ডেইলি কুইজ [২০০ দিন]

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের পার্থক্য 40° হলে, ক্ষুদ্রতম কোণটি কত?

সমাধান:
ধরি, ক্ষুদ্রতম কোণ = x°
বৃহত্তর কোণ = (x + 40)°

আমরা জানি, সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের সমষ্টি 90°

প্রশ্নমতে,
x + (x + 40) = 90
বা, 2x + 40 = 90
বা, 2x = 90 - 40
বা, 2x = 50
বা, x = 50/2
∴ x = 25
সুতরাং, ক্ষুদ্রতম কোণটি হলো 25°।

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য 4√2 একক হলে বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা কত একক?

সমাধান:
বর্গক্ষেত্রের একবাহুর দৈর্ঘ্য a একক 
বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য a√2 একক 
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা 4a  একক 

দেওয়া আছে
বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য 4√2 একক

প্রশ্নমতে
a√2 = 4√2
a = 4

বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = 4 × 4 একক 
= 16 একক 

প্রশ্ন: একটি সমবাহ ত্রিভূজের বাহুর দৈর্ঘ্য 4 মিটার হলে, ত্রিভূজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য a = 4 মিটার।
আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√3/4) × a²
= √3/4 × 4²
= √3/4 × 16
= 4√3 বর্গমিটার

প্রশ্ন: একটি সামান্তরিক ক্ষেত্রের ভূমি ৩৪ মিটার ও উচ্চতা ৪৬ মিটার। এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় করুন।

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সামান্তরিক ক্ষেত্রের ভূমি ৩৪ মিটার
এবং উচ্চতা ৪৬ মিটার

আমরা জানি,
সামান্তরিক ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (ভূমি × উচ্চতা) বর্গ একক
= (৩৪ × ৪৬) বর্গমিটার
= ১৫৬৪ বর্গমিটার

প্রশ্ন: যদি কোনো বর্গক্ষেত্রের প্রত্যেক বাহুর পরিমাণ 10% বৃদ্ধি পায়, তবে তার ক্ষেত্রফল কত বৃদ্ধি পাবে?

সমাধান:
বর্গক্ষেত্রের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য ক 
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ক^২ বর্গ একক

১০% বৃদ্ধিতে,
প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য
= (ক + ক এর ১০%) একক
= ক + ১০ক/১০০
= ক + ক/১০
= ১১ক/১০ একক

ক্ষেত্রফল = ১২১ক^২/১০০

ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি
= (১২১ক^২/১০০) - ক^২ = ২১ক^২/১০০

শতকরা ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি
= [{(২১ক^২/১০০)/ক^২} × ১০০]%
= ২১%

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত 3 : 4 : 5 হলে, ক্ষুদ্রতর কোনটি কত ডিগ্রী?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
3 : 4 : 5
ধরি কোণগুলো হলো 3x, 4x, 5x

আমরা জানি, 
ত্রিভুজের কোণগুলোর যোগফল = 180°

প্রশ্নমতে, 
3x + 4x + 5x = 180
⇒ 12x = 180
⇒ x = 180/12
∴ x = 15

তাহলে কোণগুলো হল,
3x = 3 × 15 = 45°
4x = 4 × 15 = 60°
5x = 5 × 15 = 75°

∴ ক্ষুদ্রতম কোণ = 45°

প্রশ্ন: একটি বর্গাকৃতি মাঠের ক্ষেত্রফল ৪ হেক্টর। মাঠটির পরিসীমা কত মিটার?

সমাধান:
আমরা জানি,
১ হেক্টর = ১০০০০ বর্গমিটার
∴ ৪ হেক্টর = ৪০০০০ বর্গমিটার

∴ মাঠটির এক পাশের দৈর্ঘ্য = √(৪০০০০) মিটার
= ২০০ মিটার

∴ মাঠটির পরিসীমা = ৪ × এক পাশের দৈর্ঘ্য
= (৪ × ২০০) মিটার
= ৮০০ মিটার

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয়ের প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য 10 সে.মি. এবং বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ 30° হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফর কত বর্গ সে.মি.?

সমাধান:
বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ θ = 30°
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয়ের প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য a = b = 10 সে.মি.

আমরা জানি,
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (1/2)absinθ
= (1/2) × 10 × 10 × sin30°
= (1/2) × 10 × 10 × (1/2)
= 25 বর্গসে.মি.

প্রশ্ন: একটি রম্বসের কর্ণদ্বয়ের অনুপাত 2 : 3 এবং ক্ষেত্রফল 75 বর্গসে.মি. হলে রম্বসের ছোট কর্ণটির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
রম্বসের কর্ণদ্বয়ের অনুপাত = 2 : 3

ধরি, কর্ণদ্বয় যথাক্রমে 2a এবং 3a
প্রশ্নমতে,
(1/2) × 2a × 3a = 75
⇒ 3a² = 75
⇒ a² = 75/3
⇒ a² = 25
⇒ a = 5

∴  রম্বসের কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য= (2 × 5) = 10 সে.মি.  এবং (3 × 5) = 15 সে.মি. 

অর্থাৎ রম্বসের ছোট কর্ণটির দৈর্ঘ্য = 10 সে.মি. 

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ১৮ সে.মি. এবং প্রস্থ ১৪ সে.মি. হলে আয়তক্ষেত্রটির সমান পরিসীমা বিশিষ্ট রম্বসের বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = ১৮ সে.মি.
প্রস্থ = ১৪ সে.মি. 

আমরা জানি,
আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = ২(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
রম্বসের পরিসীমা = ৪ × বাহুর দৈর্ঘ্য

ধরি, 
রম্বসের বাহু = ক সে.মি. 

প্রশ্নমতে,
৪ক = ২(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
⇒ ক = {২ × (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)}/৪
⇒ ক = {২ × (১৮ + ১৪)}/৪
⇒ ক = (২ × ৩২)/৪
⇒ ক = ১৬ সে.মি.

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা 36 মিটার। এর সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য ভূমির 13/10 অংশ হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
ধরি, ত্রিভুজটির ভূমি, b = x মিটার।
∴সমান সমান বাহু দুটির দৈর্ঘ্য হবে, a = (13x/10) মিটার।

প্রশ্নমতে,
x + (13x/10) + (13x/10) = 36
⇒ (10x + 13x + 13x)/10 = 36
⇒ 36x/10 = 36
⇒ 36x = 360
∴ x = 10

সুতরাং, ত্রিভুজটির ভূমি, b = 10 মিটার।
সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য, a = (13 × 10)/10
​ = 13 মিটার।

এখন, সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (b/4) × √(4a² - b²)
= (10/4) × √{4(13)² - (10²)}
= (5/2) × √{(4 × 169) - 100}
= (5/2) × √(676 - 100)
= (5/2) × √576
= (5/2) × 24
= 60 বর্গমিটার।

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য বিস্তারের ৫/৪ অংশ। দৈর্ঘ্য ১৫ মিটার হলে আয়তক্ষেত্রটির পরিসীমা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য = ১৫ মিটার 
এবং দৈর্ঘ্য বিস্তারের ৫/৪ অংশ। 

প্রশ্নমতে,
১৫ মিটার = বিস্তার × (৫/৪)
⇒ বিস্তার = (১৫ × ৪)/৫ 
⇒ বিস্তার = ১২ মিটার 

∴ আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = ২(দৈর্ঘ্য + বিস্তার) 
= ২(১৫ + ১২) মিটার 
= ২ × ২৭ মিটার 
= ৫৪ মিটার 

প্রশ্ন: একটি সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল ৩৬০ বর্গ সে.মি. এবং একটি কর্ণ ৪৫ সে.মি.। কর্ণটির বিপরীত কৌণিক বিন্দু থেকে উক্ত কর্ণের উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
 
ধরি,
সামান্তরিকের বিপরীত কৌণিক বিন্দু থেকে কর্ণের উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য = h সে.মি.
দেওয়া আছে,
সামান্তরিকের একটি কর্ণ = ৪৫ সে. মি.

∴ সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল,
= কর্ণ × কর্ণের বিপরীত বিন্দু থেকে অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য
= (৪৫ × h) বর্গ সে.মি

প্রশ্নমতে,
৪৫ × h = ৩৬০
⇒ h = ৩৬০/৪৫
⇒ h = ৮

∴ নির্ণেয় লম্বের দৈর্ঘ্য = ৮ সে.মি.

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজাকৃতি ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 126 বর্গগজ। ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু হতে ভূমির উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য 14 গজ হলে, ভূমির দৈর্ঘ্য কত?
 
সমাধান: 
আমরা জানি, 
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (1/2) × ভূমি × উচ্চতা 
= (1/2) × ভূমি × 14 
= 7 × ভূমি 
 
প্রশ্নমতে, 
7 × ভূমি = 126
বা, ভূমি = 126/7 
∴ ভূমি = 18 গজ 

∴ ভূমির দৈর্ঘ্য = 18 গজ । 

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্র ও একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা পরস্পর সমান। যদি আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ তার দৈর্ঘ্যের অর্ধেক হয়, তবে বর্গক্ষেত্র ও আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল অনুপাত কত?

সমাধান: 
ধরি,
আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = ২ক একক
∴ আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = ক একক
আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = ২(২ক + ক) একক
= ৬ক একক

বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ৬ক
বর্গক্ষেত্রের একবাহু = ৬ক/৪
= ৩ক/২

বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ( ৩ক/২)২ = (৯ক২)/৪
আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ২ক × ক = ২ক২

বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল : আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (৯ক২)/৪ : (২ক২)
= (৯/৪) : ২
= (৯/৪) × ৪ : ২ × ৪
= ৯ : ৮

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য x সে.মি. এবং প্রস্থ (x - 3) সে.মি.। ক্ষেত্রফল 54 বর্গ সে.মি. হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
দৈর্ঘ্য = x সে.মি.
প্রস্থ = (x - 3) সে.মি.

প্রশ্নমতে,
x(x - 3) = 54
⇒ x² - 3x - 54 = 0
⇒ x² - 9x + 6x - 54 = 0
⇒ x(x - 9) + 6(x - 9) = 0
⇒ (x - 9)(x + 6) = 0

অর্থাৎ, x - 9 = 0
∴ x = 9 (কারণ দৈর্ঘ্য ধনাত্মক)

∴ দৈর্ঘ্য, x এর মান = 9 সে.মি.

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের ভূমির দৈর্ঘ্য লম্বের দৈর্ঘ্য অপেক্ষা 1 মিটার কম এবং অতিভুজের দৈর্ঘ্য লম্ব অপেক্ষা 1 মিটার বেশি। ত্রিভুজতির অতিভুজের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি,
সমকোণী ত্রিভুজের লম্বের দৈর্ঘ্য = x
সমকোণী ত্রিভুজের ভূমির দৈর্ঘ্য = x - 1
সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য = x + 1

আমরা জানি,
অতিভুজ² = লম্ব² + ভূমি²
⇒ (x + 1)² = (x - 1)² + x²
⇒ x² + 2x + 1 = x² - 2x + 1 + x²
⇒ x² - 4x = 0
⇒ x(x - 4) = 0
∴ x = 4 [যেহেতু, ত্রিভুজের লম্ব কখনো শূন্য হতে পারে না]

ত্রিভুজটির অতিভুজের দৈর্ঘ্য = 4 + 1 = 5 মিটার

প্রশ্ন: একটি চতুর্ভুজের দৈর্ঘ্য ৮ মিটার এবং প্রস্থ ৬ মিটার । চতুর্ভুজটির পরিসীমা কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
চতুর্ভুজের দৈর্ঘ্য = ৮ মিটার 
চতুর্ভুজের প্রস্থ = ৬ মিটার 

আমরা জানি, 
চতুর্ভুজের পরিসীমা = ২ (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) মিটার 
= ২ (৮ + ৬) মিটার 
= ২ × ১৪ মিটার 
= ২৮ মিটার। 

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল ৫৭৬ বর্গ একক। সমকোণ সন্নিহিত বাহুদ্বয়ের একটি দৈর্ঘ্য ৩৬ একক হলে অপরটি কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = ১/২ × (সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয়ের গুণফল) 
বা, ৫৭৬ =  (১/২) × ৩৬ × নির্ণেয় বাহু 
বা, নির্ণেয় বাহু = (৫৭৬ × ২)/৩৬ 
∴ নির্ণেয় বাহু = ৩২ একক ।

প্রশ্ন: একটি রম্বসের কর্ণদ্বয়ের অনুপাত 3 : 4 এবং রম্বসের ক্ষেত্রফল 384 বর্গ সে.মি. হলে, কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি,
কর্ণদ্বয় যথাক্রমে 3a এবং 4a

প্রশ্নমতে,
(1/2) × 3a × 4a = 384
⇒ 12a²/2 = 384
⇒ 6a² = 384
⇒ a² = 64
∴ a = 8

∴ রম্বসের কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য হবে যথাক্রমে = (3 × 8) = 24 সে.মি. এবং (4 × 8) = 32 সে.মি.

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ১৬০০ বর্গমিটার হলে বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ১৬০০ বর্গমিটার 
∴ বর্গক্ষেত্রের একবাহুর দৈর্ঘ্য = √১৬০০ মিটার
= ৪০ মিটার

আমরা জানি,
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ৪ × একবাহুর দৈর্ঘ্য 
= ৪ × ৪০ মিটার 
= ১৬০ মিটার

∴ বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ১৬০ মিটার। 

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা ও সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা সমান, সমবাহু ত্রিভুজের এক বাহুর দৈর্ঘ্য ৮ মিটার হলে বর্গক্ষেত্রটির এক বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের একবাহুর দৈর্ঘ্য ক একক হলে পরিসীমা ৩ক একক।
বর্গক্ষেত্রের একবাহুর দৈর্ঘ্য ক একক হলে পরিসীমা ৪ক একক।

সমবাহু ত্রিভুজের এক বাহুর দৈর্ঘ্য  = ৮ মিটার
তাহলে, এর পরিসীমা = ৩ × ৮ = ২৪ মিটার

বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ২৪ মিটার
∴ এক বাহুর দৈর্ঘ্য = ২৪/৪ = ৬ মিটার।