Math Master

প্রশ্ন: একটি ঘনকের আয়তন ৮০০০ ঘনসে.মি. হলে ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
ঘনকের এক বাহুর দৈর্ঘ্য ক একক হলে এর আয়তন ক^৩ ঘনএকক

প্রশ্নমতে,
ক^৩ = ৮০০০
∴ ক = ২০

তাহলে, ঘনকটির এক বাহুর দৈর্ঘ্য = ২০ সে.মি.
∴ ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য হবে = ২০√৩ সে.মি.

প্রশ্ন: একটি আয়তকার ঘনবস্তুর সম্পূর্ণ পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল 846 বর্গ সে.মি.। যদি ঘনবস্তুটির দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতার অনুপাত 5 : 4 : 3 হয়, তবে এর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি,
আয়তকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য(a), প্রস্থ(b) ও উচ্চতা(c) যথাক্রমে 5x, 4x ও 3x সে.মি.

আমরা জানি,
আয়তকার ঘনবস্তুর সম্পূর্ণ পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = 2 (ab + bc + ca)
⇒ 846 = 2(5x ⋅ 4x + 4x ⋅ 3x + 3x ⋅ 5x)
⇒ 2(20x² + 12x² + 15x²) = 846
⇒ 47x² = 846/2
⇒ 47x² = 423
⇒ x² = 9
∴ x = 3

অতএব, দৈর্ঘ্য = 5 × 3 = 15 সে.মি.

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ 7 সে. মি. এবং বৃত্তকলা কেন্দ্রে 60° কোণ উৎপন্ন করে । বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ 7 সে. মি.

আমরা জানি,
বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল = (θ/360°) × πr²
= (60°/360°) × 3.1416 × 7²
= (49/6) × 3.1416
= 25.656
= 25.66 বর্গ সে. মি.

∴ বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল প্রায় 25.66 বর্গ সেন্টিমিটার।

প্রশ্ন: একটি সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল ৩৬ বর্গমিটার এবং সামান্তরিকের উচ্চতা ৪ মিটার হলে, সামান্তরিকের ভূমি কত সে.মি?

সমাধান:
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = ৩৬ বর্গমিটার
সামান্তরিকের উচ্চতা = ৪ মিটার
সামান্তরিকের ভূমি = ৩৬/৪ = ৯ মিটার
= (৯ × ১০০) সে.মি.
= ৯০০ সে.মি.

প্রশ্ন:

ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান: 
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = 40² = 1600
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = π × r² 
= 3.14 × 20² [r = 40/2 = 20 cm]
= 1256

∴ ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল = 1600 - 1256
= 344 বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন: 28 ফুট ব্যাসের একটি বৃত্তাকার ক্ষেত্রকে একই ক্ষেত্রফলের একটি বর্গক্ষেত্র করলে, বর্গক্ষেত্রের যে কোনো এক দিকের বাহুর দৈর্ঘ্য কত হবে? 

সমাধান: 
বৃত্তাকার ক্ষেত্রের ব্যাসার্ধ = 28/2 ফুট = 14 ফুট

বৃত্তাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = πr²
= π × 14 × 14
= (22/7) × (14 × 14)
= 616 বর্গফুট 
∴ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = 616 বর্গফুট 

∴ বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য = √616 = 2√154 ফুট

প্রশ্ন: একটি অর্ধবৃত্তাকার জানালার ব্যাসার্ধ 56 সেমি হলে জানালাটির পরিসীমা কত হবে?

সমাধান:
এখানে,
ব্যাসার্ধ, r = 56 মি.

আমরা জানি,
অর্ধবৃত্তের পরিসীমা = বৃত্তের অর্ধ পরিধি + ব্যাস

পরিসীমা = (2πr/2) + 2r
= πr + 2r
= (22/7) × 56 + 2 × 56
= 176 + 112
= 288 সে.মি.

প্রশ্ন: n সংখ্যক বাহু বিশিষ্ট সুষম বহুভুজের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য a একক হলে, বহুভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র নিচের কোনটি?

সমাধান:
n সংখ্যক বাহু বিশিষ্ট সুষম বহুভুজের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য a একক হলে, বহুভুজের ক্ষেত্রফল = {(na²)/4}.cot(180º/n)

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য 50 সে. মি. ও ভূমির দৈর্ঘ্য 60 সে.মি.। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফলের এক-চতুর্থাংশের সমান ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট নতুন একটি ত্রিভুজ অঙ্কন করা হলো। নতুন ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি, b = 60 সে. মি.
সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য, a = 50 সে. মি.

আমরা জানি,
∴ সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (b/4) × √(4a² - b²)
= (60/4) × √(4 × 50² - 60²)
= (15) × √(10000 - 3600)
= (15) × √6400
= 15 × 80
= 1200 বর্গ সে.মি.

∴ ক্ষেত্রফলের এক-চতুর্থাংশ = 1200/4 = 300 বর্গ সে.মি.
∴ নতুন ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = 300 বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন: সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা ৩৬ মিটার হলে এর ক্ষেত্রফল কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা ৩৬ মিটার
সমবাহু ত্রিভুজের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = ৩৬/৩ মিটার = ১২ মিটার

সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল =(√৩/৪) × (বাহু)^২ বর্গমিটার
∴ সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল =(√৩/৪) × ১২^২ বর্গমিটার
= (√৩/৪) × ১৪৪ বর্গমিটার
= ৩৬√৩ বর্গমিটার

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য ৫ মি., প্রস্থ ৩ মি. এবং উচ্চতা ২ মি. হলে বস্তুটি কত লিটার পানি দ্বারা পূর্ণ হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
দৈর্ঘ্য = ৫ মি.
= ৫০০ সে.মি.
প্রস্থ = ৩ মি.
= ৩০০ সে.মি.
উচ্চতা = ২ মি.
= ২০০ সে.মি.

আমরা জানি,
আয়তন = (দৈর্ঘ্য × প্রস্থ × উচ্চতা)
= (৫০০ × ৩০০ × ২০০) ঘন সে.মি.
= ৩০০০০০০০ ঘন সে.মি.
= ৩০০০০০০০/১০০০ লিটার [যেহেতু, ১ লিটার = ১০০০ ঘন সে.মি.]
= ৩০০০০ লিটার