প্রাইমারি ডেইলি কুইজ

প্রশ্ন: যদি ⁿC₈ = ⁿC₂ হয়, তাহলে ⁿC₄ এর মান কত?

সমাধান: 
আমরা জানি, 
ⁿC_a = ⁿC_b হলে, a = b অথবা a + b = n হয় 
∴ ⁿC₈ = ⁿC₂
⇒ 8 + 2 = n
∴ n = 10

এখন, 
ⁿC₄ = ¹⁰C₄ 
= 210  ।

প্রশ্ন: 'EQUATION' শব্দের অক্ষরগুলো থেকে মোট কতটি 6 অক্ষরবিশিষ্ট শব্দ গঠন করা যাবে? 

সমাধান: 
EQUATION শব্দটিতে বর্ণ আছে = 8 টি যার সবগুলোই ভিন্ন।
∴ 6 টি করে বর্ণ নিয়ে শব্দ গঠন করা যাবে = ⁸P₆ 
= 20160 টি ।

প্রশ্ন: ৭ জন ব্যাক্তিকে একটি গোল টেবিলে কতভাবে বসানো যাবে? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
n সংখ্যক ব্যক্তিকে একটি গোল টেবিলে বসানো যাবে = (n - 1)! 
∴ ৭ জনকে নিয়ে বৈঠক করা যায় = (৭ - ১)!
= ৬!
= ৭২০  ।

প্রশ্ন: 'INTERNET' শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা 'HOUSE' শব্দটির বিন্যাস সংখ্যার কত গুণ? 

সমাধান: 
INTERNET শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে = 8 টি যার মধ্যে, N আছে 2 টি, T আছে 2 টি এবং E আছে 2 টি। 
∴ INTERNET শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা = 8!/(2! × 2! × 2!)
= 5040 

আবার, 
HOUSE শব্দে মোট বর্ণ আছে = 5 টি যার সবগুলো ভিন্ন ভিন্ন। 
∴ HOUSE শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা = 5! = 120 

∴ 'INTERNET' শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা 'HOUSE' শব্দটির বিন্যাস সংখ্যার = 5040/120
= 42 গুণ ।

প্রশ্ন: ১৪ জন খেলোয়াড় থেকে ১১ জন খেলোয়াড় বিশিষ্ট দল তৈরি করা যায় কত উপায়ে? 

সমাধান: 
১৪ জন খেলোয়াড় থেকে ১১ জন খেলোয়াড় বিশিষ্ট দল তৈরি করা যায় = ^১৪C_১১ উপায়ে 
= ৩৬৪ উপায়ে । 

প্রশ্ন: 3, 8, 1 ও 4 অংকগুলো একবার ব্যবহার করে 4000 এর চেয়ে বড় কতগুলো সংখ্যা তৈরি করা যায়? 

সমাধান: 
প্রথম সংখ্যাটি 4 বা 8 এর যেকোনো একটি হতে পারে। 
এখন, 
3, 8, 1 ও 4 একবার ব্যবহার করে অংকগুলো দ্বারা ৪000 এর চেয়ে বড় সংখ্যা তৈরি করা যায় = ²P₁ × 3! 
= 12  । 

প্রশ্ন: 'COMBINATION' শব্দটির বর্ণগুলোর মধ্যে স্বরবর্ণের অবস্থান পরিবর্তন না করে বর্ণগুলোকে মোট কত রকমে উপায়ে সাজানো যেতে পারে? 

সমাধান: 
COMBINATION শব্দটিতে মোট 11 টি অক্ষর আছে, যার মধ্যে (O, I, A, I, O) 5 টি স্বরবর্ণ এবং 6 টি ব্যঞ্জনবর্ণ আছে। 
যেহেতু স্বরবর্ণগুলো এদের অবস্থান পরিবর্তন করবে না, কাজেই এদের স্থান নির্দিষ্ট করে বাকি 6 টি ব্যঞ্জনবর্ণ দ্বারা সাজানোর সংখ্যা বের করতে হবে যার মধ্যে দুই বার N থাকবে।
∴ সাজানোর সংখ্যা হবে = 6!/2!
= 360 টি ।

প্রশ্ন: 13 টি পুস্তক থেকে 7 টি কত প্রকারে বাছাই করা যায় যেখানে 2 টি পুস্তক সর্বদাই অন্তর্ভুক্ত থাকবে? 
 
সমাধান: 
13 টি পুস্তক হতে সর্বদা দুইটি অন্তর্ভুক্ত রেখে 7 টি বাছাই করা যায় =  ^{(13 - 2)}C_{(7 - 2)} 
= ¹¹C₅ 
= 462  ।

প্রশ্ন: 4 জন পুরুষ এবং 3 জন মহিলার মধ্যে থেকে কমপক্ষে একজন মহিলার সমন্বয়ে 4 জনের একটি কমিটি কত পদ্ধতিতে করা যেতে পারে? 

সমাধান: 
4 জন পুরুষ ও 3 জন মহিলা থেকে 
ন্যূনতম 1 জন মহিলা সম্বলিত কমিটি গঠনের পদ্ধতির সংখ্যা- 
3 পুরুষ এবং 1 মহিলা + 2 পুরুষ এবং 2 মহিলা + 1 পুরুষ এবং 3 মহিলা 
= ⁴C₃ × ³C₁ + ⁴C₂ × ³C₂ + ⁴C₁ × ³C₃
= 4 × 3 + 6 × 3 + 4 × 1
= 12 + 18 + 4
= 34  ।

প্রশ্ন: 'ALGEBRA' শব্দটির স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে মোট কতভাবে সাজানো যাবে? 

সমাধান: 
'ALGEBRA' শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে = 7 টি
Vowel আছে = 3 টি
Vowel তিনটিকে একটি ধরে মোট বর্ণ = 5 টি
5টি বর্ণকে সাজানো যায় = 5! 
Vowel তিনটিকে সাজানো যায় = 3!/2! = 3 [ A আছে 2টি] 

∴ স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে মোট সাজানো যাবে = 5! × 3 
= 120 × 3 
= 360 । 

প্রশ্ন: যদি ⁸P_r = 1680 হয়, তাহলে r = কত? 

সমাধান: 
⁸P_r = 1680 
⇒ 8!/(8 - r)! = 1680
⇒ (8 - r)! = 8!/1680 
⇒ (8 - r)! = 40320/1680
⇒ (8 - r)! = 24 
⇒ (8 - r)! = 4! 
⇒ (8 - r) = 4 
⇒ r = 8 - 4
∴ r = 4

প্রশ্ন: স্বরবর্ণগুলোকে কেবল জোড় স্থানে রেখে EXAMPLE শব্দটিকে কতভাবে সাজানো যায়? 

সমাধান: 
এখানে,
মোট বর্ণ আছে = 7 টি
স্বরবর্ণ আছে (E, A, E) = 3 টি এবং যার মধ্যে 2 টি E এবং 1 টি A. 
ব্যঞ্জনবর্ণ আছে = 4 টি 

এখন, 
স্বরবর্ণ 3 টি জোড় স্থানে রেখে বিন্যাস সংখ্যা = 3!/2! = 3 
বাকি 4 টি বর্ণ 4 টি বিজোড় স্থানে রেখে বিন্যাস সংখ্যা = ⁴P₄ = 4! = 24 
∴ স্বরবর্ণগুলোকে কেবল জোড় স্থানে রেখে মোট বিন্যাস সংখ্যা = 3 × 24
= 72  ।

প্রশ্ন: একটি হল রুমের ৫ টি দরজা রয়েছে। এক ব্যক্তি কত উপায়ে একটি দরজা দিয়ে প্রবেশ করে অন্য দরজা দিয়ে বের হতে পারবেন? 
 
সমাধান: 
যেহেতু অন্য দরজা দিয়ে বের হতে হবে, তাই যে দরজা দিয়ে ঢুকবে সে দরজা দিয়ে বের হতে পারবে না। 
অর্থাৎ, ঢুকার সময় দরজা সংখ্যা ৫ টি এবং বের হওয়ার সময় দরজা সংখ্যা ৪ টি
∴ উপায় সংখ্যা = ৫ × ৪
= ২০  । 

প্রশ্ন: RAJSHAHI ও BARISAL শব্দের বিন্যাস সংখ্যার অনুপাত কত? 

সমাধান: 
RAJSHAHI শব্দের বিন্যাস সংখ্যা = 8!/(2! × 2!) = 10080 
আবার, 
BARISAL শব্দের বিন্যাস সংখ্যা = 7!/2! = 2520 

∴ RAJSHAHI ও BARISAL শব্দের বিন্যাস সংখ্যার অনুপাত = 10080 : 2520 
= 4 : 1  । 

প্রশ্ন: EQUITY শব্দের অক্ষরগুলো কতভাবে সাজানো যায় যেখানে স্বরবর্ণ গুলো একত্রে থাকবে? 

সমাধান: 
EQUITY শব্দটিতে মোট অক্ষর আছে = 6 টি যাদের মধ্যে 3 টি (E, U, I) স্বরবর্ণ এবং বাকী 3 টি ব্যাঞ্জনবর্ণ। 
∴ স্বরবর্ণগুলোকে একটি বর্ণ ধরে সাজানোর উপায় = 4!
= 24 
আবার, 
স্বরবর্ণগুলোকে নিজেদের মধ্যে সাজানো যায় = 3! উপায়ে
= 6 উপায়ে 

∴ সাজানোর মোট উপায় = (24 × 6)
= 144  ।

প্রশ্ন: একটি কক্ষে ১০টি চেয়ার খালি আছে। চার জন লোক কতভাবে এই ১০টি চেয়ারে বসতে পারবে? 

সমাধান: 
এখানে, 
চেয়ারের সংখ্যা = ১০ টি 
লোকের সংখ্যা = ৪ জন 
∴ চেয়ারে বসার উপায় = ^১০P_৪
= ৫০৪০  । 

প্রশ্ন: ⁿP₄ = 5 × ⁿP₃ হয়, তবে n এর মান কত? 

সমাধান: 
ⁿP₄ = 5 × ⁿP₃
বা, ⁿp₄/ⁿp₃ = 5 
বা, {n(n - 1)(n - 2)(n - 3)}/{n(n - 1)(n - 2)} = 5 
বা, n - 3 = 5 
বা, n = 5 + 3
∴ n = 8

প্রশ্ন: 3টি আঙ্গুলে 5টি আংটি কত উপায়ে পরানো যেতে পারে? 

সমাধান: 
এখানে,
আঙ্গুলের সংখ্যা n = 3
আংটির সংখ্যা r = 5

আংটিগুলো আঙ্গুলে পরানো যেতে পারে  =n^r
= 3⁵

প্রশ্ন: একটি টুর্নামেন্টে ৭ টি দল অংশগ্রহণ করেছে, একক লীগ পদ্ধতিতে খেলা হলে মোট কতটি খেলা পরিচালনা করতে হবে?

সমাধান: 
৭ টি দল অংশগ্রহণ করে একক লীগ পদ্ধতিতে খেলা হলে প্রত্যেকে প্রত্যেকের সংখ্যা ১ টি করে খেলা খেলবে। 
তাহলে মোট খেলা হবে = ^৭C_২ টি 
= ২১টি ।

প্রশ্ন: একটি প্রশ্নপত্রে ক বিভাগ ও খ বিভাগের প্রত্যেকটিতে  5 টি করে মোট 10 টি প্রশ্ন আছে। একজন পরীক্ষার্থী কোনো বিভাগ থেকে 4 টির বেশি প্রশ্ন না নিয়ে মোট 6 টি প্রশ্ন কত উপায়ে বাছাই করতে পারবে? 

সমাধান: 
6 টি প্রশ্ন বাছাই করার ক্ষেত্রে, 
(i) ক বিভাগ হতে 2 টি ও খ বিভাগ হতে 4 টি 
(ii) ক বিভাগ হতে 3 টি ও খ বিভাগ হতে 3 টি
(iii) ক বিভাগ হতে 4 টি ও খ বিভাগ হতে 2টি প্রশ্ন বাছাই করতে পারবে। 

(i) এর ক্ষেত্রে বাছাই করার উপায় = ⁵C₂ × ⁵C₄
= 10 × 5
= 50 
আবার, 
(ii) এর ক্ষেত্রে বাছাই করার উপায় = ⁵C₃ × ⁵C₃
= 10 × 10
= 100 
অনুরূপভাবে, 
(iii) এর ক্ষেত্রে বাছাই করার উপায় = ⁵C₄ × ⁵C₂
= 5 × 10
= 50

∴ বাছাই করার মোট উপায় = 50 + 100 + 50
= 200  ।