১৪তম - ২০তম গ্রেড পরীক্ষার প্রস্তুতি

প্রশ্ন: ​​৫২টি তাসের একটি প্যাকেট থেকে একটি তাস নেয়া হলো। তাসটি হরতন বা রুইতন হওয়ার সম্ভাবনা কত?

​সমাধান:
​মোট তাস = ৫২
​হরতন আছে = ১৩ টি
​রুইতন আছে = ১৩ টি
​
∴ হরতন বা ​রুইতন = ১৩ + ১৩ = ২৬টি 
​
​P(হরতন বা ​রুইতন) = অনুকূল ফলাফল/মোট ফলাফল
​= ২৬/৫২
​= ১/২

প্রশ্ন: cos(180° + θ) = ?

সমাধান:

cos(180° + θ) এর মানে হল cos তৃতীয় ভাগে।
তাই cos এর মান ঋণাত্নক হবে।
∴ cos(180° + θ) = - cosθ

প্রশ্ন: একটি মুদ্রাকে তিনবার নিক্ষেপ করা হল। কমপক্ষে ২ টি T (TAIL) আসার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
মুদ্রা তিনবার নিক্ষেপ করলে সম্ভাব্য ফলাফলগুলো হবে:
= HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT
মোট সম্ভাব্য ফলাফল = ৮ টি

এর মধ্যে কমপক্ষে ২ টি T (TAIL) আসলে অনুকূল ফলাফল হয় = HTT, THT, TTH TTT অর্থাৎ ৪ টি

মুদ্রাকে ৩ বার নিক্ষেপ করা হলে কমপক্ষে ২ টি T (TAIL)) আসার সম্ভাবনা = ৪/৮ = ১/২

প্রশ্ন: A ও B এর একটি অঙ্কের সমাধান করতে পারার সম্ভাব্যতা যথাক্রমে 1/3 এবং 1/2 । তারা একত্রে অঙ্কটি সমাধানের চেষ্টা করলে অঙ্কটির সমাধান নির্ণয়ের সম্ভাব্যতা কত?

সমাধান:
A এর অঙ্কটি করতে পারার সম্ভাব্যতা = 1/3
A এর অঙ্কটি করতে না পারার সম্ভাব্যতা = 1 - (1/3)
= (3 - 1)/3
= 2/3

আবার,
B এর অঙ্কটি করতে পারার সম্ভাব্যতা = 1/2
B এর অঙ্কটি করতে না পারার সম্ভাব্যতা = 1 - (1/2)
= (2 - 1)/2
= 1/2

এখন,
A ও B এর একত্রে না পারার সম্ভাব্যতা = (2/3) × (1/2) = 1/3
∴ A ও B এর একত্রে পারার সম্ভাব্যতা = 1 - (1/3)
= (3 - 1)/3
= 2/3

প্রশ্ন: আবহাওয়া দপ্তর থেকে পাওয়া রিপোর্ট অনুযায়ী ২০২৫ সালে জুলাই মাসের ৩য় সপ্তাহে বজ্রপাত হয়েছে ৩ দিন। ঐ সপ্তাহে বজ্রপাত না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
৩য় সপ্তাহে মোট = ৭ দিন
৩য় সপ্তাহে বজ্রপাত হয়েছে = ৩ দিন

∴ ৩য় সপ্তাহে বজ্রপাত হয়নি = (৭ - ৩) = ৪ দিন 
∴ বজ্রপাত না হবার সম্ভাবনা = ৪/৭ দিন । 

প্রশ্ন: sin²(47°) + cos²(47°) =?
​
​সমাধান:
​আমরা জানি,
​sin²θ + cos²θ = 1
​
​∴ sin²(47°) + cos²(47°) = 1

 প্রশ্ন: একটি বাক্সে ১০ টি নীল ও ১৫ টি লাল মার্বেল আছে। যেমন খুশী টানলে প্রতিবার ২টি একই রংয়ের মার্বেল পাওয়ার সম্ভাব্যতা-
​
​সমাধান:
​দেওয়া আছে,
​নীল মার্বেল = ১০
লাল মার্বেল = ১৫

∴ মোট মার্বেল = ১০ + ১৫ = ২৫
​
​∴ মোট ২৫টি মার্বেল থেকে ২টি তোলার উপায় = ^২৫C_২ = ২৫!/২!(২৫ - ২)!
​= (২৫ × ২৪ × ২৩!)/(২ × ২৩!)
​= ৩০০

​আবার,
​একই রংয়ের নীল জোড়া পাওয়া উপায় = ^১০C_২ = ৪৫
​একই রংয়ের লাল জোড়া পাওয়া উপায় = ^১৫C_২ = ১০৫
​
​∴ মোট একই রংয়ের জোড়া = ৪৫ + ১০৫ = ১৫০
​
​∴ ​P(২টি একই রংয়ের মার্বেল পাওয়ার সম্ভাব্যতা) = ১৫০/৩০০ = ১/২

প্রশ্ন: দুটি ছক্কা একসাথে নিক্ষেপ করা হলে ছক্কা দুটির সংখ্যার গুনফল 15 হওয়ার সম্ভাবনা কত?
​
​সমাধান:
​দুটি ছক্কা একসাথে নিক্ষেপ করলে মোট ঘটনা = 6 × 6 = 36
​দুটির সংখ্যার গুনফল 15 হবে যদি উভয় ছক্কায় (3, 5), (5, 3) উঠে
​​∴ অনুকূল ঘটনা = 2

​​∴ সম্ভাবনা = 2/36 = 1/18

প্রশ্ন: একটি মুদ্রা ও একটি ছক্কা নিক্ষেপ করলে মোট ঘটনা সংখ্যা কয়টি?
​
​​সমাধান:
​একটি মুদ্রা ফলাফল ২টি (H বা T)

একটি ছক্কা ফলাফল ৬টি (1, 2, 3, 4, 5, 6)
​
∴ ​মোট ঘটনা সংখ্যা = মুদ্রা × ছক্কা = 2 × 6 = 12

প্রশ্ন: A = 45° হলে, (tanA + cotA)/(tan²A + 1) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, A = 45°

প্রদত্ত রাশিটি = (tanA + cotA)/(tan²A + 1)
​= (tan45° + cot45°)/(tan²45° + 1)
​= (1 + 1)/(1² + 1)
​= 2/(1 + 1)
​= 2/2
​= 1

প্রশ্ন: ১ থেকে ২০ পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর মধ্যে একটি মৌলিক সংখ্যা নির্বাচনের সম্ভাব্যতা কত?

সমাধান:
১ থেকে ২০ পর্যন্ত মোট সংখ্যা = ২০ টি
১ থেকে ২০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা = ৮ টি
যথা- ২, ৩, ৫, ৭, ১১, ১৩, ১৭, ১৯

∴ মৌলিক সংখ্যা হওয়ার সম্ভব্যতা = মৌলিক সংখ্যা/সর্বমোট সংখ্যা
= ৮/২০ 
= ২/৫

প্রশ্ন: sin45° = √2A হলে, A = কত?
​
​সমাধান:
​দেওয়া আছে,
sin45° = √2A
⇒ ​​1/√2 = √2A
∴ ​A = 1/2

প্রশ্ন: একটি ছক্কা নিক্ষেপ করলে 2 এর গুণিতক আসার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
ছক্কার নমুনাক্ষেত্র = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
2 এর গুণিতক নমুনা = {2, 4, 6} 

​∴ 2 এর গুণিতক আসার সম্ভাবনা= 3/6
= 1/2

প্রশ্ন: cos⁡45° ⋅ cos⁡15° + sin⁡45° ⋅ sin⁡15° = ? 
​
​সমাধান:
​আমরা জানি,
​cos⁡A cos⁡B + sin⁡A sin⁡B = cos⁡(A - B)
​
​এখন,
​cos⁡45° cos⁡15° + sin⁡45° sin⁡15° 
​= cos⁡(45° - 15°)
​= cos⁡30°
​= √3/2

প্রশ্ন: একটি মুদ্রা ও একটি ছক্কা একবার নিক্ষেপ করা হলো। মুদ্রার ফলাফল হেড এবং ছক্কায় বিজোড় সংখ্যা আসার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
একটি মুদ্রায় দুটো পিঠ (H, T)
ছক্কায় ছয়টি পিঠ (1, 2, 3, 4, 5, 6)

∴ মোট সম্ভাব্য ঘটনা সংখ্যা = 2 × 6 = 12
এগুলো হলো: (1,H), (1,T), (2,H), (2,T), (3,H), (3,T), (4,H), (4,T), (5,H), (5,T), (6,H), (6,T)

হেড এবং ছক্কায় বিজোড় সংখ্যা আসার অনুকূল ঘটনা = (H,1), (H,3), (H,5)
∴ মোট 3 টি অনুকূল ঘটনা

∴ সম্ভাবনা(হেড এবং ছক্কায় বিজোড় সংখ্যা) = অনুকূল ঘটনা/মোট ঘটনা
= 3/12 = 1/4

প্রশ্ন:
​
​
​​সমাধান:
​

প্রশ্ন: sin²30° + cos²θ = 1 হলে, θ এর মান কত?

সমাধান:
​দেওয়া আছে,
​sin²30° + cos²θ = 1
⇒ ​(1/2)² + cos²θ = 1
⇒ ​1/4 + cos²θ = 1
⇒ ​cos²θ = 1 - (1/4)
⇒ ​cos²θ = (4 - 1)/4
⇒ ​cos²θ = 3/4
⇒ ​cosθ = √3/2
⇒ ​​cosθ = ​cos30°
​∴ θ = ​30°