x + 3 < 0 
2x² + 2x + 3x + 3 < 0
2x(x + 1) + 3 (x + 1) < 0
(x + 1)(2x + 3) < 0

2x² + 5x + 3 < 0 সত্য হবে যদি(x + 1)< 0 এবং (2x + 3)> 0 হয়।
এখন, x + 1 < 0 এবং 2x + 3 > 0
x < - 1 এবং x > - 3/2

- 1 এর চেয়ে ছোট এবং- 3/2 এর চেয়ে বড়
সুতরাং অসমতাটির সমাধান পাওয়া যাবে. 
সুতরাং নির্ণেয় সমাধানঃ - 3/2 < x < - 1

আবার,
2x² + 5x + 3 < 0 সত্য হবে যদি x + 1 > 0 এবং 2x + 3 < 0 হয়।
এখন,  x + 1 > 0 এবং 2x + 3 < 0
x > - 1 এবং x < - 3/2
x এর মান - 1 এর চেয়ে বড় এবং - 3/2 এর চেয়ে ছোট x এর কোন মান নাই।
 এক্ষেত্রে অসমতাটির কোন সমাধান পাওয়া যাবে না।

দেয়া আছে,
3x + 2y = 18............. (1)
3x - y = 9...........(2)

(1)নং - (2)নং ⇒
3x + 2y - (3x - y) = 18 - 9
3x + 2y - 3x + y = 9
3y = 9
y = 3

y এর মান (2)নং সমীকরণে বসিয়ে পাই, 
3x - y = 9 
3x - 3 = 9
3x = 9 + 3
3x = 12
x = 4

∴ নির্ণেয় সমাধান (x , y) = (4, 3)

মনেকরি,
মাতার বয়স x বছর 
পুত্রের বয়স x /3 বছর 
পিতার বয়স x + 6

প্রশ্নমতে, 
 x + (x/3) + x + 6 ≤ 90
2x + (x/3) + 6 - 6 ≤ 90 - 6
2x + (x/3) ≤ 84
(6x + x)/3 ≤ 84
7x/3 ≤ 84
7x ≤ 84 × 3 
7x/7 ≤ (84 × 3)/7
x ≤ 36

মনেকরি,
সংখ্যা দুইটি x এবং y. 
শর্তমতে,
x - y = 7 
x² - y² = 126

x² - y² = (x + y)(x - y)
126 = 7(x + y)
(x + y) = 126/7
x + y = 18

।3x - 4। < 2 
- 2 < 3x - 4 < 2
- 2 + 4 < 3x - 4 + 4 < 2 + 4 
2 < 3x < 6
2/3 < 3x/3 < 6/3
2/3 < x < 2

মনেকরি 
সংখ্যাটি x
প্রশ্নমতে
45 - x = x + 5
x + x = 45 - 5
2x = 40
x = 20 

x > y এবং z < 0 হলে 
xz < yz 

এখানে z একটি ঋণাত্মক সংখ্যা 
ঋণাত্মক চিহ্ন দ্বারা গুণ বা ভাগ করলে অসমতার চিহ্ন পরিবর্তন হয়।

ঋণাত্মক চিহ্ন দ্বারা গুণ বা ভাগ করলে সমতার চিহ্ন পরিবর্তন হয়।  
এক্ষত্রে,
m, n, p তিনটি বাস্তব সংখ্যা। m > n এবং p ≠ 0 হলে
১ ) mp > np, যখন p > 0
২) mp < np যখন p < 0
৩)m/p > n/p যখন p > 0

সবগুলো সঠিক 

(3/a) + 4/(a + 1) = 2 
{3(a + 1) + 4a} / a(a + 1) = 2
(3a + 3 + 4a) / a(a + 1) = 2
(7a + 3) / (a² + a) = 2
2a² + 2a = 7a + 3
2a² + 2a - 7a - 3 = 0
2a² - 5a - 3 = 0
2a² - 6a + a - 3 = 0
2a(a - 3) + 1(a - 3) = 0
(a - 3)(2a + 1) = 0

হয়
a - 3 = 0
a = 3

অথবা
2a + 1 = 0
a = - 1/2

x² - 7x + 12 < 0
∴ (x - 3)(x - 4) < 0

x² - 7x + 12 < 0 সত্য হবে যদি x - 3 < 0 এবং x - 4 > 0 হয়।
এখন, x - 3 < 0 এবং x - 4 > 0
অর্থাৎ,  x < 3 এবং x > 4
3 এর চেয়ে ছোট এবং 4 এর চেয়ে বড় x এর কোন মান নাই।
এক্ষেত্রে অসমতাটির কোন সমাধান পাওয়া যাবে না।

আবার,
x² - 7x + 12 < 0 সত্য হবে যদি x - 3 > 0 এবং x - 4 < 0 হয়।
এখন,  x - 3 > 0 এবং x - 4 < 0
অর্থাৎ x > 3 এবং x < 4
x এর মান 3 এর চেয়ে বড় এবং4 এর চেয়ে ছোট।
সুতরাং অসমতাটির সমাধান পাওয়া যাবে.  

সুতরাং নির্ণেয় সমাধানঃ 3 < x < 4

x² - 6x + 9 = 0 সমীকরণ ax² + bx + c = 0 এর সহিত তুলনা করে পাই,
a = 1; b = - 6; c = 9

b² - 4ac
= (- 6)² - 4 × 1 × 9
= 36 - 36 
= 0


নিশ্চায়কের অবস্থাভেদে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয়ের ধরন ও প্রকৃতি
ধরি a, b, c মূলদ সংখ্যা। তাহলে
ক) b² – 4ac > 0 এবং পূর্ণবর্গ হলে সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও মূলদ হবে।
খ) b² - 4ac > 0 কিন্তু পূর্ণবর্গ না হলে সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও অমূলদ হবে।
গ) b² – 4ac = 0 হলে সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব ও পরস্পর সমান হবে
ঘ) b² – 4ac < 0 অর্থাৎ ঋণাত্মক হলে সমীকরণটির বাস্তব মূল নাই।

মনে করি
সংখ্যাটি x
প্রশ্নমতে,
5x < 2x + 18
বা, 5x - 2x < 2x + 18 - 2x 
বা, 3x < 18
বা, x < 6
যেহেতু সংখ্যাটি ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা
∴ সংখ্যাটির সম্ভাব্য মান 0 < x < 6

ax² + bx + c = 0 সমীকরণের 
b² – 4ac কে দ্বিঘাত সমীকরণটির নিশ্চায়ক বলে। 
ইহা সমীকরণটির মূলদ্বয়ের ধরণ ও প্রকৃতি নির্ণয় করে।
নিশ্চায়কের অবস্থাভেদে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয়ের ধরন ও প্রকৃতি

ধরি a, b, c মূলদ সংখ্যা। তাহলে
ক) b² – 4ac > 0 এবং পূর্ণবর্গ হলে সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও মূলদ হবে।
খ) b² - 4ac > 0 কিন্তু পূর্ণবর্গ না হলে সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও অমূলদ হবে।
গ) b² – 4ac = 0 হলে সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব ও পরস্পর সমান হবে
ঘ) b² – 4ac < 0 অর্থাৎ ঋণাত্মক হলে সমীকরণটির বাস্তব মূল নাই।

1/।1 - 5x। ≥ 3  
।1 - 5x। ≤ 1/3
ধনাত্মক চিহ্ন নিয়ে পাই,
1 - 5x ≤ 1/3
1 - 5x - 1 ≤ - 1 + 1/3
- 5x ≤ (- 3 + 1)/3
- 5x ≤ - 2/3
5x ≥ 2/3
x ≥ 2/15
2/15 ≤ x

ঋণাত্মক চিহ্ন নিয়ে পাই, 
- (1 - 5x) ≤ 1/3
- 1 + 5x ≤ 1/3 
- 1 + 5x + 1 ≤ 1 + 1/3
5x ≤ (3+1)/3
x ≤ 4/15

নির্ণেয় সমাধান = (2/15) ≤ x ≤ (4/15)

মনে করি,
একক স্থানীয় অঙ্ক = x 
দশক স্থানীয় অঙ্ক = y  
সংখ্যাটি x + 10y 

প্রশ্নমতে,
x + y = 9 .......... (1)
x - y = 1  .......... (2)

(1)নং ও (2) নং যোগ করে পাই
x + y + x - y = 9 + 1
2x = 10
x= 5

(1) নং এ x  এর মান বসিয়ে পাই 
5 + y = 9
y = 9 - 5 
y = 4

সংখ্যাটি = 5 + (10 × 4) = 45