ডেইলি কুইজ [২০০ দিন]

প্রশ্ন: একটি চাকার পরিধি ৩ মিটার। ১৫ কিলোমিটার পথ অতিক্রম করতে চাকাটি কতবার ঘুরবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
১৫ কিলোমিটার = ১৫০০০ মিটার

৩ মিটার গেলে ঘুরে = ১ বার
∴ ১ মিটার গেলে ঘুরে = ১/৩ বার
∴ ১৫০০০ মিটার গেলে ঘুরে = (১ × ১৫০০০)/৩ বার
= ৫০০০ বার

প্রশ্ন: দুটি সমান্তরাল রেখাকে অপর একটি রেখা তির্যকভাবে ছেদ করলে ছেদক রেখার বিপরীতপাশে যে কোণ উৎপন্ন করে তাকে বলা হয়-

সমাধান:
• দুটি সমান্তরাল রেখাকে অপর একটি রেখা তির্যকভাবে ছেদ করলে ছেদক রেখার বিপরীতপাশে যে কোণ উৎপন্ন করে তাকে বলা হয় একান্তর কোণ।

এখানে AB, CD সমান্তরাল রেখাদ্বয়কে EF তির্যক রেখাটি ছেদ করেছে ফলে EF রেখার বিপরীত পাশে অবস্থিত ∠APQ, ∠PQD কোণদ্বয় একান্তর কোণ।
আবার, ∠BPQ, ∠CQP কোণদ্বয় একান্তর কোণ।

- দুটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ বা ১৮০° হলে একটিকে অপরটির সম্পূরক কোণ বলে।
- দুটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি এক সমকোণ বা ৯০° হলে একটিকে অপরটির পূরক কোণ বলে।
- দুটি কোণের একই শীর্ষবিন্দু এবং একটি সাধারণ বাহু থাকলে কোণ দুইটির একটিকে অপরটির সন্নিহিত কোণ করে।

প্রশ্ন: O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের AB স্পর্শক এবং OA স্পর্শ বিন্দুগামী ব্যাসার্ধ। ∠P = 52° হলে ∠Q এর মান কত?

সমাধান:
OA স্পর্শ বিন্দুগামী ব্যাসার্ধ হলে ∠A = 90°
∴ ∠A + ∠B + ∠O = 180°
∴ 90° + Q + 52° = 180°
⇒ Y + 142° = 180°
⇒ Y = 180° - 142°
∴ Y = 38°

প্রশ্ন: নিচের কোনটি সঠিক?

সমাধান:
- একটি রেখার উপর দুইটি ভিন্ন বিন্দু হলে ঐ বিন্দু দুইটিসহ তাদের অন্তর্বর্তী সকল বিন্দুর সেটকে বিন্দু দুইটির সংযোজক রেখাংশ বলে।
- ভিন্ন বিন্দু দুইটিকে রেখাংশের প্রান্তবিন্দু বলে। আবার প্রান্তবিন্দুদ্বয়ের মধ্যবর্তী সকল বিন্দু ঐ রেখাংশের উপর অবস্থিত।
- অর্থাৎ, রেখাংশ হলো রেখার একটি সসীম অংশ। তাই রেখাংশের দুইটি প্রান্তবিন্দু থাকে।
- রেখার কোনো প্রান্তবিন্দুর নেই।
- রশ্মির একটি প্রান্তবিন্দু আছে।
- একটি বিন্দু থেকে অসংখ্য রশ্মি আঁকা যায়।

প্রশ্ন: ১৫২° কোণের সম্পূরক কোণের দ্বিগুণ কত?

সমাধান:
১৫২° কোণের সম্পূরক কোণ = ১৮০° - ১৫২° = ২৮°
২৮° কোণের অর্ধেক = ২৮° × ২ = ৫৬°

প্রশ্ন: ABDC একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ। ∠BAC ও ∠BDC এর সমষ্টি কত হবে?

সমাধান:

আমরা জানি
বৃত্তে অন্তর্লিখিত চতুর্ভুজের যেকোনো দুইটি বিপরীত কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ।

ABDC বৃত্তস্থ চতুর্ভুজে ∠BAC ও ∠BDC পরস্পর বিপরীত কোণ।
∠BAC ও ∠BDC এর সমষ্টি দুই সমকোণ বা ১৮০°।

প্রশ্ন: ৩৫ সে.মি. ব্যাসার্ধের বৃত্তের পরিধি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r = ৩৫ সে.মি.

∴ বৃত্তের পরিধি = ২πr
= ২ × (২২/৭) × ৩৫
= ২ × ২২ × ৫
= ২২০ সে.মি.

∴ বৃত্তের পরিধি ২২০ সে.মি.।

প্রশ্ন: দুইটি বৃত্তের ব্যসার্ধের অনুপাত 3 : 4 হলে বৃত্ত দুটির বৃত্ত দুটির ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত হবে?

সমাধান:
ধরি,
বৃত্ত দুইটির ব্যসার্ধ 3x এবং 4x।
∴ বৃত্ত দুইটির ক্ষেত্রফলের অনুপাত = π(3x)² : π(4x)²
= 9πx² : 16πx²
= 9 : 16

প্রশ্ন: একটি বিন্দুকে কেন্দ্র করে কয়টি বৃত্ত অংকন করা যাবে?

সমাধান:
• বৃত্ত সম্পর্কিত উপপাদ্য ও অনুসিদ্ধান্ত:
- একটি বিন্দু দিয়ে অসংখ্য বৃত্ত অংকন করা যাবে ।
- বৃত্তের ভিতরে অবস্থিত কোনো বিন্দু থেকে বৃত্তের স্পর্শক আঁকা যায় না।
- বিন্দুটি যদি বৃত্তের ওপর থাকে তাহলে উক্ত বিন্দুতে বৃত্তের একটিমাত্র স্পর্শক অঙ্কন করা যায়।
- স্পর্শকটি বর্ণিত বিন্দুতে অঙ্কিত ব্যাসার্ধের উপর লম্ব হয়।
- বিন্দুটি বৃত্তের বাইরে অবস্থিত হলে তা থেকে বৃত্তে দুইটি স্পর্শক আঁকা যাবে।
- বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে ঐ বৃত্তে দুইটি ও কেবল দুইটি স্পর্শক আঁকা যায়।
- একটি ত্রিভুজে তিনটি বহির্বৃত্ত আঁকা যায়।

প্রশ্ন: ইউক্লিড প্রদত্ত স্বীকার্য কোনটি?

সমাধান:
ইউক্লিড প্রদত্ত পাঁচটি স্বীকার্য হলো:
স্বীকার্য-১: দুইটি বিন্দু দিয়ে কেবলমাত্র একটি সরলরেখা আঁকা যায়।
স্বীকার্য-২: যেকোনো সরল রেখাংশের প্রান্তদ্বয়কে উভয়দিকে যতদূর ইচ্ছা বর্ধিত করা যায়।
স্বীকার্য-৩: যেকোনো বিন্দুকে কেন্দ্র করে যেকোনো ব্যাসার্ধ নিয়ে কেবলমাত্র একটি বৃত্ত আঁকা যায়।
স্বীকার্য-৪: সকল সমকোণ পরস্পর সমান।
স্বীকার্য-৫: একটি সরলরেখা দুইটি সরলরেখাকে ছেদ করলে এবং ছেদকের একই পাশের অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টি দুই সমকোণের থেকে কম হলে, রেখা দুইটিকে যথেচ্ছভাবে বর্ধিত করলে যেদিকে কোণের সমষ্টি দুই সমকোণের থেকে কম, সেদিকে মিলিত হয়।

প্রশ্ন: 64 মিটার পরিসীমা বিশিষ্ট একটি বর্গক্ষেত্র বৃত্তে অন্তর্লিখিত হয়েছে। বৃত্তটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:

ABCD বর্গের পরিসীমা = 64 মিটার
∴ ABCD বর্গের বাহু = 64/4 = 16 মিটার
এখন,
কর্ণ = ব্যাস = বাহু × √2 = 16√2
ব্যাসার্ধ = 16√2/2 = 8√2

∴ ক্ষেত্রফল = π(8√2)²
= 128π বর্গমিটার

প্রশ্ন: ৮০° কোণটি হলো-

সমাধান:
৯০° অপেক্ষা অপেক্ষা ছোট কোণকে সূক্ষ্মকোণ বলে।
৯০° অপেক্ষা বড় কিন্তু ১৮০° অপেক্ষা ছোট কোণকে স্থূলকোণ বলে।
১৮০° অপেক্ষা বড় কিন্তু ৩৬০° অপেক্ষা ছোট কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলে।
একটি সরলরেখার উপর আরেকটি সরলরেখা লম্বভাবে দন্ডায়মান হলে যে দুইটি সন্নিহিত কোণ উৎপন্ন হয় এবং তাদের মান সমান হলে (৯০°) তাদের প্রত্যেককেটিকে সমকোণ বলে।

∴ ৮০° কোণটি হলো সূক্ষ্মকোণ।

প্রশ্ন: বৃত্তের ক্ষেত্রফল 32π হলে এর পরিসীমা কত?

সমাধান:
প্রশ্নমতে
πr² = 32π  [বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²]
⇒ r² = 32
⇒ r = √32
= 4√2

∴ বৃত্তের পরিসীমা = 2πr
= 2π(4√2)
= 8π√2

প্রশ্ন: ৪১° কোণের পূরক কোণ কত ডিগ্রি?

সমাধান:
আমরা জানি,
দুইটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি এক সমকোণ (৯০°) হলে , ঐ দুইটি কোণের একটিকে অপরটির পূরক কোণ বলে।

∴ ৪১° এর পূরক কোণ = ৯০° - ৪১°
= ৪৯°

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের পরিধি ও ক্ষেত্রফল যথাক্রমে ৮৮ সে.মি. ও ৬১৬ বর্গসে.মি.। বৃত্তটির বৃহত্তম জ্যা-এর দৈর্ঘ্য কত সে.মি.?

সমাধান:
সমাধান:
আমরা জানি,
বৃত্তের পরিধি = ২πr একক
এবং বৃত্তের ক্ষেত্রফল= πr² বর্গ একক

প্রশ্নমতে,
πr²/২πr = ৬১৬/৮৮
⇒ r/২ = ৬১৬/৮৮
⇒ r = (৬১৬ × ২)/৮৮ = ১৪

∴ বৃত্তটির বৃহত্তম জ্যা (ব্যাস)-এর দৈর্ঘ্য = ২r
= (২ × ১৪)
= ২৮ সে.মি.

প্রশ্ন: দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে ছেদ বা স্পর্শ না করলে বৃত্ত দুইটির সর্বাধিক সংখ্যায় সাধারণ স্পর্শক অংকন করা যায় ____ টি।

সমাধান:

দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে ছেদ বা স্পর্শ না করলে বৃত্ত দুইটির সর্বাধিক সংখ্যায় সাধারণ স্পর্শক অংকন করা যায় ৪ টি।

প্রশ্ন: একটি বৃত্ত ও একটি সরলরেখার সর্বাধিক কয়টি ছেদবিন্দু থাকতে পারে?

সমাধান:

একটি বৃত্ত ও একটি সরলরেখার সর্বাধিক দুইটি ছেদবিন্দু থাকতে পারে।

প্রশ্ন: অর্ধবৃত্তস্থ কোণের পরিমাণ কত ডিগ্রি?

সমাধান:
অর্ধবৃত্তস্থ কোণ সমান এক সমকোণ অর্থাৎ ৯০ ডিগ্রি অর্থাৎ এক সরলকোণের অর্ধেক।
সুতরাং, অর্ধবৃত্তস্থ কোণ = ৯০°

প্রশ্ন: O কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তে ∠BAC কোণের মান কত?



সমাধান:
আমরা জানি,
বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক।

∴ ∠BAC = (1/2) ∠BOC
= (1/2) × 104°
= 52°

প্রশ্ন: বৃত্তের বাইরে অবস্থিত কোনো একটি বিন্দু থেকে একটি বৃত্তে সর্বোচ্চ কয়টি স্পর্শক আঁকা যাবে?

সমাধান:
- বৃত্তের বাইরে অবস্থিত কোনো একটি বিন্দু থেকে একটি বৃত্তে দুইটি স্পর্শক আঁকা যাবে।

বৃত্ত সম্পর্কিত উপপাদ্য ও অনুসিদ্ধান্ত:
- বৃত্তের ভিতরে অবস্থিত কোনো বিন্দু থেকে বৃত্তের স্পর্শক আঁকা যায় না।
- বিন্দুটি যদি বৃত্তের ওপর থাকে তাহলে উক্ত বিন্দুতে বৃত্তের একটিমাত্র স্পর্শক অঙ্কন করা যায়।
- স্পর্শকটি বর্ণিত বিন্দুতে অঙ্কিত ব্যাসার্ধের উপর লম্ব হয়।
- একটি বিন্দু দিয়ে অসংখ্য বৃত্ত অংকন করা যাবে ।
- বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে ঐ বৃত্তে দুইটি ও কেবল দুইটি স্পর্শক আঁকা যায়।
- একটি ত্রিভুজে তিনটি বহির্বৃত্ত আঁকা যায়।

প্রশ্ন: ৮৭° কোণের বিপ্রতীপ কোণ কত?

সমাধান:
বিপ্রতীপ কোণ :
যদি দুইটি কোণের একটির বাহুদ্বয় অপরটির বাহুদ্বয়ের বিপরীত রশ্মি হয় এবং কোণ দুইটির শীর্ষবিন্দু একই হয়, তবে কোণ দুইটিকে বিপ্রতীপ কোণ বলে।

আমরা জানি,
বিপ্রতীপ কোণ পরস্পর সমান।
অর্থাৎ
৮৭°কোণের বিপ্রতীপ কোণ = ৮৭°

প্রশ্ন: কোন বৃত্তের ব্যাসার্ধ 6 গুণ বৃদ্ধি করলে ক্ষেত্রফল কতগুণ বৃদ্ধি পাবে?

সমাধান:
ধরি,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ r
∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²
ব্যাসার্ধ 6গুণ বৃদ্ধি পেলে বৃত্তের নতুন ব্যাসার্ধ = (6r + r) = 7r

∴ ঐ বৃত্তের ক্ষেত্রফল হবে = π(7r)² = 49πr²
ক্ষেত্রফল বেড়ে যাবে = 49πr² - πr² = 48πr²
∴ 48 গুণ বৃদ্ধি পাবে।